x ist eben keine Konstante (sonst wäre das Int. (x/l)*g * t
Wobei man aber auch nicht verschweigen sollte, dass man das Ding eben doch integrieren kann, wenn man weiß, wie.
Die Bewegungsgleichung des Ketten-Problems hast Du schon angegeben; sie lautet
d^2 x/dt^2 = x/l*g
oder etwas anders notiert (Punkt über Buchstabe = zeitliche Ableitung d/dt, Doppelpunkt = zweite zeitliche Ableitung d²/dt²):
g
ẍ = -- x
l
Darin ist der Bruch g/l eine Konstante. Da es rechentechnisch vorteilhaft ist, vor dem x ein Quadrat stehen zu haben, definieren wir g/l =: q² und schreiben
ẍ = q² x
Soweit so gut. Jetzt wird es clever. Wir stellen das ẍ dar als d/dt ẋ …
d
-- ẋ = q² x
dt
… und betrachten das ẋ als Funktion von x, die wir mit p bezeichnen: ẋ =: p(x) [
]. Damit geht die Bewegungsgleichung über in
d
-- p(x) = q² x
dt
Wenden wir auf die linke Seite die Kettenregel an, bekommen wir
dp dx
-- -- = q² x
dx dt
Coolerweise ist nun das dx/dt darin gerade wieder gleich p(x) – siehe []! Also haben wir
dp
p -- = q² x
dx
Das allerdings ist ein Grund zur Freude, denn wie wir sehen, haben wir aus unserer ursprünglichen Differentialgleichung (DG) zweiter Ordnung in t eine DG von nur noch erster Ordnung in x gewonnen!
Diese DG versuchen wir durch Integration mit Separation der Variablen zu knacken.
p dp = q² x dx
Jetzt sind die Variablen p und x getrennt und damit beide Seiten integrationsfertig:
1/2 p² + C* = q² 1/2 x²
mit C* als Integrationskonstante.
p² = q² x² – 2 C*
p² = q² x² – q² (2 C*/q²)
Da der eingeklammerte Ausdruck ein konstantes Vielfaches von C* ist, bleibt alles weiterhin richtig, wenn wir ihn mit C abkürzen („neue“ Integrationskonstante):
p² = q² x² – q² C
p² = q² (x² – C)
p(x) = q √(x² – C)
Das wäre geschafft. So also sieht die Funktion p(x) aus!
Ersetzen wir nun das p(x) auf der linke Seite gemäß [] durch ẋ, steht da:
ẋ = q √(x² – C)
Das ist wiederum eine DG erster Ordnung, diesmal in t. Um sie zu lösen, versuchen wir erneut die Variablen (jetzt x und t) zu trennen und dann zu integrieren:
dx/dt = q √(x² – C)
1/√(x² – C) dx = q dt
Die Variablen sind jetzt getrennt und wir können integrieren (Stammfunktion zu 1/√(x² – C) steht im Bronstein):
arcosh(x/√C) + D = q t
mit D als zweiter Integrationskonstanten.
x(t) = √C cosh(q t – D)
Dies ist die korrekte Lösung der Bewegungsgleichung ẍ = q² x.
Jetzt müssen wir uns nur noch um die beiden Konstanten C und D kümmern, die sich aus den Anfangsbedingungen x(0) = x0, v(0) = 0 des Ketten-Rutsch-Vorgangs ergeben.
ẋ(t) = √C q sinh(q t – D)
Aus v(0) = 0 laut Aufgabenstellung (Kette „startet“ aus der Ruhe) folgt D = 0.
x(t) = √C cosh(q t)
ẋ(t) = √C q sinh(q t)
Aus x(0) = x0 ergibt sich schließlich x0 = √C und damit sind wir fertig. Die Weg-/Geschwindigkeit-/Beschleunigung-von-Zeit-Funktionen lauten:
x(t) = x0 cosh(q t)
ẋ(t) = x0 q sinh(q t)
ẍ(t) = x0 q² cosh(q t)
mit q = √(g/l)
Den obigen Trick zur Lösung der Bewegungsgleichung ẍ = q² x kann man übrigens immer dann anwenden, wenn in der Bewegungsgleichung die Variable t nicht explizit vorkommt. Dann kann man stets über diesen „Reduktion der Ordnung“-Ansatz eine DG mit um 1 niedrigerer Ordnung für „p“ gewinnen (ob diese DG dann auch lösbar ist, steht natürlich auf einem anderen Blatt).
Gruß
Martin