Wenn man eine Kugel auf eine schiefe Ebene legt, rollt sie weg, klar. wenn ich einen Körper mit elliptischem Querschnitt auf eine schiefe Ebene lege, rollt er nicht zwangsläufig sondern abhängig von der Form des ellipsoiden Querschnitts und dem Winkel der schiefen Ebene. Wie kann ich berechnen, wann welcher elliptoide Querschnitt rollt und wann er liegen bleibt?
pp
Moin, pp,
berechnen kann ich’s nicht, nur mir vorstellen 
Wenn der Körper auf einer waagrechten Ebene steht, passiert nichts (bescheuerte Einleitung - weiß man doch). Kippt nun die Ebene aus der Waagrechten, so muss der Körper sich bewegen, weil er in der Lotrechten unter dem Schwerpunkt Unterstützung sucht. Langsam genug durchgeführt, so dass der Körper nicht beschleunigt wird, passiert solange nichts, bis die Haftreibung nicht mehr ausreicht, den Körper vor dem Rutschen zu bewahren.
Erst durch Aufschaukeln wird der Schwerpunkt so weit angehoben, dass er über den Unterstützungspunkt hinaus gerät - dann geht es los mit der Drehung.
Gruß Ralf
Teillösung
Hallo!
Interessante Fragestellung!
Ein Körper rollt dann los, wenn der Berührpunkt des Körpers mit der Unterlage nicht senkrecht unter dem Schwerpunkt liegt. Bei einem kreisrunden Körper (Kugel, Zylinder) ist das immer der Fall, es sei denn die Unterlage ist waagrecht.
Versuchen wir es mal so: Auf der Wikipedia-Seite zur Ellipse findest Du diese Zeichnung: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Bild:Winke…
Dieses Bild musst Du nun so drehen, dass r’ senkrecht steht. Dann ist die rote Linie (t_e) die schiefe Ebene. Der Neigungswinkel der Ebene ist dann β-φ. Wenn man sich die Formeln anschaut, stellt man fest, dass das einfacher gesagt als gerechnet ist … viel Spaß damit!
Michael
(Vielleicht gibt es aber auch noch eine einfachere Lösung).
waagrecht?
Danke erstmal für die Antwort. Eigentlich will ich meinem akademischen Skilehrer nur vermitteln, dass er sich in einer Zeichnung geirrt hat…
Aber folgendes ist mir jetzt aufgefallen:
Bei einem kreisrunden Körper (Kugel, Zylinder) ist das immer
der Fall, es sei denn die Unterlage ist waagrecht.
Ist der Begriff „waagrecht“ in der Physik zulässig? Er bezieht sich doch auf die Wasserwaage. Die aber wird Dir doch ein ca. erdgroßes kreis-/kugelähnliches Gebilde hinterlassen, wenn Du sie nach waagrecht fragst, oder? Weiter gedacht, heißt das, dass auf einer planen Fläche, die auf der Erde aufliegt, eine Kugel vom Rand zur Mitte rollen würde. Irgendwie eine seltsame Vorstellung, meinst Du nicht auch?
grübel
Erdling pp
Hallo!
Ist der Begriff „waagrecht“ in der Physik zulässig?
Klar. Oft macht man die Vereinfachung des homogenen Gravitationsfeldes. Diese Vorstellung lässt erstens außer Acht, dass die Erde eine Kugel ist und zweitens, dass die Erdanziehung nach oben abnimmt. Für kleine Strecken (und alles, was in ein Labor passt, ist „klein“) macht man aber durch diese Vereinfachung quasi keinen Fehler.
Er bezieht
sich doch auf die Wasserwaage. Die aber wird Dir doch ein ca.
erdgroßes kreis-/kugelähnliches Gebilde hinterlassen, wenn Du
sie nach waagrecht fragst, oder?
Ja.
Weiter gedacht, heißt das,
dass auf einer planen Fläche, die auf der Erde aufliegt, eine
Kugel vom Rand zur Mitte rollen würde.
Ja.
Irgendwie eine seltsame
Vorstellung, meinst Du nicht auch?
Nein, wieso?
Physiker können sich unglaublich viel vorstellen. Ich war mal Zuschauer bei einem Hochbegabten-Seminar (wie gesagt: Zuschauer. Hochbegabt waren andere…). Da ging es um die Frage, ob sich - in einem Universum, das nur aus Wasser besteht und in allen Raumrichtungen unendlich weit ausgedehnt ist - zwei Luftblasen aufgrund der Gravitation anziehen oder abstoßen.)
Falls es Dich interessiert: Sie ziehen sich an.
Michael
Wenn man eine Kugel auf eine schiefe Ebene legt, rollt sie
weg, klar.
Hallo,
es ist nicht so klar, dass die Kugel immer wegrollt. Ist die Neigung der schiefen Ebene bei bestimmten Reibungsverhältnissen größer als ein bestimmter Winkel, beginnt die Kugel zu rutschen und rollt nicht mehr.
Gruß:
Manni
Hallo,
Weiter gedacht, heißt das,
dass auf einer planen Fläche, die auf der Erde aufliegt, eine
Kugel vom Rand zur Mitte rollen würde. Irgendwie eine seltsame
Vorstellung, meinst Du nicht auch?
gar nicht so seltsam. Stell Dir vor, Du bist etwas vom Auflagepunkt entfernt, dann siehst Du diese plane Fläche über Dir (zumindest überm Boden), aber wie sieht sie denn aus? Du siehst eine schiefe Ebene! (Mal’s Dir mal hin: Kreis mit Tangente, dann drehst Du den Kreis ein wenig - voilà: die schiefe Ebene.) Und auf der rollt die Kugel natürlich runter. Sie rollt bis zur Mitte, und wenn sie da nicht gebremst wird, rollt sie auf der anderen Seite noch weiter, kommt aber dabei wieder immer höher, bis die potenzielle Energie genauso groß ist wie am Anfang (wenn wir keine Reibungsverluste einrechnen), und dann pendelt sie wieder zurück.
Dass Du dies bei „kleinen“ planen Flächen nicht siehst, liegt daran, dass der Neigungswinkel so unglaublich winzig ist und die Hangabtriebskraft einfach nicht gegen die Reibung ankommt. (Man kann das ja mal ausrechnen, mach ich jetzt nicht, ich bin schon von der Ellipsenaufgabe infiziert!)
Liebe Grüße,
Immo
(Man kann das ja mal ausrechnen, mach ich jetzt nicht, ich bin
schon von der Ellipsenaufgabe infiziert!)
dös gfreit mi!
pp
Hallo pp,
ich habe das Problem gelöst!
bezeichnet man das Verhältnis der kurzen zur langen Hauptachse mit e:=b/a, so ist der Neigungswinkel der schiefen Ebene, unter dem die Ellipse gerade noch nicht rollt, gegeben durch
α = arctan(1/e) - arctan(e).
Die Herleitung ist ein wenig kompliziert, das wird länger dauern, sie zu posten, deshalb kommt sie als Nachtrag.
An dieser Stelle sind nur noch die vereinfachenden Annahmen, die ich gemacht habe:
Die Lösung ist rein mathematischer Natur. Sie geht davon aus, dass der Körper nie gleitet (Haft- und Gleitreibung also unendlich groß oder zumindest groß genug sind), aber sofort, wenn möglich, rollt (also die Rollreibung vernachlässigt wird). Desweiteren reduziere ich das Problem auf zwei Dimensionen (also kein Ellipsoid auf einer schiefen Ebene, sondern eine Ellipse auf einer geneigten Geraden), dies stellt allerdings keine Einschränkung dar. Außerdem soll die Ellipse stets mit der Geraden verbunden bleiben; und schließlich liegt die Ellipse zunächst auf einer waagrechten Geraden, die ich unendlich langsam neige, damit nicht die Beschleunigung, die die Ellipse beim Ausrichten ihres Schwerpunkts erhält, genügt, um die restliche potenzielle Energie zum Weiterrollen aufzubringen.
Nun noch die Interpretation der Gleichung: Ist die Ellipse ein Kreis, so ist e=1 und damit α = arctan(1) - arctan(1) = 0. Der Kreis rollt bei jeder schiefen Ebene.
Ist die Ellipse zu einer Strecke entartet (die, wie gesagt, nicht rutscht!), so ist e=0 und somit α = arctan(oo) - arctan(0) = 90°, die Gerade muss also in einem stumpfen Winkel geneigt werden, damit die Strecke von ihr „herunterrollt“ (umklappt).
Beide Grenzfälle entsprechen den Erwartungen.
Liebe Grüße,
Immo
Klingt saugut!
ich schau mir das in Ruhe mal an.
danke
pp
Hallo,
ich habe das Problem gelöst!
Die Lösung ist rein mathematischer Natur. Sie geht davon aus,
dass der Körper nie gleitet (Haft- und Gleitreibung also
unendlich groß oder zumindest groß genug sind), aber sofort,
wenn möglich, rollt (also die Rollreibung vernachlässigt
wird).
Ist die Ellipse zu einer Strecke entartet (die, wie gesagt,
nicht rutscht!), so ist e=0 und somit α = arctan(oo) -
arctan(0) = 90°, die Gerade muss also in einem stumpfen Winkel
geneigt werden, damit die Strecke von ihr „herunterrollt“
(umklappt).
Hört sich interessant an.
Kannst Du eine Skizze mit den eingezeichneten Kräften nicht mal ins Netz stellen?
IMHO würde die E. ohne Reibung sofort rutschen und nicht „umklappen“. Woher kommt die Energie, die beim „Umklappen“ eine Anhebung des E-Schwerpunktes möglich machen würde? Und wodurch (wenn nicht durch Reibung) bildet sich ein Gegen-Moment zum „Umklappen“ aus?
Gruß:
Manni
Hallo,
IMHO würde die E. ohne Reibung sofort rutschen und nicht
„umklappen“.
Da es sich um zwei unabhängige Kräfte handelt, die sich überlagern, würde es mindestens Kippen.
Woher kommt die Energie, die beim „Umklappen“
eine Anhebung des E-Schwerpunktes möglich machen würde?
Gibt es nicht. Wenn eine nötig wäre, würde es halt nicht umklappen.
Und wodurch (wenn nicht durch Reibung) bildet sich ein
Gegen-Moment zum „Umklappen“ aus?
Gewichtskraft.
Gruß
loderunner
Herleitung der Formel
So, nun gibt’s von mir noch die Herleitung der Formel dazu. Zunächst habe ich das Wiki- Bild noch etwas ergänzt und gedreht (wollte aber nicht noch die ganzen Buchstaben drehen müssen):
http://www.flickr.com/photos/31544713@N08/3083958553…
Die Tangente an die Ellipse stellt die schiefe Ebene dar, die blaue Gerade die Erdoberfläche. Die gezeigte Ellipse hat ein Gleichgewicht auf der schiefen Ebene eingenommen, da der Schwerpunkt (ihr Mittelpunkt) genau senkrecht über dem Auflagepunkt liegt und sie somit keinen Grund hat, sich zu drehen. Wie gesagt, soll sie nicht rutschen können. Ich suchte nach einer mathematischen Lösung, den Rest überlass’ ich den Physikern.
Nun kann man sich überlegen, wie sich der Winkel β und der Neigungswinkel α der Ebene zueinander verhalten. Dabei stellt man zunächst fest: α = β - φ. Wiki liefert aber dankenswerterweise eine Formel für φ in Abhängigkeit von β, und eingesetzt ergibt dies:
α = β - arctan(e²*tan(β)).
Nächster Gedanke: Am „spitzen Ende“ der Ellipse ist φ = β = 0°, und am „flachen Ende“ (ich hoffe, ich drücke mich einigermaßen verständlich aus) ist φ = β = 90°, das zugehörige α ist also in beiden Fällen 0°. Dazwischen ist aber auch mal β > φ, also muss die Funktion α(β) irgendwo ein Maximum haben. Den Funktionsgraphen für verschiedene e habe ich hier:
http://www.flickr.com/photos/31544713@N08/3081661847…
Man kann dort deutlich das jeweilige Maximum sehen (außer bei e=0, aber dieser Fall ist eh uninteressant und man kann ihn auch noch mal gesondert betrachten, wenn man möchte, und bei e=1, das ist der perfekte Kreis - klar, dass die Differenz da immer null ist und er sofort losrollt, sobald die Ebene geneigt ist). Ich betrachte nur Winkel zwischen 0° und 90°, da die Ellipse schön symmetrisch ist und ich in anderen Intervallen gerne mal ein doofes Vorzeichen kriege.
Für alle möglichen Winkel α findet die Ellipse also zwei Lagen, in denen sie sich im Gleichgewicht befindet; eins ist labil, das andere stabil (für α = 0: im labilen Gleichgewicht steht sie auf der Spitze, im stabilen liegt sie flach auf dem Boden). Der Grenzfall ist das jeweilige Maximum (dort ist das Gleichgewicht m.E. labil, rechne ich aber nicht nach); und bei jedem Winkel, der auch nur infinitesimal größer als dieses errechnete Maximum ist, kann die Ellipse keinen Gleichgewichtszustand mehr einnehmen. Der gesuchte Winkel ist also dieses Maximum.
Dieses zu bestimmen ist etwas mühsam (ich hab mich auch direkt verrechnet), wenn man grad keinen Computer zur Hand hat. Aber Maple, mein guter Freund, hat mir sofort die hinreichend schöne Ableitung ausgespuckt, die Nullstellen bestimmt und den entsprechenden Funktionswert berechnet, und heraus kam das bereits zuvor gepostete
αmax = arctan(1/e) - arctan(e).
Dies sieht man hier auch mal als Graph:
http://www.flickr.com/photos/31544713@N08/3081661851…
Das Problem scheint zunächst gelöst; aber es könnte ja sein, dass gar nicht alle möglichen β vorkommen! (Für e=0 ist dies nachvollziehbarerweise auch nicht der Fall, die Lösung stimmt trotzdem.) Was aber klar sein sollte, ist, dass ich in jedem Winkel φ die Tangente bilden kann. Die Funktion φ = arctan(e²*tan(β)) ist aber dankenswerterweise (bis auf e=0) streng monoton wachsend
(siehe hier: http://www.flickr.com/photos/31544713@N08/3081661855…)
und somit injektiv. Über möglicherweise nicht real existierende β brauchen wir uns also keine Gedanken zu machen - das Problem ist tatsächlich gelöst!
Liebe Grüße
Immo
Hallo,
IMHO würde die E. ohne Reibung sofort rutschen und nicht
„umklappen“.
Da es sich um zwei unabhängige Kräfte handelt, die sich
überlagern, würde es mindestens Kippen.
Falsch. Es gibt keine 2 unabhängigen Kräfte, die sich überlagern.
Es gibt die Hangabtriebskraft. Die gleichgroße Gegenkraft ist die Massenkraft m*a. Das sind (ohne Reibungskräfte) die einzigen X-Kräfte.
Die Y- Kräfte bestehen aus der Gewichtskraft und der gleichgroßen, Gegenkraft. Also sind Summe X und Summe Y = 0.
Woher kommt die Energie, die beim „Umklappen“
eine Anhebung des E-Schwerpunktes möglich machen würde?
Gibt es nicht. Wenn eine nötig wäre, würde es halt nicht
umklappen.
Eben: deswegen klappt die E. nicht um, sie rutscht nur.
Und wodurch (wenn nicht durch Reibung) bildet sich ein
Gegen-Moment zum „Umklappen“ aus?
Gewichtskraft.
Falsch: Diese Kraft wirkt von Anfang an und immer.
Eine Kraft ist kein Moment.
Erneuter Vorschlag (hat aber bei anderen Aufgaben bei Dir nie funktioniert):
Gruß:
Manni
Hallo Manni,
da Dein letztes Posting hinter meiner Herleitung liegt, die ja einige Skizzen enthält, möchte ich darauf noch einmal eingehen und hoffe, dass es dadurch verständlicher wird.
Zunächst einmal: Die Ellipse soll einfach nicht rutschen. Natürlich würde sie dies ohne Reibung tun, deshalb schrieb ich ja nicht, dass ich die Reibung vernachlässige. Ich schrieb, dass Haft- und Gleitreibung als unendlich oder zumindest genügend groß anzunehmen sind, um eben das Rutschen zu vermeiden; dass ich jedoch die Rollreibung vernachlässige, damit die Ellipse eben rollen kann. Man könnte sie natürlich auch einfach irgendwie mit der Ebene verbinden (über Zahnräder-Reihen z.B.), damit sie nur rollen und nicht rutschen kann und meine Annahmen irgendwie gerechtfertigt sind. Dann sehen Ellipse und Gerade so aus wie die Utensilien beim Spirograph, falls das noch jemand kennt.
Eine zusätzliche Kraft zur Gewichtskraft ist auch nicht notwendig. Um mit allen Unklarheiten aufzuräumen, habe ich noch einmal schnell eine Grafik erstellt:
http://www.flickr.com/photos/31544713@N08/3087146417….
Hier hab ich die Ellipse zunächst so auf die schiefe Ebene gelegt, dass ihre Hauptachse parallel zur Ebene liegt. Vom Mittelpunkt (Schwerpunkt) wirkt die Gewichtskraft natürlich weiterhin senkrecht nach unten, aber da ist noch Platz für die Ellipse, um dieser Kraft nachzugeben. Danach liegt sie dann so, wie ich’s rot gestrichelt angedeutet habe, der Schwerpunkt liegt jetzt energetisch deutlich günstiger und noch dazu direkt über dem Auflagepunkt – die Ellipse kann der Gewichtskraft nicht weiter folgen und bleibt deshalb so liegen.
Liebe Grüße
Immo
Hallo,
Hier hab ich die Ellipse zunächst so auf die schiefe Ebene
gelegt, dass ihre Hauptachse parallel zur Ebene liegt. Vom
Mittelpunkt (Schwerpunkt) wirkt die Gewichtskraft natürlich
weiterhin senkrecht nach unten, aber da ist noch Platz für die
Ellipse, um dieser Kraft nachzugeben. Danach liegt sie dann
so, wie ich’s rot gestrichelt angedeutet habe, der Schwerpunkt
liegt jetzt energetisch deutlich günstiger und noch dazu
direkt über dem Auflagepunkt – die Ellipse kann der
Gewichtskraft nicht weiter folgen und bleibt deshalb so
liegen.
Nö.
Da sie in die zweite Lage hineinkommt, hat sie noch Schwung. Und deshlab bleibt sie eben nicht liegen, sondern wird sich weiter drehen, der Schwerpunkt bewegt sich über den Auflagepunkt hinweg.
Warum sollte sie in der roten Position anhalten?
Gruß
loderunner
Nö.
Da sie in die zweite Lage hineinkommt, hat sie noch Schwung.
Und deshlab bleibt sie eben nicht liegen, sondern wird sich
weiter drehen, der Schwerpunkt bewegt sich über den
Auflagepunkt hinweg.
Warum sollte sie in der roten Position anhalten?
Hallo,
Weil dann die Gewichtskraft durch den Auflagepunkt geht und die Lage somit stabil ist.
Woher soll die weitere Energie für die Hubarbeit kommen?
Bei einer langgestreckten E. wäre diese Hubarbeit m.E. beträchtlich.
Weshalb machst Du keine Skizze mit Kräften?
So ist das alles „Laberei“ 
Gruß:
Manni
Hallo loderunner!
Da sie in die zweite Lage hineinkommt, hat sie noch Schwung.
Und deshlab bleibt sie eben nicht liegen, sondern wird sich
weiter drehen, der Schwerpunkt bewegt sich über den
Auflagepunkt hinweg.
Das sehe ich ganz genauso, natürlich rollt sie weiter, wenn sie ursprünglich mit zur schiefen Ebene paralleler Hauptachse dalag. Deshalb schrieb ich ja auch unzählige Male, dass ich hier eine rein mathematische Lösung anbiete. Um diese noch etwas „physikalischer“ zu machen, habe ich die vereinfachenden Annahmen angegeben, zu denen unter anderem auch gehörte, dass die Ebene zunächst waagrecht daliegt, die Ellipse gerade (also mit waagrechter Hauptachse) auf die Ebene aufgelegt wird und nun die Ebene unendlich langsam geneigt wird (wodurch der „Schwung“ ausbleibt), bis die Ellipse rollt.
Da die Ellipse ihren Schwerpunkt dabei nur unendlich langsam nachjustiert, erhält sie nur einen unendlich kleinen Drehimpuls, weshalb die Trägheit - in diesem Falle durch Drehimpulserhaltung - keine Rolle spielt und die Ellipse in der roten Position anhält.
Alles Weitere kannst Du gern berechnen, wobei natürlich der Winkel der Hauptachse zur schiefen Ebene beim Aufsetzen der Ellipse eine entscheidende Rolle dafür spielen wird, ab welcher Ebenenneigung die Ellipse rollt.
Wenn es Dir plausibler ist, dann verstehe das Ergebnis meiner Berechnungen doch so, als sei die ursprüngliche Frage (was sicher auch intendiert war), folgendermaßen gestellt (Änderungen hervorgehoben):
Wenn man eine Kugel auf eine schiefe Ebene aufsetzt, rollt sie in jedem Fall (genügend Gleitreibung vorausgesetzt).
Wenn ich einen Körper mit elliptischem Querschnitt auf eine schiefe Ebene aufsetze, rollt er nicht zwangsläufig, sondern abhängig von der Form des ellipsoiden Querschnitts, dem Winkel der schiefen Ebene und der Position, in der ich den Körper aufsetze. Wie kann ich berechnen, wann welcher ellipsoide Querschnitt rollt und wann er liegen bleibt?
Und ich habe die Teilantwort gegeben: Für alle Ebenenneigungswinkel α
Großer Sport! (owt
.
Danke, alles klar, Einwand ausgeräumt. (owt)
-nix-
