Hallo Stefanie!
Doch, genau das ist möglich.
Nicht möglich ist es dagegen, die
Wahrscheinlichkeit des zuerst gewählten Tores bei diesem
Prozeß zu ändern, denn am 1. Tor ändert sich nichts mehr.
Dann kommt es aber zu einem Widerspruch wenn ich die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Tores betrachte. Diese beträgt für jedes Tor 1/3. Wenn ich nun ein Tor eliminiere, bleibt die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Tor immer noch 1/3. Die Wahrscheinlichkeit ist demnach also für beide verbleibende Tore gleich groß.
Genau hier liegt also der Denkfehler: Für jedes Tor besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1/3, den Gewinn zu enthalten. Wenn ich also ein Tor wähle besteht zunächst eine Wahrscheinlichkeit von 1/3, dass es den Gewinn enthält, und eine 2/3 Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn in einer der anderen Kisten enthalten ist.
Betrachten wir nun das Tor, welches der Quizmaster nun öffnen wird: Auch auf dieses trifft zu, dass es mit 1/3 Warhrscheinlichkeit den Gewinn enthält, und mit 2/3 Wahrscheinlichkeit der Gewinn in den anderen Toren ist. Wenn ich also das Tor öffne und eine Niete zum Vorschein kommt, dann ist klar, dass sich der Gewinn in einem der verbleibenden Tore befindet, und diese haben die jeweils gleich große Wahrscheinlichkeit von 1/3. Da sich nun niemand mehr für das Geöffnete Tor mit der Niete entscheiden wird, besteht nun die Auswahl zwischen nur noch zwei Toren, die mit jeweils gleich großer Wahrscheinlichkeit nämlich 1/2 den Gewinn enthalten.
Stelle Dir das Problem mit 3 Kisten vor, anstatt mit 3 Toren.
Du wählst eine Kiste, sie wird aus dem Raum getragen. Die
Wahrscheinlichkeit, dass sie den Gewinn enthält ist und bleibt
nun 1/3.
Mit 2/3 dagegen ist der Gewinn in einer der beiden anderen,
die sich jetzt noch im Raum befinden. Durch Öffnen einer davon
stellst Du nun fest, ich welcher.
Gut, und welche der beiden Kisten die nun im Raum sind hat nun die höhere Wahrscheinlichkeit den Gewinn zu enthalten?
Das ist falsch. Die Wahrscheinlichkeit des 1. Tores kann sich
nicht von 1/3 auf 1/2 verändern, da an diesem Tor schlicht
nichts mehr geschieht.
An dem Tor selbst natürlich nicht. Aber das ganze Experiment ist doch von einer 1-aus-3 auf eine 1-aus-2-Entscheidung reduziert worden, daher natürlich auch die veränderte Wahrscheinlichkeit.
Deine Annahme, dass nach dem Öffnen die verbleibenden Tore
gleiche Wahrscheinlichkeiten hätten ist nicht begründbar (und
falsch).
Das gleiche behaupte ich nun von deiner Annahme. Allein durch diese Behauptungen wird weder deine noch meine These richtiger.
Wie wäre es also, wenn wir versuchen, unsere Überlegungen mit empirischen Daten zu stützen?
Sie haben ja eine unterschiedliche Vorgeschichte.
In wiefern haben denn die beiden ungeöffneten Tore eine unterschiedliche Vorgeschichte?
Gruß
Stefan
