Ding Ding, Runde 3
Puh …
Frage 1:
Ich versteh’ das nicht. Erwartungswerte von Operatoren, die mit
dem Energieoperator kommutieren. Ich versuch’ das mal
aufzudröseln: Der Energieoperator ist der Hamilton-Operator H.
Richtig
Mir ist keine Kommutatorrelation mit diesem bekannt? Zu Operator-
Erwartungswert.
Überleg mal, du brauchst Operatoren, die mit dem Hamiltonian
kommutieren,
also
[Ĥ,Â]=0
Welche Operatoren  kennst du, die das erfüllen?
Ja, dass du nach den Operatoren A, die die Relation [Ĥ,Â]=0
erfüllen, gefragt hast, ist mir bewusst. Entweder ich stehe
gerade total auf dem Schlauch oder ich weiß es wirklich nicht,
aber mir ist wie bereits erwähnt keine solche Beziehung bekannt.
Handelt es sich hier eigentlich gerade um ein freies Teilchen?
Ich bin mir dessen gerade nicht bewusst. Wenn dem so ist, dann
ist V = 0 und somit vereinfacht sich der Hamiltonoperator zu
(-hquer²/(2*m))*laplace. Das entspricht so ziemlich fast dem
Impuls, und zu dem kenne ich Kommutatorbeziehungen.
Frage 2:
Wieso ist beim L² eigentlich S und M_S dabei? Der
Bahndrehimpuls
hat doch bei dieser Frage noch nichts mit dem Spin zu tun.
L hat hier tatsächlich noch nichts mit S zu tun, das kommt
dann erst bei der Spin-Bahn-Kopplung. Trotzdem
charakterisieren S und m_s den Zustand, genauso wie es L und
m_l tun.
Der Drehimpulsoperator L ist ein Operator des Ortsraums und
somit nicht an S und m_S „interessiert“.
Der Spinoperator S ist ein Operator des Spinraums und somit
unabhänig von L und m_L.
Irgendwie widerspricht sich das doch? Wir betrachten im Moment
keine Effekte der Spin- Bahn- Kopplung, aber trotzdem charakterisiert
S und M_S den … aaahhh … der "Gesamt"zustand wird trotzdem durch
L, M_L, S, M_S charakterisiert. Wendet man aber den operator L² auf
den Zustand an, wird nur die „Wirkung“ dessen auf den Zustand betrachtet,
man lässt den Spin praktisch „links liegen“. Analog bei S².
Frage 3:
Ich weiß echt nicht weiter. Die ganzen Quantenzahlen verwirren
mich total!
Zudem noch diese m.M.n. dämliche Bra- Ket- Notation, ich bin
gerade erst
dabei zu verstehen, was ein Hilbert- Raum ist. Eigentlich
recht spannend,
aber die Notation verwirrt mich total. Ich versuche mal etwas:
a) Offensichtlich ist n = 3, l = 0. Da l = 0, ist auch L =
0???
b) Offensichtlich ist n = 3, l = 2. Da l = 2, ist L =
wurzel(hquer²*2*(2+1))???
Was ist denn der Unterschied zwischen L und l?
l ist die Bahndrehimpulsquantenzahl (schönes Wort) und L ist
der Vektor L = r x p = (r_x, r_y, r_z) x (p_x, p_y, p_z).
Ja, und der Operator L, ist … ja, was ist der denn eigentlich? 
Eine mathematische Rechenvorschrift … http://de.wikipedia.org/wiki/Operator_%28Mathematik%29 Nun muss ich mich korrigieren,
nachdem ich Deinen text weiter unten noch einmal gelesen habe.
Im Prinzip unterscheidet doch einen Vektor L nichts von einem
Operator L. Allein die Tatsache, dass der Operator L auf einen
Zustand losgelassen wird, wirkt, usw. ist doch der Unterschied, oder?
Du musst ganz
extrem mit der Nomenklatur aufpassen!!!
Ohja, das habe ich mittlerweile auch erkannt. Schrecklich. Man sieht
den Wald vor lauter Bäumen nicht …
Es gibt l, L und
Operator L. Mach dir klar, was das alles ist und was wir hier
haben.
Siehe oben =)
Dann ist das auch verständlich. Wenn du die Aufgabe
gepackt hast, wirst du dir an den Kopf fassen, weil du hier
mit der Nomenklatur kämpfst und dabei doch nur addieren und
subtrahieren musst. LOL. Sorry, find das sehr lustig grad. Nix
für ungut.
Ich nehm’ Dir das nicht übel ^^ Das muss für Dich wohl echt lustig
sein ^^ Gib mir nochmal einen kleinen Überblick und einen Ansatz ^^
Dann werde ich mich dran versuchen (allerdings erst nach 21 Uhr,
muss gleich arbeiten gehen ^^)
Frage 4:
Interessant. Den Jahn- Teller- Effekt hatten wir bereits in
einem
früheren Übungsblatt. Beschreibt dieser nicht, wie man die
Entartung
der Energie (gleiche Energie für verschiedene Zustände) durch
Aufbrechen
der Symmetrie des Kristallgitters aufheben kann? Ansonsten
versteh’ ich
nur Bahnhof.
Ist die berühmte Frage nach Huhn und Ei, was denn zuerst da
war. JT-Verzerrung kannst du entweder so beschreiben, dass
durch eine Änderung der Geometrie der Kerne die Energieniveaus
aufspalten (das ist identisch zu dem, was du geschrieben hast)
oder, was ich eher bevorzuge, dass sie teilbesetzte entartete
irreps so aufspalten, dass eine Entartung geringerer Ordnung
entsteht, aber alle Orbitale voll, halb gefüllt oder leer
sind. Dadurch resultiert dann die Verzerrung in der
Kerngeometrie. Die Hauptidee des Papers, das ich hier verlinkt
hatte war, dass bereits Spin-Bahn-Kopplung die Entartung
aufhebt und somit eine JT-Verzerrung nicht mehr auftritt. Aber
genug davon, das hat mit deinem Übungsblatt an sich ja nichts
zu tun. Gibts zu dem Teil noch Fragen?
Dann ist das mit dem „eingesperrten“ Elektron in einer „Kristall-
gitterstruktur“ mit einem Loch nur ein theoretisches Objekt
gewesen, das wir behandelt haben? Das war doch aber die Erklärung
für die Farbzentren? In „Wirklichkeit“ stimmt das aber gar nicht,
bzw. nur dann, wenn man in der Theorie die Spin- Bahn- Kopplung
unberücksichtigt lässt? Mich würde interessieren, warum die
Spin- Bahn- Kopplung diese Entartung aufhebt, und welche Entartung
da eigentlich gemeint ist, wenn nicht die der Energie.
Frage 5:
http://s1.directupload.net/images/110719/gplkwjfw.jpg
http://s7.directupload.net/images/110719/2hbbypa3.jpg
sieht so aus, als sei es das. Seh auf jeden Fall mal das J.
-) Kannst es ja mal so machen, sobald Frage 3 geklärt ist.
Weiß net so ganz, was das Bildchen bringen soll…
Ich denke auch, dass, wenn ich Frage 3 verstanden habe, dass
ich dann auch diese Frage beantworten kann.
Frage 6:
Alles verständlich, bis zu dem Punkt „Zur Berechnung …“.
Von da an kann ich nicht mehr folgen, ist das die Definition?
Ja, der Erwartungsert des Operators ist definiert als
Wenn F eine Eigenfunktion ist, was bedeutet dann noch einmal
genau die Notation |F>? Ich weiß, dass meint. Richtig?
Dass L für den Bahndrehimpuls und S für den Spin steht, weiß
ich, aber wieso sind das denn jetzt plötzlich Vektoren???
Das sind nicht „plötzlich“ Vektoren. Die waren das schon immer
(sind so auf die Welt gekommen).
Wo bleiben dann die Vektorpfeile in der Notation der Formel? Das verwirrt!
Das liegt einfach daran, dass
wir in einem dreidimensionalen Raum leben und du jede
beliebige Drehung in drei Komponenten, entsprechend der
kartesischen Raumrichtungen x, y und z, zerlegen kannst. Aber
darüber musst du dir keine Gedanken machen.
Wenn das so einfach wäre 
Du kennst den
Eigenwert der Operatoren L und S und bist nur an der Energie
interessiert und die ist Gott sei Dank skalar .
Ja, die Energie ist skalar. Ich kenne aber nur die Eigenwerte
der Operatoren L², L_i, S², S_i.
Am Rande zum Verständnis (hat nichts mit deinem Blatt zu tun):
Operator L ist definiert als
L=r x p
r x p ist das Kreuzprodukt der Vektoren r für den Raum und p
für den Impuls.
und der Spinoperator
S=1/2*SIGMA
wobei SIGMA ein Vektor der Paulimatrizen sigma_x, sigma_y und
sigma_z ist.
Ja, das weiß ich nun auch. Ich wusste es eigentlich vorher schon,
allerdings habe ich es erst wieder ausgraben müssen ^^
Wenn man dann den Erwartungswert von LS
(Skalarprodukt aus L und S) berechnet, berechnet man den
Erwartungswert der Komponente L_i des Vekors L und
multipliziert mit der Paulimatrix sigma_i.
Du hast hquer = 1 gesetzt, nicht? Atomre Einheiten.
Dadurch wird die
ganze Sache zweikomponentig (das ist auch kurz in dem Paper
beschrieben, das ich verlinkt hatte), was den Rechenaufwand
gehörig in die Höhe treibt.
Definitiv.
Mein Gott, ich will das verstehen, aber mir fehlen
offensichtlich einige Grundlagen. Ich find’s interessant und es demotiviert
mich, dass ich es nicht verstehe.
Mach dir nix drauß, Schmokie Das kommt schon noch.
Quantenmechanik ist halb Verständnis und halb Akzeptanz der
Tatsachen. Man muss sich nur damit arrangieren. Und je öfter
man es sich anhört und anschaut, desto mehr versteht man
wirklich und akzeptiert immer weniger. Aber niemand hört es
zum ersten mal und ist sofort völlig durchgestiegen. Also
Ohren steif halten!!!
Viel zeit habe ich nicht mehr, und das bezieht sich nicht auf das Übungsblatt 
Die QM ist wahnsinnig interessant, nur ich habe echte Probleme mit dem Formalismus.
. Als
