wie viel soll man/frau denn wissen??
so viel wie möglich 
nee, aber ohne scherz: manchmal peilt man die zusammenhänge nur richtig gut, wenn man über irgendwelche abgefahrenen wege geht. um die ecke gedacht quasi
ok brems dich ein bischen ein - ich bin jetzt im zweiten
semester gewestet ergo kenn ich ein bischen LinAG I+II(die
sitzen aber nicht so gut), analysis I+II, Algebra +
Logik(jeweils MM);
wui, algebra schon im 2. semester gehabt? nicht übel… das war bei uns schon n netter brocken, der ohne vorwissen in lina2 sicher recht schwer fiel…
so und jetzt was ich verstanden hab(oder zumindestens glaub
ich das :-9
wir behandeln quadratische matrizen in R-Moduln, wobei R ein
euklidischer Ring ist.
die smithform ist eine Diagonalform -
hat jede nxn-matrix eine Smithform?
wie komme ich auf die smithform(was heisst Euklid.Algorhythmus
von links und rechts (- beispiel wäre nett)
jepp, jede hat eine smithform. auf die smithform kommst du wie folgt:
ich nehme mal an, ihr hatte schon den euklidischen algorithmus zur bestimmung eines ggt oder einer bézout-identität? wenn nicht, muss ich noch ein klein wenig weiter ausholen. aber ich fang jetzt erstmal so an. du bringst eine matrix zunächst mit zeilenumformungen in zeilenstufenform, so dass die einträge über deinen eckeinträgen im vetretersystem des eineintrages liegen. heißt in diesem fall nix weiter, als dass sie kleiner sind als der eckeintrag. im euklidschen ring muss man ja bekanntlich besonders aufpassen bei den zeilenumformungen (wegen multiplikation mit einheiten), deswegen der euklidische algorithmus. hattet ihr division mit rest und endliche körper bzw. restringe schon?
jetzt hast du also deine zeilenstufenform, so das mit den vetretersystemen alles stimmt. jetzt kannst du von rechts die spaltenumformungen so machen, dass deine matrix diagonalform hat. das letzte wäre nur noch, dass du die diagonaleinträge (sagen wir mal diag(d1,…dn)) so ordnest, dass d(i) d(i+1) teilt. und das wäre dann deine smithform. (kannst im grunde aber auch durcheinander von rechts und von lins drangehen, das macht keinen unterschied.)
am beispiel (is jetzt natürlich blöd, latex lern ich erst im oktober und is hier ja eh ungünstig, aber ich versuchs mal): schreib am besten nochmal auf ein blatt papier mit, weil ichs hier eher nur formal machen kann. ne 2 x 2 wäre dann hier [a b][c d]. das erste dann die erste zeile, das zweite eben die zweite, okay?
also: [4 2] [6 7] ~ [4 2] [2 5] ~ [0 8] [2 5] ~ [0 8] [2 1] ~ [8 8] [0 1] ~ [8 0] [0 1] ~ [1 0] [0 8] = diag(1,8)
das letzte ist dann also meine smithform. und wenn ich die von einer charakteristischen matrix bestimme, dann kann ich da wahnsinnig viel schon dran sehen. dann ist mein letzter eintrag mein minimalpolynom und solche scherze. und da gibts dann nur noch superwenig, was mich zu den ganzen normalformen führt.
schließlich brauch man ja erstmal eine definition, was eine normalform überhaupt ist…
was heisst zwei matrizen sind äquivalent?? - was ist da die
Äquivalenzrelation
juhuu - ähnlich kenn ich
das is ja schonmal gut. du weißt ja, dass zwei matrizen A, B ähnlich sind, wenn gilt: B=PAP^(-1). und in lina1 hattest du ja sicher auch zeilenumformungen. für lösungsräume und so. das waren äquivalenzumformungen. deine matrizen A, B sind also äquivalent, wenn du P (produkt aus elementarmatrizen) und Q (produkt aus elementarmatrizen) derart hast, dass B=PAQ, du also die matrix A durch zeilen- und spaltenumformungen in B umformen kannst.
und das praktische an der smithform ist eben: sind die charakteristischen matrizen von A und B äquivalent (ist ja recht einfach zu berechnen. äquivalent sind sie, wenn sie die gleiche smithform haben), dann sind A und B ähnlich.
was versteht man/verstehst du unter begleitmatrizen ??
begleitmatrizen hat man immer von einem polynom. hast du z.b. ein polynom a(n)*x+…+a(0), dann ist deine begleitmatrix folgende:
eine n x n-matrix, die in der nebendiagonale einsen hat und die letzte spalte ist (von oben nach unten): [-a(0) … -a(n-1)]. hat auch nette eigenschaften. z.b.: hast du das charakteristische polynom einer matrix a, so ist deine begleitmatrix nullstelle bei einsetzung in das char. polynom.
aber begleitmatrizen braucht man doch auch für jacobson und jordan?
Jordan’sche NF kenn ich aber Weierstraß kenn ich nur mit
Bolzano, Frobenius kenn ich auch nicht mit NF und jacobsen hab
ich nur mal mit radikal gehört - bitte erklärs mir ;~{
wir sind über folgenden weg gegangen.
- smithform
- frobenius (oder auch erste kanonische form)
- weierstraß (2. kanonische form)
- jacobson
- jordan
wobei du bei der smithform einfach die smithform deiner charakteristischen matrix von A berechnest. dann hast du deine diagonaleinträge. bei der frobenius nimmst du einfach die diagonaleinträge ungleich 1, welche ja alle polynome sind, und bildest zu ihnen die begleitmatrizen, die als format (quadratische matrizen) den grad deines jeweiligen polynoms haben (damit du am ende auch weider n x n hast). bei der weierstraß zerlegst du die einzelnen polynome jeweils ind elementarteiler mit vielfachheiten, machst ne liste geordnet nach grad etc. und erstellst mit denen wieder deine begleitmatrizen (bei linearen polynomen (x-a) hast du dann z.b. ne 1 x 1 matrix [a]), die kommen wieder in die diagonale. und bei der jacobaon schaust du nach den vielfachheiten deiner elementarteiler und teilst das dann wieder auf. naja, und jordan ist dann quasi die jacobson, wenn alles in lineare faktoren zerfällt, z.b. in C (komplex).
hört sich jetzt alles furchtbar kompliziert an, aber wenn ichs dir so auf nem blatt papier zeigen könnte wär das absolut kein problem. bloß ein bisschen schwieriger das so auszudrücken. und im eneffekt saupraktisch, weil man dann genau weiß, wo die jacobson bzw. die jordan überhaupt herkommt und wieso dann das gilt, was gelten muss…
danke - nein - DANKE(ein groß geschriebenes welches!)
martin|nitram (hoffnungsvoller student - der hoffnungslod der
mathematik verfallen ist)
wuw, das nenn ich mal viel geschrieben 
ich hoffe es hilft und regt dazu an, sich damit zu beschäftigen. ist nämlich echt ziemlich spannend (das wär mit vor drei jahren auch nicht eingefallen, dass ich sowas mal sage…). und hoffnungslos der mathematik verfallen hört sich gut an!
)