Hallo,
Niemand bestreitet ja, dass 0,p9 zu eins konvergiert, dass der
Näherungswert 1 ist, dass 0,p9 gerundet 1 ergibt, aber im
direkten Vergleich muss 1 einfach größer sein, sonst hätten ja
zwei unterscheidliche reelle Zahlen den gleichen Wert!
was Du gerade entdeckt hast, ist es unterschiedliche Dezimaldarstellungen von Zahlen gibt - mehr nicht.
Gruss
Enno
Jede Ableitung ist ein Näherungswert! Es gilt f’(x)=lim
(f(x+h)-f(x))/h mit h geht gegen null.
Auch wenn ich nicht verstehe, wieso Du jetzt mit Ableitungen anrückst: Eine Ableitung ist ein _Grenz_wert („lim“ = limes = lat. Grenze). Ein _Näherungs_wert liegt dagegen z. B. dann vor, wenn Du den Umfang eines Kreises mit 5 m Radius ausrechnen willst, und Du dazu „2 * 3.1416 * 5“ in Deinen Taschenrechner tippst. Dann ist das 3.1416 darin der von Dir benutzte Näherungswert für pi.
Und back to topic: Erinnern wir uns doch mal an die
Grundschule,
Nichts gegen die Grundschule, aber was wir alle mal dort gelernt haben, ist dann vielleicht doch nicht der Weisheit letzter Schluß.
1,p0 (so darf man ne eins schreiben)
Niemand bestreitet ja, dass 0,p9 zu eins konvergiert, dass der
Näherungswert 1 ist, dass 0,p9 gerundet 1 ergibt, aber im
direkten Vergleich muss 1 einfach größer sein, sonst hätten ja
zwei unterscheidliche reelle Zahlen den gleichen Wert!
Nein, nur zwei verschiedene Darstellungen für die gleiche reelle Zahl. Wie auch „1.p0“ und „1“ zwei verschiedene Darstellungen für die „Eins“ sind.
Ich denke, von Enno, Oliver und mir ist mittlerweile alles zu „0.p9 = 1“ gesagt worden, was es zu sagen gibt.
Gruß
Martin
Grenzwerte sind KEINE Näherungswerte, sondern exakt definiert.
Das sollte man als Mathe-LK’ler eigentlich wissen…
Habs falsch formuliert, sorry. Ich wollte sagen, dass sich die Ableitung der wirklichen Steigung nähert und deswegen ein Näherungswert vorliegt. Denn Grenzwerten muss man sich nähern. Mag sein das ihr das formulierungstechnisch anders seht.
Zum Abschluß vielleicht noch ein Zitat Goethes: „Getretener Quark wird breit, nicht stark.“
Ist 0,9-periodisch gleich 1? Ja
Hallo
Beweis
0.1p = 1/9
beide Seiten mit 9 multiplizieren
0.9p = 9/9 = 1 qed
Ratz
Hallo Till,
naja, einigen wir uns einmal darauf es ist strickt steigend und konvergent. (Ich glaube daran zweifelt wohl niemand mehr)
Ebenso unbestritten ist, daß 1 eine obere Schranke ist. 0.9p ist von der Reihe nach Blatter ebenfalls eine Schranke, lt Häuser aber, und der beruft sich hier auf die Schwarz´sche Ungleichung (eigentlich von Cauchy mit eben der Verfeinerung von Schwarz, daß die Reihe IMMER unter der Schranke sein muß) allerdings nicht.
Naja ich glaube es ist ersichtlich, daß die Reighe im letzten Folgenglied (also im Unendlichen) ident ist mit 0.9p und somit die scharfe Ungleichung (wie von Schwarz gefordert) nicht anwendbar ist.
Nota Bene: wenn mir jetzt jemand den Einschließungssatz vorhält, dann bitte hier meine Antwort: die Differenz zwischen 0.9p und 1 liegt genau zwischen 0.9p und 1. Wie groß ist sie: infinitesimal.
kommt das hin?
wäre die Kurze Antwort auf Deine Frage wohl:
Untere Schranke: 0.9p-E (E=Restglied)
Obere Schranke: 1
aber wenn man bedenkt, daß der ganze Disput wohl um die Frage geht, ob 0.9p gleich 1 ist, dann würde es mich feruen, wenn Du die Konvergenz gegen 0.9p beweisen kannst - und damit auch, daß 1 eine Strickte, aber nicht die kleinste obere schranke ist.
hg, Peter
Und warum konvergiert es nicht gegen 0,9p? Ist eigentlich viel
offensichtlicher
Hallo Martin,
klar, macht Sinn. Bis zu einem gewissen Punkt: wenn Du eine Reihe (oder auch eine Folge) mit dessem Limes gleichsetzt widersprichst Du damit meiner Ansicht nach Euler.
und: ja, ich bin mir nicht ganz sicher, darum diskutier ich das ja auch mit Euch! Einstein und Schrödinger waren sich beide 100% sicher, daß der jeweisl Andere unrecht hat…
hg, Peter
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo,
Du scheinst hartnäckig eine Antwort, die ich bereits mehrfach gegeben habe zu überlesen. Daher das Ganze in Form von drei Fragen:
o Wie werden die reellen Zahlen als „Erweiterung“ der rationalen Zahlen eingeführt ?
o Welche Rolle kommt dabei Nullfolgen zu ?
o Was ist 1-0.p9 ?
Nach Beantwortung dieser drei Fragen, sollte sich das Thema erledigt haben.
Gruss
Enno
Hallo,
Nota Bene: wenn mir jetzt jemand den Einschließungssatz
vorhält, dann bitte hier meine Antwort: die Differenz zwischen
0.9p und 1 liegt genau zwischen 0.9p und 1. Wie groß ist sie:
infinitesimal.
Aber dir ist schon klar, dass eine Zahl a, die kleiner ist als jedes ε>0, gleich Null ist?
(Beweis: wäre a≠0, dann gäbe es ein ε, z.B. ε=a/2, mit a>ε. Im Widerspruch zur Voraussetzung)
Naja, und wenn also die Differenz zwischen 0,9p und 1 Null ist, dann sind die beiden Zahlen wohl gleich. Womit jetzt schon wieder ein Beweis abgeschlossen ist.
Wie viele Beweise brauchst du eigentlich durchschnittlich, bis dich etwas überrzeugt?
Gruß
Oliver
Neuer Ansatz
Bevor ich diesen neuen Artikel hier verfasse erstmal ein Vorwort: Wenn ich Mathematik in Worte fasse formulier ich dabei (leider) immer frei nach Schnautze. Deswegen sag ich da manchmal Dinge, die sich mit euren Definitionen zanken. Mag ja sein, das ihr da recht habt, aber Mathematik spielt sich in Zahlen und nicht in Worten ab (hauptsächlich) also konzentrieren wir uns auf Zahlen die dastehen und korrigieren diese, anstatt jedes Wort auf die Goldwaage zu legen, schließlich sind wir hier nicht im Philosophie-Forum.
Jetzt zum eigentlich Artikel:
Bei eurem Beweis von vorher seid ihr von etwas ausgegangen, nämlich
0,p9 mal 10 = 9,p9
Ich meine, dass das so nicht stimmt. Es ist leicht, es zu glauben, weil ja beide Zahlen nach wie vor nicht enden, aber wenn ihr mal 10 macht, seid ihr dann sicher, dass ihr jeweiliges Ende dann immer noch gleich ist? Nicht von der 9, sondern „im Abstand zum Komma“ (ich weiß, blöde Formulierung). Dazu ein Beispiel: Stell dir zwei elektromagnetische Wellen vor, die nebeneinander sind. Beide bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit und werden nicht aufgehalten. Eine von den beiden schickste aber ein bißchen später los als die andere. Ist ihr Gangunterschied (weiß jetzt nicht, wie das heißt, wenn sie sich nicht überlagern, aber phasenverschoben sind) jemals 0? Sicher nicht, die eine Welle ist der anderen immer voraus. So ähnlich kann man es sich mit 0,p9 und 9,p9 vorstellen, ersteres ist immer eine 9 voraus und macht einen infinitesimalen Unterscheid aus.
Ihr aber geht davon aus, dass die beiden Perioden nach dem Komma exakt den selben Wert haben, das ist die Grundlage für euren Beweis (das werdet ihr ja wohl nicht abstreiten).
Dazu stelle ich zwei Fragebeispiele:
Wenn man das Komma bei einer Zahl verschiebt, ist dann die Anzahl der Ziffern hinterm Komma gleich zur vorherigen Anzahl? (kommt jetzt nicht mit dem Argument dass man beliebig viele Nullen schreiben)kann…)
lim (x+1) mit x geht gegen unendlich und lim (x+2) mit x geht gegen unendlich
Ihre Grenzwerte sind beide gleich: + unendlich
Wie aber sieht es mit x+1 und x+2 aus? Ihre Grenzwerte sind gleich, sind die beiden dann auch gleich, nur weil ihr Grenzwert gleich ist (überlegt es euch graphisch)
Die Anzahl der neuner nach dem Komma bei 0,p9 ist grenzwerttechnisch gesehen gleich mit der Anzahl der neuner bei 9,p9
Sind es aber wirklich gleich viele? Oder gibt es doch einen kleinen Unterschied?
Mfg
Rainer
P.S.: Wenn euch wirklich der Beweis gelingt, dass 1=0,p9 ist, dann hat eine Zahl, die mit 1,irgendwas anfängt den gleichen Wert wie eine Zahl die mit 0,irgendwas anfängt. Das sollte euch vielleicht zu denken geben.
Hallo,
Bei eurem Beweis von vorher seid ihr von etwas ausgegangen, nämlich
0,p9 mal 10 = 9,p9
zunächst - das läßt sich ausführlicher als unendliche Summe formulieren:
http://www.wer-weiss-was.de/cgi-bin/forum/showarchiv…
Lassen wir diese Betrachtung mal außen vor und betrachten pur die Zifferfolgen.
Ich meine, dass das so nicht stimmt. Es ist leicht, es zu
glauben, weil ja beide Zahlen nach wie vor nicht enden, aber
wenn ihr mal 10 macht, seid ihr dann sicher, dass ihr
jeweiliges Ende dann immer noch gleich ist? Nicht von der 9,
sondern „im Abstand zum Komma“ (ich weiß, blöde Formulierung).
Wenn ich Dich richtig verstehe, hast Du gerade die Entdeckung gemacht, daß sich Mächtigkeiten im endlichen und unendlichen unterschiedlich verhalten. Verständlicher - 0.p9 hat abzählbar unendlich viele Neunen hinter dem Komma (also so viele, wie die natürlichen Zahlen). Wenn ich nun eine wegnehme und sie vor das Komma setze wieviel bleiben dann ? Die Antwort ist - ebenfalls abzählbar unendlich viele - also gleich viele wie vorher. Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn eine 1:1 Abbildung (Bijektion) zwischen ihnen existiert. Im unendlichen ist für (abzählbar) unendlich viele Elemente immer noch Platz.
Dazu ein Beispiel: Stell dir zwei elektromagnetische Wellen vor …
Dieser Gangunterschied tritt auf, weil bei der Betrachtung der „Gleichheit der Wellen“ (Physiker mögen mir den ggf. unsinnigen Begriff verzeihen 
) die Zeit mitberücksichtigt wird, im Gegensatz zur Zahlenbetrachtung - zumindest nach meinen Verständnis.
Ihr aber geht davon aus, dass die beiden Perioden nach dem
Komma exakt den selben Wert haben, das ist die Grundlage für
euren Beweis (das werdet ihr ja wohl nicht abstreiten).
Es ist eine Möglichkeit. Genau genommen besteht hier überhaupt keine Beweisnotwendigkeit, die Definition der reellen Zahlen liefert diese Gleichheit per lau (reelle Zahlen sind Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen, wobei zwei Folgen äquivalent sind, wenn sie durch Addition einer Nullfolge ineinander übergehen).
Dazu stelle ich zwei Fragebeispiele:
- Wenn man das Komma bei einer Zahl verschiebt, ist dann die
Anzahl der Ziffern hinterm Komma gleich zur vorherigen Anzahl?
Bei endlich vielen Nachkommastellen nicht - bei unendlich vielen schon. So ist z.B. die Menge der ganzen Zahlen (…,-2,-1,0,1,2,…) gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen (0,1,2,…) und erstaunlicher ebenso gleichmächtig zu den rationalen Zahlen. Google mal nach „Hilberts Hotel“ da wird dieser Umstand anschaulich dargestellt.
P.S.: Wenn euch wirklich der Beweis gelingt, dass 1=0,p9 ist,
dann hat eine Zahl, die mit 1,irgendwas anfängt den gleichen
Wert wie eine Zahl die mit 0,irgendwas anfängt. Das sollte
euch vielleicht zu denken geben.
Nein. In der Mathematik kommt es eher selten vor, daß es genau eine Darstellung für ein(e) Entität/Objekt gibt. Nimm’ z.B. klassische Aussagenlogik. Logisch äquivalente Aussagen sind alles andere als leicht an ihrer Syntax zu erkennen.
Gruss
Enno
Bei eurem Beweis von vorher seid ihr von etwas ausgegangen,
nämlich
0,p9 mal 10 = 9,p9
Es geht auch ohne:
Wer „1/3“ nach Grundschul-Methode mit Stift und Papier ausrechnet, bekommt immer wieder auf’s neue 1 als Rest, und erhält deshalb als Resultat 0.333333… . Also ist umgekehrt 0.3333333… gleich 1/3, denn wenn a = b ist, dann ist auch b = a (wer hätte das gedacht?). Multipliziert man nun 0.333333… mit 3, dann ergibt sich 0.999999…, ohne daß das Komma verschoben wurde. Ist aber 0.999999… das Dreifache von 0.333333… und 0.333333… dasselbe wie 1/3, dann ist auch (aus a = b und b = c folgt a = c) 0.999999… dasselbe wie das Dreifache von 1/3, und das ist 1.
P.S.: Wenn euch wirklich der Beweis gelingt, dass 1=0,p9 ist,
dann hat eine Zahl, die mit 1,irgendwas anfängt den gleichen
Wert wie eine Zahl die mit 0,irgendwas anfängt. Das sollte
euch vielleicht zu denken geben.
Gegenfrage: Hälst Du es für möglich, daß das tatsächlich so ist, und Dein Grundschullehrer Dir das damals einfach verschwiegen hat?
Gruß
Martin
Hi,
Ich wollte sagen, dass sich die
Ableitung der wirklichen Steigung nähert und deswegen ein
Näherungswert vorliegt.
Nein, die Ableitung IST die wirkliche Steigung! Hier wird
aber auch grad gar nichts genähert!
Gruß
Oliver
Hi
P.S.: Wenn euch wirklich der Beweis gelingt, dass 1=0,p9 ist,
dann hat eine Zahl, die mit 1,irgendwas anfängt den gleichen
Wert wie eine Zahl die mit 0,irgendwas anfängt. Das sollte
euch vielleicht zu denken geben.
im Gegenteil: Du siehst daran sehr schön, dass die Dezimaldarstellung nicht eindeutig ist . Es gibt natürlich beliebig viele weitere Beispiele dafür, dass man ein und die selbe Zahl mit unterschiedlichen Dezimaldarstellungen darstellen kann aber 0.9p = 1 ist halt das prominente Beispiel. Das Thema ist übrigens eine gerne gestellte Frage im Mathe-Vordiplom.
Wenn ich mich richtig erinnere, steht ein auch für Schüler verständlicher Beweis zum Thema dazu in Forster: Analysis 1.
Ciao R.
Frage
Hi,
0.9p = 1 ist halt das prominente
Beispiel.
Kennst du noch ein anderes Beispiel?
Gruß
Oliver
Hoi
Kennst du noch ein anderes Beispiel?
um genau zu sein: unendlich viele
Ciao R.
Mal wieder: falsche bzw. ungenaue Schulmathematik.
Was in der Schule als Mathematik bezeichnet
wird, ist nicht Mathematik, sondern eine
relativ stark vereinfachte, dadurch in manchen
Bereichen falsch.
0.9 periode = 1
ist erstmal abhängig davon, was das Gleichheitszeichen
bedeutet, was 0.9 Periode bedeutet, und was die 1 bedeutet.
Liesst man das so „Die Reihe / Folge 0.9 Periode ist gleich 1“
Stecken in dieser Aussage gleich mehrere Fehler drin:
0.9 kann man sowohl als Folge, als auch als Reihe
definieren, also schon mal nicht eindeutig definiert, die
Aussage.
Eine Folge kann niemals gleich eines komplett anderen
Mathematischen Objektes, nämlich einer Zahl (speziell 1)
sein.
Definiere ich 0.9Periode als Grenzwert der durch
die unendliche Zahlenfolge definierte Folge, dann
kann man sagen, dass der Grenzwert dieser Folge
gleich 1 ist, *wenn* man beim Grenzwertbestimmen
die Euklidische Topologie benutzt.
Wenn man z.B. die diskrete Topologie bei der
„Grenzwertbestimmung“ benutzt, konvergiert die
Folge überhaupt nicht, also auch nicht gegen 1.
Bei der indiskreten Topologie konvergiert sie
gegen alle Zahlen, also auch gegen 1.
Man kann also kurz zusammenfassend sagen:
Mit der Schulmathematik ist obige Frage
nicht eindeutig beantwortbar.
Wenn man zusätzlich zur Schulmathematik
allgemein dort verwendete Annahmen und
Sprachregelungen verwendet, ist die
Aussage „0.9 periode =1“ abhängig vom Lehrer
wahr oder falsch 
Gruss, Marco
Nein, die Ableitung IST die wirkliche Steigung! Hier wird
aber auch grad gar nichts genähert!
Nein! Um die Ableitung zu bestimmen brauchst du zwei Punkte des Graphen die unendlich nah bei einander liegen. Also hat die Gerade, dessen Steigung du dadurch ermittelst zwei Punkte mit dem Graphen gemeinsam. EIne Tangente hat aber nur einen einzigen Berührpunkt mit dem Graphen.
Außerdem würde sonst beim Ausdruck [f(x+h)-f(x)]/h Null im Nenner stehen, da die beiden Punkte ja gleich wären mit dem Berührpunkt der Tangente.
Hi,
Nein! Um die Ableitung zu bestimmen brauchst du zwei Punkte
des Graphen die unendlich nah bei einander liegen.
Irgendwie hast du Probleme mit Grenzwerten. Es ist genauso
wie oben mit 0,9p=1-Problem: Zwei Punkte, die unendlich nahe
bei einander liegen sind identisch!
Außerdem würde sonst beim Ausdruck [f(x+h)-f(x)]/h Null im
Nenner stehen, da die beiden Punkte ja gleich wären mit dem
Berührpunkt der Tangente.
Null im Nenner ist kein Problem, wenn gleichzeitig Null im
Zähler steht.
Gruß
Oliver
Hallo,
endlich mal die Grundlage der ganzen Diskussion untersucht! Sternchen!
Wenn man keine Diskussionsgrundlage (=Rahmenbedingungen, Definitionsbereich, Sprache) festlegt, haben alle recht, und dann diskutiert man noch im nächsten Jahrtausend…
Gruß
Axel
Wenn man keine Diskussionsgrundlage (=Rahmenbedingungen,
Definitionsbereich, Sprache) festlegt, haben alle recht, und
dann diskutiert man noch im nächsten Jahrtausend…
Naja, die reellen Zahlen sind eigentlich schon genau definiert, da muss man eigentlich nichts mehr festlegen…