nicht die Aufgabe zu lösen, sondern eine
Differenzialgleichung, die sich ergibt, wenn man die Aufgabe
so verändert, wie beschrieben.
Das war ja alles nicht relevant, sondern nur das Lösen der
Differenzialgleichung, die man mathematisch ja aufstellen und
lösen kann, ob sie nun physikalisch Sinn macht oder nicht.
Hallo Tim,
nun, es geht genau so, wie Ratz es Dir schon beschrieben hat.
Ich nehme mal dieses Problem: Irgendein Körper (Masse m) wird weit draußen im Weltall (Abstand r0 vom Erdmittelpunkt) platziert (v0 = 0) und ab dem Zeitpunkt t = 0 sich selbst überlassen. Er wird unter dem Einfluss der Gravitationskraft der Erde (Masse M) beschleunigen und auf die Erde zufallen.
Aus dem Gravitationsgesetz F = γ m M / r2 und dem dritten Newtonschen Gesetz F = m r’’ folgt die Bewegungsgleichung des Vorgangs zu
r’’ = γ M / r2
(Stimmt bis auf den konstanten Vorfaktor γ M mit Deiner DG überein.)
Das ist eine nichtlineare DG zweiter Ordnung in r – aber eine mit einer vereinfachenden Besonderheit: Die Variable t kommt darin gar nicht vor! Dies ist aber die Voraussetzung, um den „Reduktion-der-Ordnung-Ansatz“ machen zu können.
Wir schreiben die DG in der Form
d2r/dt2 = γ M / r2
und richten unsere Aufmerksamkeit auf die linke Seite. „Zwischen“ dem Ortsvektor r und der Beschleunigung a = d2r/dt2 liegt noch die Geschwindigkeit v = dr/dt. Die benutzen wir, um folgende Umformung zu veranstalten:
d2r/dt2 = dv/dt = dr/dt · dv/dr = v dv/dr
Also sind wir berechtigt, die linke Seite der DG durch v dv/dr zu ersetzen:
v dv/dr = γ M / r2
Aber hallo, das ist ja nur noch eine DG erster Ordnung in v! Wir verstehen die Bezeichung „Reduktion-der-Ordnung“-Ansatz und fassen zusammen:
Wann immer wir eine DG des Typs r’’ = f® vorliegen haben (in unserem Fall f® = γ M / r2), dann können wir sie wenigstens prinzipiell dadurch knacken, indem wir zuerst die einfachere DG v dv/dr = f® lösen, was uns im Erfolgsfall die Funktion v® liefert, und aus dieser Funktion v® anschließend r(t) berechnen. Wir haben also das ursprüngliche Problem in zwei leichter zu lösende Teile zerlegt.
Für die beiden Teilprobleme ist ein anderer, wohlbekannter und sehr wichtiger Ansatz zuständig, nämlich die „Integration durch Separation der Variablen“:
v dv/dr = f® ⇔ v dv = f® dr
v = dr/dt ⇔ 1/v® dr = dt
Bei den beiden rechts von den „⇔“ stehenden Gleichungen sind die Variablen getrennt, und die Gleichung damit bereit zur Integration. Ob sich die dann in einem konkreten Fall auch bewältigen lassen (Stammfunktionen finden gelingt ja nicht immer), steht natürlich auf einem anderen Blatt.
Ein anderes, aber typgleiches Problem hab ich hier vor etlicher Zeit mal vollständig durchgerechnet. Es ging um eine homogene Kette der Länge l, die über eine Tischkante rutscht. Die Bewegungsgleichung dafür lautet
x’’ = g/l x
und hier kannst Du Dir angucken, wie die Integrationen durch Trennung der Variablen konkret vonstatten geht:
/t/bewegungsgleichung/3785572/8
Für Dein Problem r’’ = γ M / r2 lässt sich übrigens leider keine explizite Lösung r(t) gewinnen – das ist schon zu schwierig. v® geht mühelos (selbst versuchen?), aber die zweiten Integration führt auf eine hässliche t®-Gleichung, die man nicht nach r auflösen kann. Aber immerhin lässt sich für den hypothetischen Fall, dass der Körper die Erde durchqueren kann und er nicht durch Reibung gebremst wird, seine Periodendauer berechnen (er „schwingt“ dann ja mit sehr großem T, wenn auch ganz und gar nicht harmonisch). Sie beträgt
T = π √(2 R3 / (γ M))
Gruß
Martin