Hier ein mathematisches Problem, das ich gerade mit meinem Arbeitskollegen bespreche, und wo wir uns uneins sind:
Ist 0,9-periodisch gleich 1 oder nur annährend eins? Ich erinnere mich, mal in der Schule gelernt zu haben, dass 0,9-periodisch - so seltsam es klingen mag - ganz genau gleich 1 wäre. Als Belege könnte man anführen: 0,9-periodisch dividiert durch 3 ist 0,3-periodisch, welches aber genau so ein Drittel von 1 ist.
Und noch ein Beispiel: Wenn man fragt, wieviel man zu 0,9-p hinzuaddieren muss, um 1 zu erhalten, würde man auf 0,00000… kommen, und nie die „1“ schreiben, da ja die 9 immer weiter läuft. Also muss man 0 hinzuzählen, woraus folgt, dass 0,9-periodisch gleich 1 ist.
Ich meine, es ist nur näherungsweise eins. Die Idee mit dem durch drei Teilen und das dann das Ergebnis der dritte Teil von eins ist ist so genau nicht vollständig. 1/3 ist zwar rational, aber keine Zahl im eigentlichen Sinn. 0,3 periodisch will aber 1/3 als Zahl darstellen und das kann es ebenfalls nur näherungsweise. Das Ergebnis aus 1/3 (bzw. 1/9) ist nur ein mathematisches Konstrukt. Es nähert sich zwar der eins, so stark sogar, dass alle Taschenrechner direkt mit 1 rechnen, aber genaugenommen ist es nur der Näherungswert.
Wie gesagt, meiner bescheidenen Meinung nach *g*
Mfg
Rainer
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Hallo,
was ist eine Zahl im eigentlichen Sinn ? 0.p3 = 1/3 ebenso wie 0.p9 = 1. Das ergibt sich einfach aus der Differenzbetrachtung. Zwei unterschiedliche Zahlen müssen eine von 0 = 0.p0 unterschiedliche Differenz aufweisen. Und eine von 0 unterschiedliche Zahl (zwischen 0 und 1), weist in ihrer Dezimaldarstellung bereits nach endlich vielen Stellen eine Ziffer 0 auf. Das ist in beiden Fällen nicht gegeben.
Nachtrag
Auf ähnliche Weise kann man beweisen, daß 1/3 haargenau 0,3Periode ist. Und natürlich ist 1/3 eine Zahl, so sind rationale Zahlen nämlich definiert: als Quotient von ganzen Zahlen.
Sei x = 0,9-Periode
Dann ist 10x = 9,9-Periode
Also ist 9x = 9,9Periode minus 0,9Periode = 9
Dividieren wir durch 9, haben wir x=1. qed.
Also so geht das nicht. Als Formel geschrieben steht da nichts weiter als:
(10x - x)/9 = 1
Und das stimmt nur bei x = 1. Der Fehler in Deiner Rechnung liegt darin, daß 10*0,9P - 0,9P eben nicht 9 ist, sondern genau genommen 9 - „unendlich klein“. Angenommen, die Periode wäre endlich, dann stünde da:
10*0.999999 - 0,999999 = 9,999990 - 0,999999 = 8,999991. Wird das durch 9 geteilt kommen - oh Wunder - wieder 0,999999 heraus. Ohne eine Grenzwertbetrachtung funktioniert das Ganze so einfach nicht.
aus, und man kann leichter sehen, daß hier alles mit rechten Dingen zugeht. Der Beweis ist sowohl in dieser Darstellung als auch in der ursprünglichen von Marco vollkommen korrekt.
Ich meine, es ist nur näherungsweise eins. Die Idee mit dem
durch drei Teilen und das dann das Ergebnis der dritte Teil
von eins ist ist so genau nicht vollständig. 1/3 ist zwar
rational, aber keine Zahl im eigentlichen Sinn.
Was ist „eine Zahl im eigentlichen Sinn“??? Die Darstellung einer Zahl mittels des Periode-zeichens (Strich über der sich wiederholenden Ziffer nzw. Ziffernfolge) ist lediglich eine andere Schreibweise für eine rationale Zahl. O,p3 (also 3 in der Periode) ist definert als 3/9 also 1/3. Mittels der Periodenschreibweise kann man also einen Bruch als „Kommazahl“ darstellen - mehr ist da nicht dahinter.
0,3 periodisch
will aber 1/3 als Zahl darstellen und das kann es ebenfalls
nur näherungsweise.
Nein! 3/9 = 1/3 …
Das Ergebnis aus 1/3 (bzw. 1/9) ist nur
ein mathematisches Konstrukt.
Nein, es ist eine andere Darstellung eines Bruches (die übrigens von Mathematikern selten bis überhaupt nicht benutzt wird … … zumindest habe ich im gesamten Mathe-Studium niemals mit dieser Darstellung einer rationalen Zahl arbeiten müssen - ein Bruch ist einfach schneller hinzuschreiben, und mit mit ihm lässt sichs leichter rechnen).
Was ist „eine Zahl im eigentlichen Sinn“??? Die Darstellung
einer Zahl mittels des Periode-zeichens (Strich über der sich
wiederholenden Ziffer nzw. Ziffernfolge) ist lediglich eine
andere Schreibweise für eine rationale Zahl. O,p3 (also 3 in
der Periode) ist definert als 3/9 also 1/3. Mittels der
Periodenschreibweise kann man also einen Bruch als „Kommazahl“
darstellen - mehr ist da nicht dahinter.
Eine Zahl im eigentlichen Sinne enthält meiner Ansicht nach keine mathematischen Operationen. Eine Bruchzahl enthält eine Division und ist für mich damit keine Zahl im eigentlichen Sinn.
0,3 periodisch
will aber 1/3 als Zahl darstellen und das kann es ebenfalls
nur näherungsweise.
Nein! 3/9 = 1/3 …
? Was soll das für ein Argument sein? Wenn man 3 durch 9 teilt kommt das gleiche raus wie wenn man 1 durch 3 teilt, wo also ist dein Einspruch?
Nein, es ist eine andere Darstellung eines Bruches (die
übrigens von Mathematikern selten bis überhaupt nicht benutzt
wird … … zumindest habe ich im gesamten Mathe-Studium
niemals mit dieser Darstellung einer rationalen Zahl arbeiten
müssen - ein Bruch ist einfach schneller hinzuschreiben, und
mit mit ihm lässt sichs leichter rechnen).
Darstellung, Konstrukt, nennt es wie ihr wollt, solang das richtige rauskommt.
Hallo,
eine „Bruchzahl“ ist einfach ein Zweitupel. Dann definierst Du die Multiplikation komponentenweise, die Addition in bekannter Weise und setzt schließlich diejenigen Zweitupel gleich, die durch „kürzen“ ineinander übergehen. Nicht mehr oder weniger Zahl als die natürlichen Zahlen.
Eine Zahl im eigentlichen Sinne enthält meiner Ansicht nach
keine mathematischen Operationen. Eine Bruchzahl enthält eine
Division und ist für mich damit keine Zahl im eigentlichen
Sinn.
das kommt mir etwas spanisch Vor. Ein Bruch heisst doch immerhin „reelle Zahl“.
Für mich ist jeder Ausdruck, der sich zu einem Skalar auswerten läßt eine Zahl.
Jetzt würde mich mal interessieren: gibts dafür eine (von der Mathematiker-Gemeinde akzeptierte) Definition einer Zahl?
Eine Zahl im eigentlichen Sinne enthält meiner Ansicht nach
keine mathematischen Operationen. Eine Bruchzahl enthält eine
Division und ist für mich damit keine Zahl im eigentlichen
Sinn.
1,35 ist auch ein Konstrukt und enthält neben einer Division zusätzlich noch eine Addition, es bedeutet nämlich 1 + 35/100. Und da ist es doch einfacher, gleich einen Bruch zu schreiben …
Ich erinnere mich noch an nette Übungs- und Klausuraufgaben für Maschinenbauer, die ich an der Uni korrigieren musste - Das Ergebnis 1,333 wurde als falsch gewertet, 4/3 war richtig (oder 1,p3 - wenns denn einer so geschrieben hat)
? Was soll das für ein Argument sein? Wenn man 3 durch 9 teilt
kommt das gleiche raus wie wenn man 1 durch 3 teilt, wo also
ist dein Einspruch?
1,35 ist auch ein Konstrukt und enthält neben einer Division
zusätzlich noch eine Addition, es bedeutet nämlich 1 + 35/100.
Und da ist es doch einfacher, gleich einen Bruch zu schreiben
Ok, bevor weitere Missverständnisse auftreten: Das ist meine persönliche Ansicht einer Zahl. Natürlich kenn ich die ganzen Definitionen à la „rationale Zahl“ und ähnliches, aber ich sehe Bruchzahlen nicht als eigentliche Zahlen an, auch wenn sie als rationale Zahlen definiert sind.
Bevor weitere Einwände ankommen: Das ist meine persönliche Ansicht, ich habe kein Problem damit, mit anerkannten Regeln der Mathematik zu arbeiten, auch wenn ich ihnen in KLeinigkeiten nicht zustimme (wie eben das Beispiel mit den BRuchzahlen).
In diesem Beweis wird davon ausgegangen, daß 10 * 0.999999… - 9 = 0.999999… ist. Genau das ist aber der Punkt, der zu beweisen wäre. Möglich wäre das beispielsweise in der Schreibweise als Bruch:
Oder eben durch eine Grenzwertbetrachtung. Im Prinzip ist es ja richtig und legitim, 0.p9 = 1 zu setzen, der Haken ist nur, daß 0,p9 eigentlich 1 - unendlich klein ist. Anders ausgedrückt: 1 - 10^(-unendlich). Zu beweisen wäre jetzt, daß 10^(-unendlich) = 10^(1-unendlich), folglich -unendlich = 1-unendlich ist. Oder?
Die Gleichung „0.9-Periode mal 10 ist gleich 9,9-Periode“ ist falsch, da man den Dezimalpunkt nicht einfach verschieben kann. 9-Periode ist nicht einfach eine Zahl, sondern das Ergebniss einer Parzialbruchzerlegung mit Rest. Der Vorkommenstellen-Neuner ist in diesem Fall dann nicht ident mit der Neun aus den natürlichen Zahlen, sondern der rationelle Teil eines Partialbruches (der in Folge unendlich oft weitergeführt wird).
qed = quod erat dubidandum!
grüße, Peter
Anmerkung: bei periodischen Zahlen kann man nicht beliebig das Komma verschieben.
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eben NICHT, denn die periodischen Zahlen (sowie auch u.a. die imaginären Zahlen)gehen nicht nach den Rechenregeln der natürlichen Zahlen, also ist schon die Behauptung „0.9-Period mal 10 gleich 9.9-Period“ schon falsch! Weil der Periodische Neuner nicht ident mit der natürlichen Ziffer „Neun“ ist!
hg,
Peter
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schreibt doch bitte einmal 0.9p als unendliche, rekursive Folge auf! Einfachst: X1 gleich 0.9 ; Xn sei dann X(n-1) + 10 hoch -n mal 9.
So, jetzt ist es sehr leicht zu erkennen, daß diese Folge strickt steigend (und zwar ziemlich rasch) nach 1 konvergiert.
NUR: (Limma) Eine strickt konvergente Folge bleibt in JEDEM Folgenglied unter (wenn steigend bzw über wenn fallend) seinem Limes - egal wie schnell sie konvergiert.
Die Behauptung 0.9p [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
und das ist eine Begründung. Deine und die Kritik weiter unten zielen m.M. in die Richtung, daß eine Zahl ein finitäres Objekt (z.B. endliche Ziffernfolge) ist, während 0.p9 scheinbar infinitär ist.