Hallo!
Im weiter unten stehenden Artikel hat Deconstruct eine Abschätzung vorgestellt, ob man die Krümmung des Horizonts wahrnimmt (/t/erdkruemmung-von-auge-erkennbar/4703098/2
Meine Überlegungen. Stellen wir uns eine große durchsichtige Kugel vor, in deren Zentrum sich der Beobachter befindet. Er verbindet alle Punkte an denen die Visierlinie zum Horizont die Kugel durchstößt durch eine Linie, die Horizontlinie. Diese Horizontlinie ist ein Kreis. In Polarkoordinaten gilt: 0 ≤ φ
Meine Überlegungen. Stellen wir uns eine große durchsichtige
Kugel vor, in deren Zentrum sich der Beobachter befindet. Er
verbindet alle Punkte an denen die Visierlinie zum Horizont
die Kugel durchstößt durch eine Linie, die Horizontlinie.
Hallo, Michael,
…eine interessante Überlegung.
Ich weiß aber nicht, weshalb man alles kompliziert machen muß.
Jeder Handwerker (und natürlich auch viele andere) haben ein gutes Augenmaß dafür, ob ein Teil oder was auch immer (Bild)etc. horizontal angeordet/aufgebaut/ aufgehängt sind.
Wenn man doch etwas Schiefes erkennt, warum soll man nicht etwas Gekrümmtes erkennen?
Warum wird so getan, als wäre das Erkennen einer gekrümmten Linie/Oberfläche/Begrenzung so etwas außerordentlich Schwieriges, daß man mit den verschiedensten Argumenten dagegen zu Felde ziehen müßte?
Wer eine gekrümmte Oberfläche nicht erkennen kann, hat vielleicht auch sonst kein Augenmaß, ohne deshalb so einen „Bohei“ zu machen.
Gruß:
Manni
So, und nun wird es spannend: Ob die Horizontlinie tatsächlich
als gekrümmte Linie wahrgenommen wird, hängt von der
Projektion und der Blickrichtung ab. Wenn wir z. B. davon
ausgehen, dass das Gesichtsfeld einfach eine sphärische
winkeltreue Projektion ist (wie hier beschrieben), und die
Blickrichtung genau tangential zur Erdoberfläche ist, dann ist
die Horizontlinie eine Gerade, unabhängig davon, wie groß h
ist!
Dann müssten aber gerade Linien als gebogen wahrgenommen werden. Das ist aber offensichtlich nicht der Fall. Der Mensch kann gerade Linien IMO sehr gut wahrnehmen.
Ich habe mal die Situation in einem Geometrie-Programm nachgezeichnet:
http://www.luckyserv.de/erdkruemmung/Querschnitt.png
Der Beobachter ist B. Er sieht aus der Höhe h auf die Erde herunter. Die Entfernung/Sichtlinie zu einem Punkt H am Horizont ist durch d gegeben. Wenn man davon rechtwinklig auf die Verbindung Beobachter-Erdmittelpunkt (B-M) geht, dann spannt dies einen geraden Kreiskegel mit Radius r’, Mantellinie d und Höhe M’-B auf.
Dies Kegelfläche ist dabei genau die Sichtebene zum Horizont. Damit sieht man dann, dass die Wölbung des Kegels genau der Krümmung des Horizonts entspricht.
In der (laienhaften) 3-Dimensionalen Darstellung die ich gezeichnet habe, ist ein Ausschnitt des Kegels zu sehen. Der Beobachter blickt mit dem Blickwinkel Phi auf den Horizont von H bis nach H’. Die Wölbung des Sichtkegels ist dabei jedoch der Winkel Omega’.
Je flacher man auf die Erde sieht (also je niedriger der Standort) desto kleiner ist dieser Winkel und nähert sich bei h gegen 0 ebenfalls 0 an. Der Kegel wird dabei immer mehr zu einem flachen Kreis.
Bei h gegen unendlich wird der Kegel immer mehr zum Zylinder und der Omega’ läuft dann gegen Omega. Muss ja auch so sein.
Nunja, auf jeden Fall wenn man Omega’ ausrechnet, dann erhält man folgende Formel (Phi = Blickwinkel des Beobachters, r = Erdradius, h = Höhe des Beobachters über Erdoberfläche):
alpha = asin(r/r+h)
Omega’ = 2 * arcsin(sin(Phi/2) * cos(alpha) / sin(alpha) )
Wenn der Beobachter natürlich so weit von der Erde weg ist, dass er mit dem angegebenen Blickwinkel bereits mehr als die ganze Erde sieht, dann ist Phi/2 natürlich zu groß. Es kann ja maximal so groß sein, wie der Winkel unter dem der Beobachter die ganze Erde sieht.
Um dem gerecht zu werden, benutzt man statt Phi/2 einfach das Minimum aus Phi/2 und alpha. Damit kann der Blickwinkel maximal so groß werden, dass die ganze Erde im Blickfeld ist. Somit erhält man dann endgültig:
Omega’ = 2 * arcsin(sin(min(alpha, PHI/2)) * cos(alpha) / sin(alpha) )
Wenn man das dann mal plotten lässt für einen Blickwinkel von 50° dann kommt nachfolgendes raus. Die Y-Achse ist die Wölbung des Sichtkegels (Omega’) in Grad, Die Y-Achse sind die Entfernung über der Erdoberfläche in km.
Plot bis zu 25km Entfernung zur Erdoberfläche:
http://www.luckyserv.de/erdkruemmung/plot25.png
Wie man sieht ist die Wölbung etwa 3° in 10km Höhe und etwa 5° in 25km Höhe.
Plot bis zu 1000km Entfernung zur Erdoberfläche:
http://www.luckyserv.de/erdkruemmung/plot1000.png
Dieser Plot ist gut geeignet, das ganze zu überprüfen. In 350 km Höhe fliegt die ISS herum. Wenn man z.B. folgendes Foto (mit ebenfalls 50° Bildwinkel wie im Plot) von dort oben nimmt, dann ist die Wölbung etwa 15° wenn man das grob im Bild ausmisst.
http://www.luckyserv.de/erdkruemmung/ISS-Sample.jpg
Das deckt sich recht gut mit der im Plot errechneten Wölbung, die dort etwas 16,5° ist.
Original-Grafik von hier: http://spaceflight.nasa.gov/gallery/images/shuttle/s…
Exif-Daten sind eingebettet in das Bild dort.
Plot bis zu 400.000 km Entfernung zur Erdoberfläche (Also etwa vom Mond aus):
http://www.luckyserv.de/erdkruemmung/plot400k.png
Hier sieht man gut das Verhalten wenn die Höhe gegen unendlich läuft. Je weiter man weg ist, desto mehr nähert sich die Wölbung den 180° an, was dann einer Sicht auf den kompletten Äquator entspricht. Wie man sieht muss man dazu schon fast 200.000km von der Erde entfernt sein, damit man bis zum Äquator sehen würde, wenn man direkt auf den Nordpol blickt.
Die Frage ist jetzt bloß, ab wann man eine Krümmung wahrnehmen kann. Ich denke mal, dass man 3° mit dem Vergleich mit einer geraden Leiste sehr wohl mit dem bloßen Auge feststellen kann. Ohne Hilfsmittel nur mit dem Auge ist es wohl zu wenig. Aber so in 25km Höhe müsste man die 5° wohl auf jeden Fall mit dem bloßen Auge sehen und das sind immerhin noch Höhen, in denen auch Flugzeuge fliegen können.
Hallo Deconstruct!
Erstmal herzlichen Dank für die Mühe. So ähnlich hatte ich mir das auch gedacht, allerdings natürlich nicht so tief wie Du das berechnet hast.
Allerdings:
**Plot bis zu 1000km Entfernung zur
Erdoberfläche:**
http://www.luckyserv.de/erdkruemmung/plot1000.png
Dieser Plot ist gut geeignet, das ganze zu überprüfen. In 350
km Höhe fliegt die ISS herum. Wenn man z.B. folgendes Foto
(mit ebenfalls 50° Bildwinkel wie im Plot) von dort oben
nimmt, dann ist die Wölbung etwa 15° wenn man das grob im Bild
ausmisst.
Woher weißt Du, dass hier der Bildwinkel 50° beträgt?
Abgesehen davon klärt das nicht meine ursprüngliche Fragen, nämlich wie die Projektion beim menschlichen sehen erfolgt. Du hast hier eine sphärische Projektion verwendet. Eine Fotokamera projeziert jedoch auf eine Ebene. Deswegen ist jede horizontale Linie (mit Ausnahme der Horizontlinie) auf einem Foto eine Hyperbel. (Die Krümmung ist jedoch kaum wahrnehmbar, weil der Bildausschnitt meistens viel zu klein ist, als dass es eine Rolle spielen könnte, außer bei Fisheye-Aufnahmen, mit extrem weitem Blickfeld.)
Blöderweise hilft einem die Geometrie des Auges nicht hundertprozentig weiter
Michael
Hallo!
und die
Blickrichtung genau tangential zur Erdoberfläche ist, dann ist
die Horizontlinie eine Gerade, unabhängig davon, wie groß h
ist!
Das ist ein Irrtum.
Du schaust eben nicht „horizontal“ sondern von oben herunter
auf den Erdrand, auf eine Dich „umgebende Scheibe“ in deren
Zentrum Du stehst.
Je größer h wird desto mehr müßte eine Krümmung zu erkennen sein.
Das Problem ist (und war)beim welchem Blickfeldwinkel und
welcher Höhe h registriert unser Gehirn - „da ist Krümmung“.
Das kann man nicht berechnen. Unser Gehirn ist programmiert
auf Horizont=horizontal und unser Auge fokussiert nur kleinere
Teilbereiche.Das Gehirn muß dort „Krümmung sehen“ wahrscheinlich
erst lernen.
Deswegen auch die unterschiedlichen Aussagen der Beobachter.
Berechnen kann man bei einer festgelegten Höhe und einem
festgelegten Blickwinkel die „Stichhöhe“ des dann eingeschlossenen
Kreisabschnittes - das Foto zeigt dies dann auch vielleicht so !!
Bei 20km Höhe , einem Blickfeldwinkel von 20Grad ergibt sich ein
„Stich“ des Segmentes von ca 1/1000 - ohne Gewähr, habe nur mal
auf die Schnelle gerechnet. „Kreisrand“ ca 5o5 km entfernt.
(Werde nochmal in Ruhe nachrechnen und mich dann melden)
Gruß VIKTOR
Woher weißt Du, dass hier der Bildwinkel 50° beträgt?
Brennweite und Kamera kriegst du aus den EXIF-Daten des Bildes. Damit weiss ich dass das Bild mit 25mm Brennweite aufgenommen wurde und der Sensor 23,7mm breit ist. Damit kann ich dann mit
Bildwinkel = 2 * arctan(sensorgröße/(2*brennweite)) = 2 * arctan(23,7/50) = 50,7°
ausrechnen.
Abgesehen davon klärt das nicht meine ursprüngliche Fragen,
nämlich wie die Projektion beim menschlichen sehen erfolgt.
Du hast hier eine sphärische Projektion verwendet. Eine
Fotokamera projeziert jedoch auf eine Ebene. Deswegen ist jede
horizontale Linie (mit Ausnahme der Horizontlinie) auf einem
Foto eine Hyperbel. (Die Krümmung ist jedoch kaum wahrnehmbar,
weil der Bildausschnitt meistens viel zu klein ist, als dass
es eine Rolle spielen könnte, außer bei Fisheye-Aufnahmen, mit
extrem weitem Blickfeld.)
Die Krümmung durch die Kamera-Projektion kannst du hier vernachlässigen. Die Kamera und das Objektiv sind beide hochqualitativ. Bei 25mm Brennweite hat so ein teures Ding fast keine Verzerrung. Es gibt Programme, mit denen kann man die Linsen-Verzerrung herausrechnen lassen. Hier hab ich das mal gemacht. Wie du siehst, ist der Unterschied kaum spürbar und macht allenfalls ein paar zehntel Grad aus:
http://www.luckyserv.de/erdkruemmung/verzerrung.gif
Blöderweise hilft einem die Geometrie des Auges nicht
hundertprozentig weiter
Wie das Auge genau abbildet kann ich dir auch nicht sagen, aber was ich weiß ist, dass ich sehr gut den Unterschied zwischen einer gekrümmten/geraden, schiefen/horizontalen Linie unterscheiden kann.
Also v.a. wenn man den Vergleich mit einer geraden Leiste hat, dann dürfte das ja wohl nicht so schwer fallen, da man dann ja auch noch ein Vergleichsobjekt hat. Wenn man weiß, dass die Leiste gerade ist und der Horizont nicht genau der Leiste folgt, dann weiß man ja, dass der Horizont gekrümmt sein muss.
Hallo!
Woher weißt Du, dass hier der Bildwinkel 50° beträgt?
Brennweite und Kamera kriegst du aus den EXIF-Daten des
Bildes. Damit weiss ich dass das Bild mit 25mm Brennweite
aufgenommen wurde und der Sensor 23,7mm breit ist. Damit kann
ich dann mit
Bildwinkel = 2 * arctan(sensorgröße/(2*brennweite)) = 2 *
arctan(23,7/50) = 50,7°
ausrechnen.
Respekt!
Blöderweise hilft einem die Geometrie des Auges nicht
hundertprozentig weiterWie das Auge genau abbildet kann ich dir auch nicht sagen,
aber was ich weiß ist, dass ich sehr gut den Unterschied
zwischen einer gekrümmten/geraden, schiefen/horizontalen Linie
unterscheiden kann.
Sei Dir da nicht so sicher! Ich kenne eine Stelle in Norwegen, wo das Wasser scheinbar den Berg hinauf fließt. Irgendwelche Pseudo-Physiker meinen an solchen Stellen „Gravitationsanomalien“ zu erkennen. In Wirklichkeit liegt es daran, dass der Mensch bisweilen große Probleme hat gerade und krumm bzw. waagrecht und schief zu unterscheiden - wenn ein entsprechender Vergleichsmaßstab fehlt.
Also v.a. wenn man den Vergleich mit einer geraden Leiste hat,
dann dürfte das ja wohl nicht so schwer fallen,
Klar. Aber das ist der andere Thread 
Danke nochmal für Deine fachkundigen Hinweise und *
Michael
Auch wenn das sich langsam vom Thema Erdkrümmung entfernt und wieder in Richtung Sinneswahrnehmung beim Menschen geht, noch ein paar Sätze dazu:
Sei Dir da nicht so sicher! Ich kenne eine Stelle in Norwegen,
wo das Wasser scheinbar den Berg hinauf fließt. Irgendwelche
Pseudo-Physiker meinen an solchen Stellen
„Gravitationsanomalien“ zu erkennen. In Wirklichkeit liegt es
daran, dass der Mensch bisweilen große Probleme hat gerade und
krumm bzw. waagrecht und schief zu unterscheiden - wenn ein
entsprechender Vergleichsmaßstab fehlt.
Ich kenne so eine Stelle in Italien an der Via dei Laghi in der Nähe von Castell Gandolfo. Aber all diesen Orten ist gemeinsam, dass es sich um eine optische Täuschung handelt, die unserem Auge durch scheinbare Vergleichsobjekte (z.B. stärker werdende Steigung der Landschaft im Hintergrund, Kuppen in abwärts führenden Straßen, etc) Dinge vorsetzt, die im Normalfall anders interpretiert werden, nämlich als Indiz für eine Steigung.
Selbst auf Fotos sieht das deshalb noch genauso aus. Retuschiert man aber hier z.B. den Hintergrund heraus, dann erkannt man plötzlich die reale Steigung sofort.
Schöne Beispiele hier:
http://www.rolf-keppler.de/gravitation.htm
Beim Horizont z.B. am Meer kann das aber ja kaum zutreffen, denn wenn du gute Sicht und keine Wolken hast siehst du ja nichts außer Meer, also können dich solche Dinge auch nicht täuschen.
Ich denke dass beim Horizont eher etwas anders aber ähnliches zum Tragen kommt, nämlich dass unser Gehirn den Horizont als gerade Linie abgespeichert hat und deshalb erstmal gar nicht auf die Idee kommt, dort eine Krümmung zu erkennen. Unser Gehirn ist ja in erster Linie ein Muster-Erkenner, der Wahrnehmungen mit bereits gemachten Erfahrungen abgleicht. Erst wenn die Krümmung sehr stark ist, kann das Gehirn an dieser Vorstellung nicht mehr festhalten und man erkennt die Krümmung deutlich.
Deshalb kann es gut sein, dass man durch bloßes Hinschauen z.B. von einem 8000er oder aus einem Flugzeug den Horizont als gerade erkennt. Durch Vergleich mit einer geraden Leiste kann man die Krümmung aber denke ich dennoch mit bloßem Auge erkennen, da man dann einen Anhaltspunkt für eine gerade Strecke hat. Und ich bin immer noch der Meinung, dass man 3° Krümmung beim Vergleich mit einer geraden Leiste ohne Probleme erkennen wird. Genauso kann man das dann bei Fotos nachträglich erkennen, wenn man in das Foto eine horizontale Hilfslinie einfügt.
Auch kann ich mir gut vorstellen, dass es von Mensch zu Mensch unterschiedlich ist, wann sich sein Gehirn vom geraden Horizont verabschiedet und die Krümmung wahrnimmt.
Und gleiches gilt auch anders rum:
Wenn man glaubt, dass irgendwas gekrümmt ist, kann man vermutlich ohne Probleme auch Krümmungen erkennen, wo keine sind. Das Gehirn sieht einfach die Wunschvorstellung. Aber auch hier kann man das denke ich durch den Vergleich mit einer geraden Linie klar stellen.
Hallo Michael,
ich sah mal im Fernsehen einen Bericht über dieses Phänomen in England, dort rollten die Autos scheinbar aufwärts. Es war eine optische Täuschung durch den Hintergrund der Landschaft.
Gruß
Michael
Sei Dir da nicht so sicher! Ich kenne eine Stelle in Norwegen,
wo das Wasser scheinbar den Berg hinauf fließt. Irgendwelche
Pseudo-Physiker meinen an solchen Stellen
„Gravitationsanomalien“ zu erkennen. In Wirklichkeit liegt es
daran, dass der Mensch bisweilen große Probleme hat gerade und
krumm bzw. waagrecht und schief zu unterscheiden - wenn ein
entsprechender Vergleichsmaßstab fehlt.Also v.a. wenn man den Vergleich mit einer geraden Leiste hat,
dann dürfte das ja wohl nicht so schwer fallen,Klar. Aber das ist der andere Thread
Danke nochmal für Deine fachkundigen Hinweise und *
Michael
Hallo Manni,
treffen wir uns hier unten wieder, als der Kaffeesatz einer heißen Diskussion … ?
Manchmal muss man sich schämen, was man wissen müsste
http://books.google.de/books?id=fnAOAAAAYAAJ&pg=PR17…
Bauernfeind drückt sich nur um die Art der Projektion herum.
Die Aufgabe sehe ich von der geometrischen Seite als gelöst an. Das Betrachten der Augenprojektion bringt noch mal einen weiteren geometrischen Aspekt, aber nur monokular.
Mein Einwand: binokular müsste man die Krümmung doch liegend aus der Hängematte wahrnehmen können … (90°-Winkel)
Mir fehlen die Kenntnisse, die phänomenologische Seite des Sehens beurteilen zu können. Kommt da von VIKTOR noch was ?
Grüße Roland
schonmal an der See gewesen?
Hallo!
ein Schiff hinterm Horizont erkennst du noch prima an den Aufbauten --> klar Krümmung vorhanden.
