Hallo,
wir haben in Mathematik eine Aufgabe über eine Hausabbezahlung bekommen.
Die rekursive Formel lautet: B(n+1) = B(n) * 1,005 +800, wobei B(0) = - 100.000 ist.
Die Zinsen betragen 0,5% und es sollen halt monatlich 800€ eingezahlt werden.
Jetzt meine Frage:
Kann man diese rekursive Formel in eine explizite Formel umwandeln?
Weil bei der Formel B(n) = S - (S - B(0)) + (1 - c)^n
sind ja die monatlichen 800€ nicht mit eingerechnet.
Schon einmal im Voraus für deine Antwort.
LG Ascawath
Tut mir leid, da habe ich keine Ahnung
Danke trotzdem für deine schnelle Antwort
Tut mir leid, da habe ich keine Ahnung
Hallo Ascawath,
ich hab eine Lösung, ich weiss aber nicht ob es die „offizielle“ Lösung ist, habs mir einfach schnell hergeleitet, ich schreibs mal mit Herleitung.
Erstmal die ersten 4 Folgenglieder:
n=0
-100.000
n=1
-100.000*1,005 + 800
n=2
(-100.000*1,005 + 800)*1,005 + 800
n=3
((-100.000*1,005 + 800)*1,005 +800)*1,005 + 800
n=4
(((-100.000*1,005 + 800)*1,005 +800)*1,005 +800)*1,005 + 800
da konnte ich nichts erkennen, deshalb das letzte kurz ausmultipliziert ergibt:
-100.000*1,005^4 + 800*1,005^3 + 800*1,005^2 + 800*1,005^1 + 800*1,005^0
800 ausgeklammert ergibt:
-100.000*1,005^4 + 800*(1,005^3 + 1,005^2 + 1,005^1 + 1,005^0)
das in der Klammer ist eine geometrische Reihe mit Basis 1,005, das heißt die Klammer bis n-1 (weil die Hochzahl 3 ist wenn n 4 ist) statt bis 4 ist:
1,005^n -1 / (1,005 -1) (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_elementa… unter „Potenzsummen“ die erste unter „konstante Basis“).
Alles zusammen mit n statt 4 wäre also:
-100.000*1,005^n + 800*(1,005^n -1) / (1,005 -1)
Sicher dass es stimmt bin ich nicht, sieht aber gut aus. Du kannst ja mal die ersten 5-10 Ergebnisse mit meiner Formel und mit der rekursiven ausrechnen und schauen ob sie übereinstimmen, wenn ja siehts gut aus.
Wenn du weisst dass es stimmt oder weisst dass es nicht stimmt sag mir bitte Bescheid.
Lg,
Fabi
Noch ein kleiner Hinweis, in der fertigen Formel ist es „1,005 hoch n“, danach kommt das minus 1, das ist also nichtmehr in der Hochzahl.
Hallo Fabi123,
Vielen, vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Die Formel ist nicht ganz richtig:
Für die rekursive Folge kommt bei B(10) raus: B(10) = -97245,4
und bei deiner kommt -96931,6 raus
Die -1 habe ich nicht als Hochzahl gewertet, denn da würde 62231,7 rauskommen, und das kann ja Vorne und Hinten nicht stimmen.
Noch ein kleiner Hinweis, in der fertigen Formel ist es „1,005
hoch n“, danach kommt das minus 1, das ist also nichtmehr in
der Hochzahl.
Hallo Ascawath,
ich habe Mal in LibreOffice von n=0 bis n=10 ausgerechnet mit beiden Formeln, bei mir stimmts überein. Das was du bei der rekursiven für n=10 raushast kommt bei meiner bei n=9 raus, vielleicht bist beim Rechnen mit der rekursiven um ein n verrutscht irgendwo?
Ja, jetzt wo du es sagst, bin verrutscht…
Danke, du hast mir sehr geholfen.
Gern geschehen:smile:
Ja, jetzt wo du es sagst, bin verrutscht…
Danke, du hast mir sehr geholfen.
Du solltest googeln; ich geb dir mal das hier
/t/formel-fuer-zinseszins-mit-monatlicher-einzahlung…
Sprich mal mit deinem Lehrer, wie man die Formel genau beweist.
Sorry, bin leider überfragt. Was bedeuten die einzelnen Buchstaben? Was bedeuten die Variablen S, B und c ? Welcher Buchstabe steht für die Zinsen? Bist Du sicher, dass B(n) = S - (S - B(0)) + (1 - c)^n richtig angegeben ist (warum dann nicht einfach B(n)=B(0) + (1 - c)^n ?)
Gruß von Max
Hallo,
das sollte doch eigentlich nicht so schwer sein, die monatlichen 800 Euro sind doch einfach nur n*800. Am besten schreib dir ein paar Werte für B(0), B(1), B(2) auf, insbesondere, wie Du das rechnen würdest - da kommt man relativ schnell auf eine Formel.
Viele Grüsse,
Michael
Hallo Ascawath,
ja, Deine rekursive Formel kann man auch explizit angeben.
B(n) = -100.000 x 1,005^n + 800 x ((1,005^n – 1) / 0,005).
Du kannst Dir das selbst herleiten, indem Du Schritt für Schritt
B(1), B(2), B(3) aufschreibst, z.B.
B(3) = -100.000 x 1,005^3 +800 x (1 + 1,005 + 1,005^2 ) und
Entsprechend für n
B(n) = -100.000 x 1,005^n + 800 x ( 1 + 1,005 + 1,005^2 + … + 1,005^(n-1) )
In der Klammer steht eine geometrische Reihe, für die es eine fertige
Summenformel gibt. In diesem Fall hat die Klammer den Wert (1 – 1,005^n) / (1 – 1,005).
Probier mal für n=3 (also Schuldenstand am Ende des dritten Monats) sowohl die ausführliche Summe als auch die fertige Formel. Ich erhalte B(3) = -99.398,50.
Falls noch Fragen, melde Dich ungeniert.
Deine zweite Formel kann ich leider nicht einordnen,
aber das muss nichts bedeuten.
Gruß
Jobie
Danke für deine schnelle Antwort, diese war sehr hilfreich.
Vielen Dank.
LG Ascawath
Danke für deine schelle Antwort.
Aber das ist leider falsch, da dann nicht die 800 fernzinst werden.
Habe jetzt aber eine Formel gefunden:
B(n) = -100.000+1,005^n+800*(1,005^n-1)/(1,005-1)
Danke für deine schnelle Antwort.
Das kann leider nicht stimmen, da dann die 800€ nicht verzinst werden, sondern immer nur mal den Betrag genommen werden,
Habe jetzt aber eine Formel gefunden:
B(n)=-100.000*1,005^n+800*(1,005^n-1)/(1,005-1)
Stimmt, das hatte ich nicht bedacht - aber prinzipiell hat es ja zur Lösung geführt 
Danke für deine schnelle Antwort.
B(n) steht für den Bestand zu einem beliebigen Zeitpunkt n.
S entspricht der Schranke, die bei einem beschränktem Wachstum maximal erreicht werden kann.
c steht für den Prozentsatz, um dem der Betrag monatlich steigt.
B(0) ist dann eben der Startwert, also in diesem Fall -100.000.
Deine Formel stimmt leider nicht, da man erst von der Schranke den Anfangsbestand abziehen muss, um ihn dann mit der Schranke zu dividieren.
Bei deiner Formel sind auch die 800€ nicht mit einbezogen worden, also die monatliche Zuzahlung.
Die richtige Formel, die ich inzwischen herausgefunden habe, lautet:
B(n)=-100.000*1,005^n+800*(1,005^n-1)/(1,005-1)
MfG Ascawath