Woher nimmst Du bitte die Behauptung, daß der Unterschied nach „endlich“ vielen Ziffern auftreten muß?
der Beweis:
die deffinition der Reellen Zahlen:
[…]
Dichtheit der reellen Zahlen
Zwischen jeden beliebigen zwei reellen Zahlen können unendlich viele reelle Zahlen gefunden werden.
[…]
siehe: Häuser, Lehrbuch der Analysis Band 1 - Springer Verlag
hg,
Peter
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Hallo,
Die Behauptung 0.9p 0 mit 0.p9+z=1. Wie sehe dieses z wohl aus ?
Gruss
Enno
Die Behauptung 0.9p
Es geht hier wirklich nicht um meine Meinung! eher um eine Deffinitionsfrage…
0.9p mal 10 ist wohl leider etwas komplizierter und es gibt sicher gute Mathematiker als, die dieses Problem lösen können.
Ziffern/Zahlen: stimmt - Mein Fehler! Sorry!
hg,
Peter
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Hallo,
ich sehe den Zusammenhang der von Dir zitierten Def. der Dichtheit von IR und meiner Aussage nicht.
Gruss
Enno
An alle Zweifler:
schreibt doch bitte einmal 0.9p als unendliche, rekursive
Folge auf! Einfachst: X1 gleich 0.9 ; Xn sei dann X(n-1) + 10
hoch -n mal 9.So, jetzt ist es sehr leicht zu erkennen, daß diese Folge
strickt steigend (und zwar ziemlich rasch) nach 1 konvergiert.
Konvergiert die Folge nun Deiner Meinung nach gegen 1 oder gegen 0,9p?
Ganz einfach: daß lt. Häuser der Unterschied eben NICHT bei einer endlichen Stelle liegen muß.
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Ja genau,
0.9p ist (ja per deffinition) infinit und auch wenn der Unterschied zwischen 0.9p und 1 infinitesimal ist, so ist es immernoch ein Unterschied.
Für den Physiker - hab´ ich mir von einem dieses Faches sagen lassen - ist es egal. Da gilt 0.9p=1. Aber gut, die dürfen in gewissen Fällen ja auch Unendlich durch Unendlich kürzen (Mechanik: unelastischer Stoß)
die Gleichung „(Summer über i Größer 0 9/10 hoch i) mal 10“ überzeugt mich.
hg und Dank für die Erklärung,
Peter
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na, jezt will ich aber auch mal
9,9p = 9*∑n=0,1,… 0,1n = 9/(1-0,1) = 10
Tataa…
Grüße
Oliver
Hallo,
die Aussage ist: für a,b∈IR ist { x | a
Also meine Meinung ist hier wirklich nicht relevant!
Die Folge konvergiert (ohne daß ich jetzt einen mathematischen Beweis anführen möchte) sichtlich gegen 1. 1 ist sicher eine obere Schranke (vermutlich auch die kleinste obere Schranke). Aber das ist ja wohl auch schon hinreichend.
Ich verweise an dieser Stelle nochmals auf „Häuser - Lehrbuch der Analysis Band 1“, Springer Verlag
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Hallo Peter,
was Du da rechnest, ist keine Folge, sondern eine Reihe. Und die Summe dieser Reihe entspricht genau dem „Grenzwert“ Deiner „Folge“. Also 1.
Gruß Kubi
klar, der Unterschied ist das Restglied. Das ist - zugegeben, infinitesimal, aber immernoch ein Unterschied.
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Einfach:
z=1-0.9p
Irgendwann hatte einmal jemand das gleiche Problem mit der geraden Wurzel einer negativen Zahl… 
hg, Peter
N.B.: wie groß ist der Unterschied zwischen pi und der Zahl, die wir bis jetzt kennen? Es wird wohl immer einen geben. Wie „genau“ kann man pi berechnen?
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Hallo,
klar, der Unterschied ist das Restglied. Das ist - zugegeben,
infinitesimal, aber immernoch ein Unterschied.
und genau diese nur durch eine unendlich kleine Zahl voneinander abweichenden Zahlen sind gleich. Würde man IR einfach als Menge rationaler Cauchy-Folgen einführen, wäre Deine Aussage völlig korrekt. Aber man faktoriert nach den Nullfolgen, d.h. zwei Cauchy-Folgen, die sich nur durch eine Nullfolge voneinander unterscheiden sind gleich. Und IR wird schlicht so definiert.
Gruss
Enno
Es geht hier wirklich nicht um meine Meinung! eher um eine
Deffinitionsfrage…
0.9p mal 10 ist wohl leider etwas komplizierter
„wohl“? Kann es sein, daß Du Dir Deiner eigenen Aussagen auch nicht (mehr) so ganz hundertprozentig sicher bist?
und es gibt
sicher gute Mathematiker als, die dieses Problem lösen können.
Na ja, die „guten Mathematiker“ wissen, daß das Problem nur für Dich existiert. Aber um auf die Definitionsfrage zu kommen: Konvergiert eine Reihe gegen einen Grenzwert (wie beispielsweise 0.p9…, das gegen 1 konvergiert) dann ist dieser Wert durch die Reihe wohldefiniert, und es macht deshalb Sinn, zu sagen, daß die „unendliche Summe“ dieser Reihe gleich diesem Wert ist. In der Analysis wird gezeigt, daß alles andere keinen Sinn machen würde.
Also: Wert einer „Unendlich-Summation“ =[def] diejenige Zahl, gegen die die Reihe konvergiert, wenn sie konvergiert (ansonsten +/- unendlich).
Nebenbei: Dies ist das Fundament, auf dem die komplette Analysis beruht.
Die Aussage „0.p9 ist nicht gleich 1, weil es nur gegen 1 konvergiert“ ist also gerade die falsche der beiden möglichen; „0.p9 ist gleich 1, weil es gegen 1 konvergiert“ ist die richtige!
Alles klar jetzt?
Gruß
Martin
Und warum konvergiert es nicht gegen 0,9p? Ist eigentlich viel offensichtlicher
Irrationale Zahlen (noch mehr oT)
Hi,
wie groß ist der Unterschied zwischen pi und der Zahl,
die wir bis jetzt kennen? Es wird wohl immer einen geben. Wie
„genau“ kann man pi berechnen?
Wir kennen pi. Exakt. Wir können es als unendliche Summe oder als Grenzwert einer Cauchy-Folge oder sowas definieren.
Wir können es sogar als periodische Bruchzahl schreiben, wenn wir eine geeignete [1] Basis wählen.
Und wir können auch im Dezimalsystem pi beliebig genau berechnen (sogar mit linearem Aufwand)
[1] dummerweise ist diese Basis nicht konstant wie wir das gewohnt sind, sondern von der Stelle abhängig auf die sie sich bezieht.
Das stand mal in den „mathematischen Unterhaltungen“ im Spektrum der Wissenschaft, habe leider vergessen welche Ausgabe das war…
Grüße,
Moritz
Nebenbei: Dies ist das Fundament, auf dem die komplette
Analysis beruht.
Jede Ableitung ist ein Näherungswert! Es gilt f’(x)=lim (f(x+h)-f(x))/h mit h geht gegen null.
Sie (also Wert der Ableitung und Steigung der Tangente)werden nur als gleich behandelt, weil es keinen Sinn machen würde, es nicht zu tun. Die Unterschiede zwischen tatsächlicher Steigung und Wert der Ableitung sind zu unbedeutend, als das man auf ihr nicht das Fundament der Analysis hätte bauen können. Aber jeder, der ableitet sollte immer im Hinterkopf haben, dass er einen Näherungswert, ein mathematisches Konstrukt (bevor jetzt wieder tausend Entrüstungen kommen: mag sein, dass ihr es anders nennt, für mich ist ein Näherungswert ein Konstrukt, weil es ihn in der Natur nicht gibt) behandelt. Nur weil es bequem ist, diese gleich zu setzen, heißt das noch lange nicht, dass sie es auch tatsächlich sind.
Und back to topic: Erinnern wir uns doch mal an die Grundschule, wann eine Zahl größer ist als eine andere: Die Zahl, die von links gesehen als erste einen höheren Zahlenwert hat ist größer als die andere (bzw. welche mehr Stellen hat. Also ist 20 größer als 10 weil die erste Ziffer der 20 größer als die erste Ziffer der 10. Und wenn wir jetzt unser ursprüngliches Problem anschauen: 1,p0 (so darf man ne eins schreiben) und 0,p9, dann ist meines erachtens sofort ersichtlich, dass bei 1,p0 die erste Ziffer größer ist als die von 0,p9.
Niemand bestreitet ja, dass 0,p9 zu eins konvergiert, dass der Näherungswert 1 ist, dass 0,p9 gerundet 1 ergibt, aber im direkten Vergleich muss 1 einfach größer sein, sonst hätten ja zwei unterscheidliche reelle Zahlen den gleichen Wert!
Mfg
Rainer
Hi,
Jede Ableitung ist ein Näherungswert! Es gilt f’(x)=lim
(f(x+h)-f(x))/h mit h geht gegen null.
Grenzwerte sind KEINE Näherungswerte, sondern exakt definiert. Das sollte man als Mathe-LK’ler eigentlich wissen…
Niemand bestreitet ja, dass 0,p9 zu eins konvergiert, dass der
Näherungswert 1 ist, dass 0,p9 gerundet 1 ergibt, aber im
direkten Vergleich muss 1 einfach größer sein, sonst hätten ja
zwei unterscheidliche reelle Zahlen den gleichen Wert!
Es sei denn die Zahlen sind gar nicht unterschiedlich, weil die Differenz Null ist.
Gruß
Oliver