Hallo.
Kann man eigentlich sagen, dass jede holomorphe Funktione eine Stammfunktion hat??
Gruß
OLIVER
Hi,
nein.
(Z-C)^-1 hat in keiner Umgebung von C eine Stammfunktion.
Max
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
deine Funtion ist ja auch nicht holomorph.
Oliver
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Hi,
Kann man eigentlich sagen, dass jede holomorphe Funktione eine
Stammfunktion hat??
Der Beweis, dass jede holomorphe Funktion integrierbar ist, sollte ja möglich sein. Schliesslich ist jede in einem Kreisring holomorphe Funktion in eine Cauchyreihe entwickelbar.
Ob man daraus herleiten kann, dass eine Stammfunktion existieren muss, wage ich zu bezweifeln.
ciao
ralf
Hi,
na klar ist die holomorph.
Natürlich nicht global, aber das hast Du nicht gefragt.
Grundsätzlich gilt, daß alle holomorphen Funktionen lokal eine Stammfunktion haben. Aber nicht mehr dann, wenn das betreffende Gebiet nicht einfach zusammenhängend ist. Genau das ist bei obiger Funktion der Fall.
Du kannst natürlich in Umgebungen, die c nicht enthalten UND einfach zusammenhängend sind immer eine Stammfunktion angeben. Nämlich deshalb, weil dann jede holomorphe Funktion in eine Potenzreihe entwickelbar ist. Im obigen Fall in den logarithmus. In einer z.b. kreisförmigen Umgebung um c\c aber nicht mehr.
Max
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HAllo,
erstmal Danke für deine Antworten!
(Z-C)^-1 hat in keiner Umgebung von C eine Stammfunktion.
Max
deine Funtion ist ja auch nicht holomorph.
Oliver
na klar ist die holomorph.
Stimmt. Ich meinte global holomorph…
Natürlich nicht global, aber das hast Du nicht gefragt.
Grundsätzlich gilt, daß alle holomorphen Funktionen lokal eine
Stammfunktion haben.
Ok, kann man also sagen:
„Jede global holomorphe Funktion hat eine Stammfuntion ?“
Gruß
Oliver
Ok, kann man also sagen:
„Jede global holomorphe Funktion hat eine Stammfuntion ?“
Hi Oliver,
so isses.
Wichtiger ist aber die Aussage daß JEDE holomorphe Funktion lokal Stammfunktionen hat.
Mir scheint auch Du hast etwas wichtiges übersehen. Nämlich die Wichtigkeit des Begriffes „einfach zusammenhängend“.
Schau Dir mal den Zusammenhang zwischen einfachzusamenhängend, integrabel, Stammfunktion, Satz von Stokes sowie Kraftfeldern und Potentialen an.
Max
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Danke o.T.
kein Text
Kann man eigentlich sagen, dass jede holomorphe Funktione eine
Stammfunktion hat??
Die Antwort lautet : ja. Die Funktion
w
F(w)= INT f(z)dz
w<sub>0</sub>
ist holomorph, und es gilt
F'(z)=f(z).
Das kann man in jedem Buch über Funktionentheorie nachlesen, z.B. Laugwitz, Ingenieurmathematik Band V, S.39f. Mit mehrfach zusammenhängenden Gebieten u.ä. hat das nichts zu tun.
Gruß.
meridium
Laugwitz, Ingenieurmathematik Band V, S.39f. Mit mehrfach
zusammenhängenden Gebieten u.ä. hat das nichts zu tun.
Hi,
von Maximilian Esser (6.12.2001 22:02 Uhr, gelesen: 0 mal)
:: Kann man eigentlich sagen, dass jede holomorphe Funktione eine
:: Stammfunktion hat??
:
:
: Die Antwort lautet : ja. Die Funktion
:
: w
: F(w)= INT f(z)dz
: w0
:
:
: ist holomorph, und es gilt F’(z)=f(z). Das
kann man in jedem Buch über Funktionentheorie nachlesen, z.B.
Laugwitz, Ingenieurmathematik Band V, S.39f. Mit mehrfach
zusammenhängenden Gebieten u.ä. hat das nichts zu tun.
Hi,
ahem: vielleicht hättest Du mal in ein richtiges Mathematikbuch schauen sollen 
.
Das Ringintegral:
w
INT 1/(z-c)dz
w
längs einer Kurve um c hat den Wert 2pi*i. Gäbe es eine Stammfunktion, wäre wegen F/w) = F(w) der Wert = 0.
Und das genau weil das Gebiet nicht einfach zusammenhängend ist.
Max
habs doch nicht verstanden
Ok, kann man also sagen:
„Jede global holomorphe Funktion hat eine Stammfuntion ?“Hi Oliver,
so isses.
Mir ist eben aufgefallen, dass deine Beispielfunktion f=1/(z-c) ja doch global holomorph ist. Die einzigste Stelle, wo das nicht der Fall wäre, ist am Punkt c, da dieser jedoch gar nicht zum Definitionsbereich gehört, wird er aber sowieso nicht betrachtet.
Also wie jetzt?
Gruß
OLIVER
Hi Max,
Mir scheint auch Du hast etwas wichtiges übersehen. Nämlich
die Wichtigkeit des Begriffes „einfach zusammenhängend“.
Schau Dir mal den Zusammenhang zwischen einfachzusamenhängend,
integrabel, Stammfunktion, Satz von Stokes sowie Kraftfeldern
und Potentialen an.
Noch eine Frage 
Gilt der Satz von Stokes eigentlich auch nur auch nur auf einfachzusammendhängenden Flächen?
Gruß
Oli
Hi,
der eine Punkt reicht.
Ich habe es oben geschrieben. Das Ringintegral um c hat den Wert 2pi*i. Gäbe es eine Stammfunktion, müsste es den Wert 0 haben.
Natürlich kann man jede Funktion auf einem hinreichend kleinen Gebiet entwickeln. Aber das geht im wesentlichen nur auf Kreisförmigen Gebieten mit einer Laurentreihe und auf sternförmigen (und eventuell noch in ein paar Sonderfällen).
Insofern ist das mit dem Zusammenhängend notwendig, aber nicht hinreichend.
Der Satz von Stokes lasst sich aus 2 Gründen nicht anwenden.
Erstens ist die Funktion nicht af dem ganzen Rand des Gebietes definiert (c ist topologisch Teil des Randes) und zweitens existiert keine Stammfunktion. Ich habe den Satz erwähnt, weil er für Physiker so wichtig ist.
Max
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??
Hallo,
also je mehr ich darüber nachdenke, desto verwirrter bin ich.
Das Ringintegral um c hat den
Wert 2pi*i. Gäbe es eine Stammfunktion, müsste es den Wert 0
haben.
F=ln(z-c) ist doch eine Stammfunktion!
Die Funktion ist holomorph und die Ableitung ist dF/dz=1/(z-c)=f
Wieso ist dann das Ringintegral nicht Null??
Oliver
Hallo Maximilian!
Mir scheint, wir sollten erst einmal klären, was wir unter Stammfunktion verstehen.
Als Funktion der oberen Grenze ist das Integral
w
(1) F(w)= INT f(z)dz
w<sub>0</sub>
holomorph, und zwar genau dort, wo auch f holomorph ist (auch wenn man 100 mal um Singularitäten herum integriert), und immer gilt
(2) F'(z)= f(z).
Eine Funktion mit den Eigenschaften (1) und (2) nennt man gemeinhin Stammfunktion, und ich glaube, daß damit Olivers Frage in seinem Sinn und auch für ihn verständlich beantwortet ist.
Nun kann man den Begriff Stammfunktion enger fassen (das ist Ansichtssache) und verlangen, daß F(z) eindeutig ist, und das(!) geht natürlich nur in einfach zusammenhängenden Gebieten.
Also eine Diskussion um Begriffe, in der Sache sind wir uns einig.
Hat mich trotzdem gefreut.
Gruß
meridium.
PS: Als Physiker muß man den Namen Laugwitz nicht kennen.
Hi,
natürlich kann ich hier kein ganzes Lehrbuch schreiben, aber mal sehen:
Zu berechnen ist das Integral:
1/(2pi*i)int(dB) 1/(y-c) dy
(Mit Kreisscheibe B=B©, dB=c+re^it, t element [0,2pi])
=r/2pi int(0,2pi) (e^it)/(r*e^it) dt
=r/2pi int(0,2pi) 1/r dt = 1
prüfs nach, es stimmt.
Deshalb gibt es auch in C keinen Logarithmus.
Noch’n Satz. Der „Hauptsatz“ der Funktionentheorie ist der Residuensatz. Der besagt im wesentlichen, daß man den Wert eines Ringintegrals beliebiger meromorpher Funktionen (das sind Quotienten holomorpher Fkt.) berechnet indem man die umschlossenen Singularitäten zählt und mit der Umdehungszahl multipliziert. (Achtung: Formulierung sehr leger)
Max
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hi meridium,
zunächst mal muss ich mich für die Bemerkung bzgl. Mathemaikbücher entschuldigen.
Eine Funktion ist dann integrabel (=besitzt eine Stammfunktion), wenn ALLE Integrale längs geschlossener Wege verschwinden. Dies ist aber bei der mir genannten nicht der Fall! Ich habe es unten schonmal hingeschrieben. Deshalb hat 1/z-c auch keien Stammfunktion in C. Lediglich lokal kann man eine angeben.
Da es einen Unterschied macht ob man um die Singularität herumintegriert oder nicht, kann eine Stammfunktion nicht eindeutig definiert werden.
Lediglich dann, wenn man, ausgehend von c, einen kompletten Strahl aus dem Definitionsbereich entfernt, das Gebiet damit konvex macht und Ringintegrale um c verhindert, kann man in C eine Stammfunktion angeben. Das ist dann der Logarithmus. auf ganz C funktioniert das aber nicht mehr.
Max
Hi,
natürlich kann ich hier kein ganzes Lehrbuch schreiben, aber
mal sehen:
Zu berechnen ist das Integral:1/(2pi*i)int(dB) 1/(y-c) dy
(Mit Kreisscheibe B=B©, dB=c+re^it, t element [0,2pi])
=r/2pi int(0,2pi) (e^it)/(r*e^it) dt=r/2pi int(0,2pi) 1/r dt = 1
prüfs nach, es stimmt.
Hallo,
danke für’s Vorrechnen, aber mein Problem ist der Widerspruch zwischen:
f hat Stammfunktion Ringintegral ist Null
und der funktion f=1/z. Die hat nämlich die Stammfunktion F=ln(z). Denn es gilt F’=f. Aber das Ringintgral ist NICHT Null!! Also kann doch irgendwas mit dem Satz nicht stimmen.
Gruß
OLIVER
Hallo,
danke für’s Vorrechnen, aber mein Problem ist der Widerspruch
zwischen:f hat Stammfunktion Ringintegral ist Null
und der funktion f=1/z. Die hat nämlich die Stammfunktion
F=ln(z). Denn es gilt F’=f. Aber das Ringintgral ist NICHT
Null!! Also kann doch irgendwas mit dem Satz nicht stimmen.Gruß
OLIVER
Hi,
der Punkt ist eben folgender:
Weill integrabilität (d.h. Existenz einer Stammfunktion) äquivalent dazu ist daß jedes Ringintegral = 0 ist, und obiges Ringintegral eben nicht verschwindet, hat 1/z eben auch keine Stammfunktion.
Max
kleine korrektur
Lediglich dann, wenn man, ausgehend von c, einen kompletten
Strahl aus dem Definitionsbereich entfernt, das Gebiet damit
konvex…
sry, meinte natürlich sternförmig.
Max