Für alle Interessierten: Dieser Beitrag ist unheimlich lang, es lohnt sich aber trotzdem, ihn bis zum Ende zu lesen und mal darüber nachzudenken!
Zuerst dachte ich es sei alles sonnenklar: das Lexikon der populären Irrtümer hat recht, die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel der Entscheidung verdoppelt sich also. Die Argumente der Befürworter dieser Lösung waren einfach zwingend. Doch dann kamen mir in einer schlaflosen Nacht plötzlich wieder Zweifel. Ausschlaggebend war eine Variante des Ziegenproblems, das „Henkersproblem“, daß Barbara Haeberlin in die Diskussion brachte. Für diejenigen, die das nicht mitverfolgt haben, hier noch einmal eine kurze Darstellung:
Drei Gefangene, sitzen in ihrer Zelle. Der Wärter teilt ihnen mit, daß zwei von ihnen am nächsten Tag hingerichtet werden sollen, während der dritte freigelassen werden soll. Allerdings darf er keinem der Gefangenen mitteilen, welches Schicksal ihn erwartet. Der Gefangene A, bittet den Wärter, ihm doch wenigstens den Namen eines Mitgefangenen, der sterben muß, mitzuteilen, und erfährt, daß der Gefangene B zum Tode verurteilt ist. A, der offenbar kein besonders guter Mathematiker ist, denkt sich, daß sich nun, da er weiß, daß von den Gefangenen A und C genau einer sterben wird, seine Überlebenschancen von 1/3 auf 1/2 erhöht haben.
In Wahrheit ist die Überlebenschance für C von 1/3 auf 2/3 gestiegen.
Hier die absolut logische und nachvollziehbare Begründung:
Zwei der drei Gefangenen müssen sterben. Die Wahrscheinlichkeit für jeden, zu überleben, ist also 1/3.
A liegt mit seiner Ansicht, seine Überlebenschancen lägen nun bei 50%, da er ja einer der beiden Kandidaten sei, von denen einer am Leben bleibt, falsch, denn für ihn war die Information nutzlos. Es ist in jedem Fall klar, daß mindestens einer seiner Mitgefangenen sterben muß (oder auch beide), egal, ob er dessen Namen kennt, oder nicht. Seine Überlebenschance liegt also weiter bei einem Drittel.
Für B liegt nun aber die Überlebenschance bei Null, da der Wärter seinen Namen genannt hat.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit, daß zwei Gefangenen sterben müssen, ist 100%, also Eins.
Wenn A = 1/3 und B = 0, dann muß C = 2/3 sein!
Wem das nicht einleuchtet: Hier noch eine andere Lösungsvariante:
Möglichkeiten vor Information des Wärters
A überlebt B stirbt C stirbt
A stirbt B stirbt C überlebt
A stirbt B überlebt C stirbt
Überlebenschance für C: 1/3
Nach Information durch Wärter:
A überlebt B stirbt C stirbt
A stirbt B stirbt C überlebt
Überlebenschance scheinbar 50% , jedoch bezieht sich das auf eine neue Ausgangssituation mit nur 2 Gefangenen, von denen einer sterben muß. Gegenüber der Anfangssituation (3 Gefangene, 2 müssen sterben) haben sich die Überlebenschancen von C jedoch deutlich verbessert: Vorher standen die Möglichkeiten mit Todesfolge 2:1 zum Fall des Überlebens. Jetzt steht es 1:1, die Überlebenswahrscheinlichkeit hat sich also verdoppelt! War sie vorher 1/3, so muß sie jetzt 2/3 sein.
Soweit zu der Argumentation. Jetzt zu meinen Gedanken, die ich in der schlaflosen Nacht wälzte:
Nehmen wir an, der Insasse von Zelle A sei ein guter Mathematiker und sei zu der Erkenntnis gelangt, daß seine Chancen sich verdoppeln würden, wenn er mit dem Insassen von Zelle C die Identität tauschen könnte. Nehmen wir weiterhin an, der Henker kennt seine Opfer nicht. Ihm wurde nur gesagt, in welchen Zellen sie sich befinden. Dann wäre es für A sehr vorteilhaft, wenn er mit C die Zelle tauschen könnte. Er besticht also den Wächter. Der Wächter sagt, das ließe sich machen, vorausgesetzt, der Gefangene C sei einverstanden. Um sein Bestechungsgeld zu bekommen (und eventuell zu verdoppeln) ersinnt der Wärter (der ebenfalls etwas von Wahrscheinlichkeitsrechung vertsteht) eine List. Er geht zu C und fragt ihn nicht direkt, ob er mit dem Zellenaustausch einverstanden ist, sondern sagt ihm beiläufig, daß Gefangener B einer der beiden sein wird, die morgen sterben. C ist nun auch nicht dumm. Er berechnet, daß sich die Wahrscheinlichkeit zu überleben, bei einem Wechsel verdoppelt, und besticht ebenfalls den Wärter, der den Tausch arrangiert.
Doch was haben die beiden Gefangenen davon - außer ein bißchen mehr Hoffnung? Der einzige, der dabei gewinnt, ist der Wärter, der die Kohle einstreicht.
Mir scheint, man muß bei diesem Problem zwei grundlegende Dinge unterscheiden:
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Die Überlebenswahrscheinlichkeit aus der Sicht eines Betroffenen. Sie erhöht sich bei einem Wechsel der Zellen, aber ich vermute: nicht durch den Wechsel selbst, sondern durch die zusätzliche Wahlmöglichkeit, die der Gefangene vorher nicht hatte. Er könnte genauso gut wählen, in seiner alten Zelle zu bleiben. Aus seiner Sicht ist das Problem „unsymmetrisch“. Dies scheint mir aber eher eine subjektive Ansicht zu sein.
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Die Überlebenswahrscheinlichkeit aus der Sicht eines außenstehenden Beobachters: Hier sind die Chancen beider Gefangenen absolut gleich. Einer von beiden muß sterben, das Problem ist also symmetrisch.
Für den Gefangenen A würde es symmetrisiert, wenn er wüßte, daß sein Mitgefangener C über dieselbe Information verfügt und sich ausgerechnet hat, daß er in der Zelle von A sicherer wäre und ebenfalls tauschen wollte. Frage: Glauben Sie, die Gefangenen würden den Tausch noch vollziehen wollen, wenn Sie die Überlegungen des anderen kennen würden?
Da es meiner Meinung nach nicht zwei unterschiedliche Lösungen des Problems geben kann, muß eine Überlegung falsch sein. Doch ich komme nicht dahinter. Deshalb stoße ich die Diskussion wieder an. Vielleicht widerlegt einer meine Symmetrie-Theorie? Das würde mich beruhigen und ich könnte nachts wieder schlafen. Ich weiß, meine Überlegung ist wohl falsch, denn die empirische Erfahrung von einigen, die das Spiel offenbar einige hundert Mal durchgeführt haben, scheinen es zu belegen. doch w o steckt der Denkfehler???
Ich möchte aber gleich eine mögliche Gegenargumentation entkräften, die beim identischen (nur anders formulierten) Ziegenproblem bereits aufgetaucht ist, nämlich die Erweiterung der Türen von drei auf tausend.
Hinter einer der tausend Türen befindet sich ein Auto, hinter den anderen Ziegen. Der Kandidat wählt eine Tür aus. Dann öffnet der Moderator von den restlichen 999 Türen 998 - also alle bis auf eine - und hinter allen Türen sind Ziegen.
Die Wahrscheinlichkeit, gleich am Anfang das Auto zu erwischen, ist winzig. Aber wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich nach der Super-Türöffnungsaktion durch den Moderator hinter der letzten noch verschlossenen Tür das Auto befindet? Hier nimmt die Wahrscheinlichkeit, das Auto hinter der letzten, vom Moderator nicht geöffneten Tür zu finden, von 1/1000 auf 999/1000 zu.
Soweit ist das auch nachvollziehbar, doch wer sagt denn, daß die Bedingungen für ein Experiment mit 1000 Türen so wie hier beschrieben sein müssen?
Bleiben wir noch mal bei den drei Türen:
Der Kandidat wählt eine Tür, der Moderator öffnet dann eine Ziegentür. Letzteres kann man allerdings auf drei unterschiedliche Arten beschreiben, die zu völlig verschiedenen Bedingungen für das Experiment mit tausend Türen führen:
- Der Moderator öffnet von den (zwei) verbliebenen Türen alle bis auf eine. Bei Erweiterung auf tausend Türen entspricht das dem oben beschriebenen Fall von 998 Türen, mit den daraus berechneten Wahrscheinlichkeiten.
- Der Moderator öffnet die Hälfte der (zwei) übriggeblieben Türen. Im Fall von 1000 Türen würde er dann aber die Hälfte von 999 (also entweder 499 abgerundet oder 500 aufgerundet) öffnen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit würde sich nun verdoppeln, da die Hälfte der Türen als Gewinnchance ausscheidet.
- Der Moderator öffnet genau eine der (zwei übriggebliebenen Türen). Das täte er dann auch bei tausend Türen. In diesem Fall würde sich das Wechsel überhaupt nicht lohnen, denn es sind nahezu so viel Nieten übrig wie vorher.
Die Argumentation zieht also nur, wenn man die Drei-Türen-Lotterie auf die unter Punkt 1 beschriebene Weise auf tausend Türen verallgemeinert.
Wo liegt der Haken???
Ein ratloser
Roland
