Hallo,
Ich werde bald eine Arbeit über Wurzeln schreiben müssen und ein Aspekt davon wird der Beweis sein,dass Wurzel 2 keine reelle Zahl ist. Kann mir das jemand einfach erklären
Danke Jonas
Auch hallo.
Eine rationale (reelle ?) Zahl lässt sich durch einem Bruch zweier natürlicher Zahlen (p und q) als p/q darstellen. In dem Beweis („wo-steht-der-noch-gleich ?“) wird gezeigt, dass diese Überlegung bei Wurzel(2) auf einen Widerspruch hinausläuft, weil dann eine der beiden Zahlen diese Eigenschaft verliert. Irgendwas mit Quadrieren: Sqrt(2) = p/q |^2 -> 2 = p²/q² etc…
HTH
mfg M.L.
hi,
Ich werde bald eine Arbeit über Wurzeln schreiben müssen und
ein Aspekt davon wird der Beweis sein,dass Wurzel 2 keine
reelle Zahl ist. Kann mir das jemand einfach erklären
wurzel aus 2 ist eine reelle zahl. aber keine rationale, sondern eine irrationale.
rationale zahlen sind (i.w.) die brüche. wurzel aus 2 ist nicht als bruch darstellbar. ind er dezimalbruchentwicklung heißt das, dass wurzel aus 2 keine endliche und keine periodische dezimalzahl ist. endliche und periodische dezimalzahlen sind die brüche.
der beweis (dass wurzel aus 2 irrational ist) wird meist indirekt geführt.
nimm an, du hättest einen völlig gekürzten bruch p/q, dessen quadrat 2 ist. dann kannst du annehmen, dass p und q teilerfremd sind. (sonst könnte man den bruch kürzen.)
dann ist (p/q)^2 = 2
bzw. p*p = 2*q*q
d.h. wir hätten dann für ein und dieselbe zahl (p^2 bzw. 2q^2) 2 verschiedene teilerfremde darstellungen.
das gibt es jedoch nicht.
hth
m.
Klar eine irrationale Zahl. Hab ich was verwechselt 
Vielen Dank nochmal hat mir sehr geholfen
Verallgemeinerung
Hallo,
bzw. p*p = 2*q*q
d.h. wir hätten dann für ein und dieselbe zahl (p^2 bzw. 2q^2)
2 verschiedene teilerfremde darstellungen.
das gibt es jedoch nicht.
Sehr schöner Beweis, der auch leicht auf jede Nicht-Quadratzahl z erweitert werden kann.
Denn dann steht da:
p² = z*q²
wobei auf der linken Seite dann wegen dem Quadrat jeder Primfaktor in gerade Anzahl vorkommt, auf der rechten Seite aber - wenn z keine Quadratzahl ist - mindestens einen Primfaktor in ungerader Anzahl.
=> Primfaktordarstellung nicht eindeutig => Widerspruch => Wurzel(z) ist reell.
Gruß
Oliver
Hallo,
Interessant ist vielleicht auch die folgende Überlegung:
Wenn man eine „gebrochene“ Zahl (p/q) quadriert, dann steht nach Potenzgesetzen da:
(P^2) / (q^2)
Wenn man jetzt für p die Primfaktoren p1,p2,… hat und für q = q1 * q2 *…
Dann ist also:
(p/q)^2 = (p1^2*p2^2*…)/(q1^2*q^2*…)
Also ist da p und q teilerfremd sein sollen das quadrat wieder eine „gebrochene“ Zahl. Das heißt im Umkehrschluss:
Die Wurzel aus einer ganzen Zahl ist entweder eine ganze Zahl oder irrational. (Denn wäre es eine gebrochene Zahl, dann wäre das quadrat wieder eine gebrochene Zahl, also nicht die gesuchte ganze Zahl)
Man lernt ja sonst im Alltag außer Pi und Wurzel 2 keine anderen irrationalen Zahlen kennen, da finde ich es ganz interessant zu sehen, dass es davon ein paar mehr gibt.
Wurzel zwei ist übrigens nicht ganz, da 1^2 zu klein und 2^2 zu groß ist. Na dann muss nach dem tollen Satz Wurzel 2 irrational sein.
PS: mit gebrochen ist rational und nicht ganz gemeint.
Grüße,
Zwergenbrot