Hallo, wir haben neu mit dem Thema in der Schule angefangen. Meine Lehrerin hat es aber nicht wirklich richtig erklärt und so habe ich meine schwierigkeiten. Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
f(x)=x*f(x)x\>0;f(x)\>O Ich habe jetzt nacht x umgestellt x=f(x)/f(x)
Jetzt muss man integrieren
1/2x^2= ???
Weiter komme ich nicht. Es wäre sehr nett wenn mir das jemand erklären könnte. Ich möchte nicht einfach nur die Lösung sondern möchte es auch verstehen.
Danke
f(x)=x*f
(x)x\>0;f(x)\>O Ich habe jetzt nacht x umgestellt x=f(x)/f(x)
Jetzt muss man integrieren
1/2x^2= ???
Anscheinend soll das eine Trennung der Variablen werden. Da musst Du aber etwas anders vorgehen. Die Differantialgleichung lautet
df/dx = f/x
Jetzt werden die Variablen getrennt:
df/f = dx/x
Und dann kann auf beiden Seiten integriert werden.
(Integrationskonstante nicht vergessen!)
df/f = dx/x integriert ist doch
ln(f)=ln(x) ?
um jetzt f allein zu haben muss ich e nehmen oder? Dann wäre die gesuchte Gleichung f(x)=x?
Das ist nur eine spezielle Lösung. Ich habe nicht umsonst an die Integrationskonstante erinnert (und die muss man natürlich dazu addieren, bevor man nach f auslöst).
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Ok dankeschön. Ich habe jetzt aber noch ein Problem. Wenn ich das Verfahren für die Gleichung f(x)=-x*f`(x) anwende, erhalte ich als Lösung -x+c. Nachdem Einsetzen erhält man dann -x+c=x. Das stimmt ja nicht
Meine Rechnung:
df/f=dx/-x
ln(f)=-ln(x)
f+c1=-x+c2
f=-x+c3
Hallo,
df/f=dx/-x
ln(f)=-ln(x)
f+c1=-x+c2
nein. Du hast immer noch nicht verstanden, wohin das „+ C“ gehört, nämlich in die Zeile unmittelbar nach der Integration (das ist hier welche?●). Jede spätere Zeile ist dafür die falsche! Probiers nochmal.
Gruß
Martin
●Die mit den „ln“ drin.
Ja das c gehört schon in vohrige zeile, aber das c kann ja auch 1 sein und würde dann wegfallen… Mir geht es eher um das Ergebnis -x. Die Lösung müsste doch eigentlich x sein, damit die Differentialgleichung stimmt.
aber das c kann ja
auch 1 sein und würde dann wegfallen.
Es kann, aber es muss nicht. Solange Du das nicht weißt, kannst Du es nicht weglassen.
Mir geht es eher um das
Ergebnis -x. Die Lösung müsste doch eigentlich x sein, damit
die Differentialgleichung stimmt.
Vielleicht solltest Du Dich erst einmal entscheiden, welche DGL Du überhaupt lösen willst. In Deinem ersten Posting war es noch f’=f/x und später wird daraus plötzlich f’=-f/x.
Die Lösung der ersten DGL war doch x+c, dachte ich. Das habe ich auch verstanden. Jetzt habe ich aber die DGL f(x)=-xf`(x) und da habe ich als Ergebnis -x+c raus, wenn ich das aber einsetze, dann kommt da eine falsche Aussage heraus…
Ja das c gehört schon in vohrige zeile, aber das c kann ja
auch 1 sein und würde dann wegfallen…
Was ist denn das für eine Logik? Das C kann alles sein und ist deshalb voll existenzberechtigt.
Mir geht es eher um das Ergebnis -x. Die Lösung müsste doch eigentlich
x sein, damit die Differentialgleichung stimmt.
Sorry, aber solange Du noch nicht damit klarkommst, die vollständige Lösung der DG f(x)/f’(x) = x richtig herzuleiten, macht eine Diskussion über weitere DGs wenig Sinn.
Die Lösung der ersten DGL war doch x+c, dachte ich.
Nein. Mach doch mal die Probe.
Ok dann nochmal zur ersten Gleichung.
df/f = dx/x
ln(f)+c1=ln(x)+c2
Stimmt das soweit? Wenn ja, dann muss ich doch jetzt f rausbekommen?
ln(f)=ln(x)+c3 jetzt muss ich e nehmen?
f=x+… Wie muss ich das mit dem c machen? c^e oder e^c?
Die Lösung der ersten DGL war doch x+c, dachte ich.
Da denkst Du falsch. Um zum korrekten Ergebnis zu kommen, musst Du die Integrationskonstante an der richtigen Stelle (nämlich gleich nach der Intregration) addieren und anschließend nach f auflösen, ohne dabei gegen die Logarithmengesetze zu verstoßen.
Ok dann nochmal zur ersten Gleichung.
df/f = dx/x
ln(f)+c1=ln(x)+c2
Stimmt das soweit? Wenn ja, dann muss ich doch jetzt f rausbekommen?
ln(f)=ln(x)+c3 jetzt muss ich e nehmen?
Das sieht doch schon viel besser aus. Richtig: Die zweite Gleichung lautet ln(f) = ln(x) + C. Du darfst sie auch gleich in dieser Form hinschreiben; der Zwischenschritt mit je einer additiven Konstante auf beiden Seiten (c1, c2) ist nicht nötig. Jetzt musst Du diese Gleichung nach f auflösen.
f=x+… Wie muss ich das mit dem c machen? c^e oder e^c?
Also bitte – wer das Niveau erreicht hat, nichtlineare DGs durch die Methode der Integration durch Separation der Variablen zu lösen, sollte solche Banalitäten wie die Rechenregeln von Logarithmen und Potenzen aber beherrschen.
ln(f) = ln(x) + C ⇒ f(x) = eln(x) + C = …?
Wie gehts weiter und was kommt schlussendlich heraus?
df/f = dx/x
ln(f)+c1=ln(x)+c2
Stimmt das soweit? Wenn ja, dann muss ich doch jetzt f rausbekommen?
ln(f)=ln(x)+c3 jetzt muss ich e nehmen?
f=x+… Wie muss ich das mit dem c machen? c^e oder e^c?
e und ln heben sich doch gegenseitig auf? dann bleibt x+c übrig? aber das ist ja anscheind falsch…
ln(f)=ln(x)+c3 jetzt muss ich e nehmen?
f=x+… Wie muss ich das mit dem c machen? c^e oder e^c?
Setze doch einfach mal c3=ln© und dann wende die Logarithmengesetze (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Logarithmen…) an.
ln(f)=ln(x)+ln©= ln(cx)? dann e und als ergebnis kommt cx raus?
ln(f)=ln(x)+ln©= ln(cx)? dann e und als ergebnis kommt cx
raus?
Na bitte, es geht doch.
ln(f)=ln(x)+ln©= ln(cx)? dann e und als ergebnis kommt cx
raus?
Voilà, nachdem die beiden dich so lange gequält haben kam doch noch das richtige raus, Glückwunsch. Ich hab die Diskussion mit Spannung mitverfolgt 
Gruß
hendrik
Ok danke erstmal. Darf ich aber nochmal etwas fragen? Warum muss ich den ln von c nehmen? Wenn ich dx/x habe und dieses integriere erhalte ich doch ln(x)+c. Warum kann ich dann einfach ln(x)+ln© draus machen?