hallo, mir fehlt wiedermal bei einer Aufgabe der Ansatz:
Zeigen Sie, dass alle Nullstellen des Polynoms
p(z):=z^6 + 12z^5 + 63z^4 + 184z^3 + 312z^2 + 290z +117
innerhalt des Kreises B_1000(0) liegen.
ich glaube, dass 1000 der Radius ist.
meine Frage: wie weise ich denn soetwas nach?
Danke euch allen! Ihr seid meine Rettung!
Huhu,
ich weiss zwar auch nicht genau, wie du das jetzt beweisen sollst.
Aber eigentlich ist es völlig logisch dass die nullstellen innerhalb des Kreises liegen (Wenn der Kreis wirklich seinen Mittelpunkt in O(0/0) hat und den Radius 1000 ).
An der Funktion p(z) siehst du schon mal, wenn du z=0 einsetzt was positives bekommst. Und je jöher der Z-Wert, desto höher p(z). D.h. hier gibts auf jeden Fall keine Nullstellen. Also müssen wir nur noch in die Minusrichtung schauen. Beim einsetzen von höheren Zahlen, können die kleinen Potenzen beinahe vernachlässigt und nur die höchste betrachtet werden (z^6).Und bei einem Radius von 1000, wird einem schnell klar, dass durch einsetzen von z=-1000 und durch z^6 positiv wird, wir schon weit über der x-Achse sind.
Ich hab ein wenig rumprobiert die Nullstellen herauszufinden, aber bin auch net so weit gekommen 
(Müssten zwischen 2 und 5 liegen ^^)
Da wir uns nur auf die Minusseite konzentrieren müssen. Habe ich die Funktion aufgeteilt in zwei: einmal mit den positiven zahlen und mit den negativen.
1.) z^6 + 63*z^4 + 312*z^2 + 117
2.) 12*z^5 + 184*z^3 + 290*z
Um die Nullstellen herauszubekommen, müsste man die Schnittpunkte finden Doch leider wurde eigentlich gar nichts vereinfacht.
Man könnte jetzt vielleicht beweisen können, welche Funktion schneller ansteigt (bei „höheren“ z-Werten).
Naja ist wohl zwar keine Hilfe, aber vielleicht ein kleiner Fingerzeig
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo Lara,
p(z):=z^6 + 12z^5 + 63z^4 + 184z^3 + 312z^2 + 290z +117
innerhalt des Kreises B_1000(0) liegen.
Das ist ein komplexes Polynom, und B_r(w) ist der (wohl offene) Ball/Kreisscheibe mit Radius r und Mittelpunkt w. Die Idee kann nur sein, zu zeigen dass sobald |z|>1000, auch |p(z)|>0 sein muss, und dafür benutze man die Ungleichung |p(z)|>= r^6 - (12r^5+…+117), wobei abgekürzt r=|z|. Somit hat man das Problem darauf reduziert, für ein reelles Polynom anhand Kurvendiskussion o.ä. zu zeigen, dass die Ungleichung r^6 > 12r^5+…+117 tatsächlich für alle r>=1000 gilt. Den Schritt überlasse ich dir
Viele Grüße
M
Satz von Rouché
Hallo,
Zeigen Sie, dass alle Nullstellen des Polynoms
p(z):=z^6 + 12z^5 + 63z^4 + 184z^3 + 312z^2 + 290z +117
innerhalt des Kreises B_1000(0) liegen.
ich glaube, dass 1000 der Radius ist.
Dies löst man mit dem sog. Satz von Rouché :
Sei G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, C eine einfach geschlossene Kurve in G und f,g analytisch. Gilt |f(z)|>|g(z)| auf C, dann haben f und f-g im Inneren von C gleich viele Nullstellen.
Auf dein Problem angewendet, wähle:
f(z) = p(z) = z^6 + 12z^5 + 63z^4 + 184z^3 + 312z^2 + 290z +117
g(z) = 12z^5 + 63z^4 + 184z^3 + 312z^2 + 290z +117
Da auf B_1000(0) gilt: |f(z)|>|g(z)|, ist der Satz anwendbar und es ergibt sich:
Anzahl der Nullstellen von f
= Anzahl der Nullstellen von f - g
= Anzahl der Nullstellen von z^6
= 6 (6-fache Nullstelle bei z = 0)
fertig.
Gruß
Oliver
Hallo Oliver,
Einspruch! Dass aus |f|>|g| die Aussage trivial folgt, habe ich bereits gepostet, dafür braucht man Rouche nicht zu bemühen. Allerdings ist |f|>|g| nicht ganz so trivial. Mein erster Gedanke ging eigentlich eher in Richtung Cauchy Ungleichung…
Viele Grüße
Dies löst man mit dem sog. Satz von Rouché :
Auf dein Problem angewendet, wähle:
f(z) = p(z) = z^6 + 12z^5 + 63z^4 + 184z^3 + 312z^2 + 290z
+117
g(z) = 12z^5 + 63z^4 + 184z^3 + 312z^2 + 290z +117Da auf B_1000(0) gilt: |f(z)|>|g(z)|, ist der Satz
anwendbar und es ergibt sich:Anzahl der Nullstellen von f
= Anzahl der Nullstellen von f - g
= Anzahl der Nullstellen von z^6
= 6 (6-fache Nullstelle bei z = 0)fertig.
Einspruch!
Abgelehnt!
Davon abgesehen, dass ich nicht weiß wie du auf die Umgleichung
|p(z)|>= r^6 - (12r^5+…+117)
kommst (bitte zeigen), ist meine Vorgehensweise eine völlig andere.
Gruß
Oliver
Hallo!
Davon abgesehen, dass ich nicht weiß wie du auf die
Umgleichung|p(z)|>= r^6 - (12r^5+…+117)
kommst (bitte zeigen)
Dreiecksungleichung
Die Dreiecksungleichung reduziert das Problem genau wie Dein Ansatz auf Nullstellensuche eines reellen Polynoms sechsten Grades, nur sind es leicht unterschiedliche Polynome.
Viele Grüße
|p(z)|>= r^6 - (12r^5+…+117)
Dreiecksungleichung
Mit der Dreiecksungleichung komme ich zunächst auf:
|p(z)| >= | |z|^6 - |12z^5+…+117||
und wie geht’s weiter?
Die Dreiecksungleichung reduziert das Problem genau wie Dein
Ansatz auf Nullstellensuche eines reellen Polynoms sechsten
Grades, nur sind es leicht unterschiedliche Polynome.
Dann hast du mein Ansatz nicht verstanden, bei mir muss nur noch
|f(z)| > |g(z)| nachgewiesen werden auf dem Rand von U_1000(0).
Gruß
Oliver
Hallo,
das ist die umgekehrte Dreiecksungleichung, siehe Analysis I. (für alle a,b in C: |a-b|>= |a|-|b|, folgt direkt aus normaler Dr.ungl)
Lösung mit dem Satz von Rouché (Danke, Oliver): Der Trick ist natürlich immer noch die Dreiecksungleichung:
Setze wie gesagt g=12z^5+Schmutz, dann ist |g|
Nachtrag
Nachtrag: Dies beweist dass es 6 Nst in der Kreisscheibe gibt, und aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt natürlich, dass f außerhalb der Kreisscheibe nullstellenfrei ist.
Hallo,
(für alle a,b in C: |a-b|>= |a|-|b|, folgt direkt aus
normaler Dr.ungl)
Nein, die Dreiecksungleichung ergibt
|p(z)| >= | |z|^6 - |12z^5+…+117||
siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung
du hast aber geschrieben:
|p(z)| >= |z|^6 - (12|z|^5+…+117)
Das sieht zwar ähnllich aus, ist aber was ganz anderes.
Lösung mit dem Satz von Rouché (Danke,
Oliver): Der Trick ist natürlich immer noch die
Dreiecksungleichung:
Setze wie gesagt g=12z^5+Schmutz, dann ist
|g| |g| folgt nicht |f| > |g|
(Gegenbeispiel f = -1, g = 1)
Gruß
Oliver
Hallo Oliver,
die umgekehrte Dreiecksungleichung lernt man in Analysis 1: |a| = |(a+b)-b| = |a|-|b|. Das gilt in jedem Banachraum.
Zum Rouché: Okay aus meiner Ungleichung folgt nur, dass f&g gleich viele Nullstellen haben. Aber vom Prinzip her ist das schon das richtige Vorgehen. Es bezeichne G=12*1000^5+63*1000^4+…+117. Es gilt (durch nachrechnen):
2G =1000^6-|g|=1000^6-G>G=|g|.
Hoffe das hilft.
Gruß
Nachtrag
Da auf B_1000(0) gilt: |f(z)|>|g(z)|, folgt (…)
Dies Aussage sollte man vielleicht auch noch beweisen:
Dazu vergleicht man den kleinsten Wert von f(z) auf B_1000(0) mit dem größten Wert von g(z). Der erste ist gegeben an der Stelle z=-1000, da dann die einzelnen Glieder von f(z) unterschiedliche Vorzeichen erhalten.
Der zweite ist gegeben an der Stelle z=+1000, da so die einzenen Glieder von g(z) gleiche Vorzeichen haben.
Es ergibt sich:
f_min = f(-1000) = 10^18 - 12*10^15 + … > 10^17
g_max = g(1000) = 12*10^15 + 63*10^12… = fmin > 10^17 > g_max >= |g(z)|
also
|f(z)| > |g(z)|
was zu zeigen war.
Gruß
Oliver
Um die Diskussion mal zum Ende zu führen:
Nein, die Dreiecksungleichung ergibt
|p(z)| >= | |z|^6 - |12z^5+…+117||
Man kann die umg Dr.ungl natürlich schachteln wie man will, man muss nur aufpassen, dass man nur einen positiven Term addiert, und die anderen positiven Summanden subtrahiert. In diesem Fall darf ich die Klammer so einfach schreiben, da die Koeffizienten alle reell positiv sind.
Da auf B_1000(0) gilt: |f(z)|>|g(z)|, folgt (…)
B_1000(0) ist die Kreisscheibe, nicht der Rand.
Dies Aussage sollte man vielleicht auch noch beweisen:
sag ich doch die ganze Zeit…
Dazu vergleicht man den kleinsten Wert von f(z) auf B_1000(0)
mit dem größten Wert von g(z). Der erste ist gegeben an der
Stelle z=-1000, da dann die einzelnen Glieder von f(z)
unterschiedliche Vorzeichen erhalten.
Der zweite ist gegeben an der Stelle z=+1000, da so die
einzenen Glieder von g(z) gleiche Vorzeichen haben.
Für diese Argumentation würde ich als Uni-Korrektor evtl ein bißchen abziehen… (du argumentierst tatsächlich mit Winkeln in Polarkoordinaten.) Warum nicht Dreiecksungleichung benutzen?
Viele Grüße
mauschu
Hallo,
die umgekehrte Dreiecksungleichung lernt man in Analysis 1:
|a| = |(a+b)-b| = |a|-|b|.
sehr schön, ich glaub dir ja … aber wie jetzt bereits zum vierten Mal bemerkt ist
|p(z)| >= |z|^6 - |12z^5+…+117|
immernoch was anderes wie
|p(z)| >= |z|^6 - (12|z|^5+…+117)
Gruß
Oliver
Da auf B_1000(0) gilt: |f(z)|>|g(z)|, folgt (…)
B_1000(0) ist die Kreisscheibe, nicht der Rand.
sag ich doch die ganze Zeit…
tust du aber nicht
Für diese Argumentation würde ich als Uni-Korrektor evtl ein
bißchen abziehen…
Davon abgesehen, dass diese Argumentation völlig richtig ist und du damit als Uni-Korrektor ein ziemlich schlechtes Bild abliefern würdest, würde ich für deine nichtvorhandene Argumentation erst überhaubt keine Punkte vergeben. Aber ich glaub wir bleiben lieber sachlich.
Gruß
Oliver
Warum nicht Dreiecksungleichung
benutzen?
siehe unten.
Gruß
Oliver
Da auf B_1000(0) gilt: |f(z)|>|g(z)|, folgt (…)
B_1000(0) ist die Kreisscheibe, nicht der Rand.
Das wird aus dem Ursprungsposting nicht klar, dort heißt es nur einfach „Kreis“
Gruß
Oliver
Hallo Oliver,
ich weiß ehrlich gesagt nicht was dich gebissen hat, immer gleich so zu antworten. Es ist einfach bei komplexen Zahlen kein Beweis, das Minimum auf diese Art und Weise zu bestimmen. Liefere mir einen Beweis, dass jedes Polynom mit positiven reellen Koeefizienten auf S^1 sein betragsmäßiges Minimum nur in -1 haben kann. Zum anderen Kommentar: Ich hatte zuvor mehrfach hingewiesen, dass die Ungleichung bei dir noch fehlt, und habe diese unten nachgeliefert. Übrigens wundert mich, dass jemand den Satz von Rouché kennt (und beherrscht), aber sich mit Analysis I-Ungleichungen so schwer tut.
Viele Grüße
B=ball owT
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