hallihallo,
erstmal gratulation zu einer der besten portablen audioquellen überhaupt. (ich bin kein apple-fanboy, sondern urteile da objektiv^^) und wie du schon geschrieben hast, ist der apple-ohrhörer mist, da er weder bass, noch höhen oder mitten auf gutem niveau liefert.
mit 15-20€ lässt du einem natürlichen keinen großen spielraum. einen preisnachlass von 150€ auf 30€ kann ich dir auch leider nicht bieten, aber wir werden aus deinem budget das beste rausholen^^
ich denke, dass wir, gerade da du keine vorgaben zur form lieferst, sowohl in-ears (ohrhörer) wie auch (bügel-)kopfhörer betrachten sollten. ich tendiere dabei eher zu zweiteren, da sie den vorteil eines größeren und meist bassstärkeren treibers haben, der auch feiner auflöst (gerade im niedrigpreissegment), aber das ist keine generelle aussage, sondern nur ein kleiner hinweis.
widmen wir uns zuerst mal den inears. in dem preissegment kommen sennheiser und akg als meine bevoirzugten hersteller nicht wirklich in frage, aber auch die jungs von philips haben ein bissel was brauchbares produziert. der she8500 kostet im internet rund 15€ und liefert guten klang. sieht auch ganz passabel aus.
außerdem sind da noch die groove buds. die liegen um 10€ und sind auch passabel und auch der lieferumfang ist mehr als großzügig. ich nenne selbst sie mein eigentum und nutze sie recht häufig bei gartenarbeit oder ähnlichem 
um auf bügelkopfhörer einzugehen, müssen wir zwei geräte mal direkt betrachten:
der sennheiser hd201 ist ein guter, ohrumschließender kopfhörer mit sattem bass und gut aufgelösten höhen und mitten für rund 20€. er wirkt allerdings ganz schön billig, auch wenn er das auch verarbeitungstechnisch nicht ist.
andererseits sei an dieser stelle ein weiterer philips-kopfhörer erwähnt, der sbchp 400. sieht nach ein bissel was aus, kann aber ein ganze menge soundtechnisch und er lässt sich falten um leichter transportiert zu werden. auch der liegt in dem von dir gewünschten preissegment.
wenn ich dir andere günstige hörer empfehlen darf, die aber leicht über deinem budget liegen, dann sind das der sennheiser cx 300-II precision für rund 25€ und der cx 400-II precision für knapp 30€.
außerdem als bügelhörerder koss porta pro für knapp 30€ (uvp 60€) und der akg k512 im ähnlchen preissegment.
die zwei sennheiser-hörer sind klassiker und sind bei mir und vielen bekannten im einsatz. einfach gute teile mit sattem bass und richtig guter verarbeitung und kabelqualität.
der porta pro wirkt billig und uralt, ist aber mehr als bewährt (gab schon eine „25jahre“-edition, die gerade bei mir genesis abspielt!!) und für 30€ internetpreis auch mehr als zu empfehlen ist. meine 25jahre-edition war teurer, ist aber baugleich von den mechanischen teilen. nur die optik ist ein bissel anders.
der akg ist noch kein sehr bewährter hörer, aber ein sehr guter neuling auf dem markt (2jahre oder so) und trotz seiner größe eine echte empfehlung für den einsteiger. das kabel ist sehr hochwertig verarbeitet, auch wenn einzelne stimmen anderes behaupten. es sollte ein paar jahre halten^^
die ganzen genannten modelle (bis auf den prota pro) kommen natürlich nicht an modelle aus den studio-serien von akg oder sennheiser hd 500 bis hd 800 heran, ksoten aber auch nur einen bruchteil. kopfhörer fangen im bereich bis 30€ an und nach oben gibt es fast keine obergrenzen^^
ich hoffe, ich konnte helfen und unter uns, der porta pro macht lange spaß 
gruß, sebastian
ps: die preise sind die eines großen internet-händlers