Geheimnis der Sinusfunktion

[andrea_438706]

Hallo Experten

In bin dabei mir die Grundlagen der Goniometrie anzueignen. Folgende Frage verfolgt mich nun schon seit langem.
Warum ist die Sinusfunktion so „harmonisch“ bzw., was ist eigentlich so speziell an der Sinusfunktion?

Das Intelligenteste was ich mir bis jetzt zusammengereimt habe, war folgende Idee:

sin(10°) sin(20°)
------- = ---------
sin(20°) sin(30°)

Leider stimmt die Gleichung nicht.
Ich dachte die Steigung in der Sinusfunktion nimmt im Verhältnis des goldenen Schnitts, bzw.der harmonischen Teilung zu.

Kann mir jemand vielleicht ein Denkanstoss liefern, damit ich verstehe was das Spezielle der Sinusfunktion ist?

Vielen Dank für eure Hilfe
Andrea

[DevilSuichiro]

moin;

Ich dachte die Steigung in der Sinusfunktion nimmt im Verhältnis des goldenen Schnitts, bzw.der harmonischen Teilung zu.

Die Steigung entspricht der Cosinusfunktion, da diese die Ableitung der Sinusfunktion ist =)
Die „Steigung der Steigung“, also die zweite Ableitung, ist wiederum die (negative) Sinusfunktion.

ein hübscher Artikel diesbezüglich (mir würde auch keine bessere Antwort einfallen ^^) wäre dieser:
/t/zusammenhaenge-der-formeln-fuer-sin-und-cos/52113…

mfG

[Martin]

Hallo,

Warum ist die Sinusfunktion so „harmonisch“ bzw., was ist
eigentlich so speziell an der Sinusfunktion?

das Besondere an der Sinus- und Cosinusfunktion f(x) = sin (x) bzw. cos (x) ist, dass sie die Differentialgleichung f’’ + f = 0 lösen. sin für die Anfangsbedingung f(0) = 0 und f’(0) = 1, cos für die Anfangsbedingung f(0) = 1 und f’(0) = 0.

Das Besondere an der Sinus hyperbolicus- und Cosinus hyperbolicus-Funktion f(x) = sinh (x) bzw. cosh (x) ist, dass sie die Differentialgleichung f’’ – f = 0 lösen. sinh für die Anfangsbedingung f(0) = 0 und f’(0) = 1, cosh für die Anfangsbedingung f(0) = 1 und f’(0) = 0 löst.

…an der e-Funktion f(x) = e^x ist, dass sie die Differentialgleichung f’ = f für die Anfangsbedingung f(0) = 1 löst.

…an der linearen Funktion f(x) = a x + b ist, dass sie die Differentialgleichung f’ = a für die Anfangsbedingung f(0) = b löst.

…an der 1/x -Funktion ist, dass das Produkt x · f(x) (= der Flächeninhalt des vom Ursprung und irgendeinem Punkt auf dem Graph aufgespannten Rechtecks!) immer denselben Wert hat, nämlich 1.

…an der ln -Funktion (Natürlicher Logarithmus) ist, dass sie die Stammfunktion von 1/x ist.

…an der arctan -Funktion (Arkustangens) ist, dass sie eine Stammfunktion von 1/(x² + 1) ist.

Es gibt natürlich noch viel mehr Funktionen mit Besonderheiten, aber die einfachsten sind die in der obigen Zusammenstellung, die ja schon die meisten der „prominenten“ Funktionen umfasst.

sin(10°) sin(20°)
------- = ---------
sin(20°) sin(30°)

Leider stimmt die Gleichung nicht.

Nein, und es wäre auch ein Wunder, denn „°“ ist ja menschengemacht. Die Einteilung des Vollkreises in 360 Schritte (die „Grad“) ist völlig willkürlich. Die alten Griechen haben sich das ausgedacht, weil ihnen die Zahl 360 so gut gefiel. Von der Natur ist nur vorgegeben, dass ein Vollkreis mit Radius 1 den Umfang 2 π hat (immer und überall!). Das ist das natürliche Winkelmaß.

Ich dachte die Steigung in der Sinusfunktion nimmt im
Verhältnis des goldenen Schnitts, bzw.der harmonischen Teilung zu.

Du verwechselst das wahrscheinlich mit der logarithmischen Spirale.

Gruß
Martin

[Gandalf]

Moin,

Die Einteilung des Vollkreises in 360
Schritte (die „Grad“) ist völlig willkürlich. Die alten
Griechen haben sich das ausgedacht, weil ihnen die Zahl 360 so
gut gefiel.

n, die 360 ° haben sich die Babylonier ausgedacht und die 360 hat mit dem Jahreslauf zu tun.
Ein Jahr hat 360 + n Schalttage Tage.

Gandalf

[Martin]

Hi Gandalf,

n, die 360 ° haben sich die Babylonier ausgedacht

auch das trifft es IMHO nicht ganz. Die Babylonier standen aus dem von Dir genannten Grund auf die 360, aber die Teilung des Vollkreises in ebenjene Anzahl Schritte geht soweit mir bekannt auf das Konto der Griechen.

Zitat aus der Wikipedia, Eintrag „Grad (Winkel)“:

Die Einteilung des Vollwinkels des Kreises in 360° in der Geometrie, Geographie, Geodäsie und Astronomie wurde durch die Astronomen Hypsikles von Alexandria („Anaphorikos“, 170 v. Chr.) und Hipparch von Nikaia (190–120 v. Chr.) eingeführt.

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Grad_%28Winkel%29

Gruselige Grüße
Martin

[Gandalf]

Moin Martin,

auch das trifft es IMHO nicht ganz. Die Babylonier standen aus
dem von Dir genannten Grund auf die 360, aber die Teilung des
Vollkreises in ebenjene Anzahl Schritte geht soweit mir
bekannt auf das Konto der Griechen.

nun gut, ein Zitat hab ich leider keines, aber meine Matheprofessorin hat uns das mit den Babyloniern gesagt. Zumal 12, 24, 60 und 360 eine Unzahl von Teilern haben und auch deshalb gerne genommen wurden.

Aber seis wie es ist, die 360 hat schon ihre Vorteile (siehe Teiler).

Gandalf