Hallo ihr,
ich habe mein Abitur zwar schon gemacht, aber einige Sachen wieder vergessen >.
Moin,
such mal nach „Additionstheoreme“, z.B. hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Additionstheoreme
Hallo,
Vereinfache sin³(α) + sin(α)*cos²(α)
der olle trigonometrische Pythagoras ist der Schlüssel zur Lösung:
sin2 + cos2 = 1
⇒ s3 + s c2 = s3 + s (1 – s2) = s3 + s – s s2 = s
Jetzt musst Du nur noch einen Funktionenplotter mit der Funktion sin³(x) + sin(x) cos²(x) füttern, und Dich davon überzeugen, dass tatsächlich nur die ganz normale Sinuskurve sin(x) gezeichnet wird. So kann man bei solchen Aufgaben schnell prüfen, ob die Ergebnisse richtig sind.
Kennt jmd. vllt einen Link, wo eben solche aufgelistet wären?
Eine Online-Formelsammlung: http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonom…
Oder könnte jmd. versuchen, das vllt nochmal kurz zu umreißen?
Das wesentliche Know-How könnte man so zusammenfassen:
● π/4 = 45°
π/2 = 90°
π = 180°
2 π = 360°
° = π/180
● Zu einem Winkel φ nennt man 90° – φ den Komplement-
und 180° – φ den Supplementwinkel.
● Die Graphen von sin, cos, tan und cot sollte man verinnerlicht haben und skizzieren können. Alle grundlegenden Eigenschaften sollten klar sein, d. h. Periodizitäten, Symmetrien sowie die Lagen von Null-, Extrem- und Polstellen: sin und cos 2π-periodisch, tan und cot π-periodisch, sin und tan ungerade, cos und cot gerade, cos = phasenverschobener sin etc.
● cos(x) = sin(90° – x) (cos = complementi sinus = sin des Komplementwinkels)
● tan = sin/cos
cot = 1/tan
● Spezielle Funktionswerte:
sin(30°) = 1/2 = 0.5
sin(45°) = 1/2 √2 ≈ 0.7071
sin(60°) = 1/2 √3 ≈ 0.866
sin(90°) = 1
tan(45°) = 1
arctan(±∞) = ±π/2
● sin2 + cos2 = 1 (trigonometrischer Pythagoras)
● sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) (Ur-Additionstheorem)
● sin2(x) = 1/2 (1 – cos(2 x))
sin(2 x) = 2 sin(x) cos(x)
cos(2 x) = cos2(x) – sin2(x)
sin(n x), cos(n x) → Formel von Moivre
● sin(arctan(x)) = x/√(1 + x2)
cos(arctan(x)) = 1/√(1 + x2)
● a sin(x) + b cos(x) = A sin(x + Δ) mit A = √(a2 + b2) und Δ = arctan(b/a)
● sin(x) = 0 ⇔ x = Z π
cos(x) = 0 ⇔ x = (2 Z + 1) π/2
Für Fortgeschrittene kommt dazu:
● Ableitungen:
sin’ = cos
cos’ = –sin usw.
arctan’ = 1/(1 + x2)
● Potenzreihenanfänge:
sin(x) ≈ x für x nahe Null
cos(x) ≈ 1 – 1/2 x2 für x nahe Null
tan(x) ≈ x für x nahe Null
● Differentialgleichung:
x’’ + ω2 x = 0 ⇒ x(t) = a cos(ω t + φ0)
Ungedämpfte Schwingung mit Kreisfrequenz ω (Systemgröße)
a heißt Amplitude, φ0 Nullphasenwinkel und ω t + φ0 Phase der Schwingung.
Komplexe Darstellung: x(t) = A ei ω t mit der komplexen Amplitude A = a ei φ0
● ei x = cos(x) + i sin(x) (Euler-Formel, sehr wichtig)
● ∫0…π/2 sin(x) dx = 1 (Flächeninhalt der Hälfte des ersten Sinusbuckels)
Es sammelt sich also schon was an, aber wenn man das alles jederzeit auswendig parat hat, kann einen (fast) nichts mehr erschüttern. Dann sollte man nur noch um die Existenz von noch viel mehr Beziehungen wissen, wie etwa sin(x/2) = … oder sin(x) + sin(y) = …, und wo man diese bei Bedarf recherchieren kann.
Gruß
Martin
Hallo Martin,
erst einmal vielen herzlichen Dank!
Da hätte ich eig. selber drauf kommen können, da ich diesen Satz schon tausend mal gesehen habe ^^
Besonders toll find ich übrigens auch den Rest deines Beitrags!
Ich habs mir direkt mal in einer Word-Datei abgespeichert 
Vielen Dank!