Hier die Situation, die etwas schwierig zu erklären
ist:
Eine Wiese hat die Form eines Kreises mit einem Durchmesser von D und einem Radius von 1/2 D oder r. Am Rand dieses Kreises (wo spielt ja keine Rolle da er rund ist) ist eine Ziege, die mit einem Seil an diesen Rand gebunden ist. Sie kann sich jedoch 360° bewegen und soweit abgrasen wie das Seil lang ist. Diese Fläche bildet erneut einen Kreis, der den Ersten also überschneidet. Jetzt ist die Frage, wie lang muss dieses Seil in Funktion zum Radius vom ersten Kreis sein, damit genau die Hälfte der Fläche des ersten Kreises (der Wiese) abgegrast wird. Ich hoffe Sie konnten mich verstehen. Danke für die Mühe.
MFG Philippe
klingt einfach
ist aber ziemlich schwer zu lösen. Ich erinnere mich da düster an eine Vorlesung in Mathe, in der ein Kumpel von mir dem Prof genau diese rage stellte. Anfangs meinte er „kein Problem“, aber als es ans rechnen ging, wurde er etwas kleinlauter.
Ende vom Lied:
„während einer Vorlesung hab ich wichtigeres zu tun, als solche Sachen zu berechnen“ Ende für diesen Tag.
Einige Tage später trafen sich die beiden in der Mensa und der Prof knallte ihm einige Zettel auf den Tisch und meinte „da haben Sie Ihre Lösung“ und zog von dannen.
Leider hab ich die Lösung nicht behalten, es war aber nicht geschlossen lösbar, sondern nur durch eine Näherung zu machen.
Gandalf
Hier die Situation, die etwas schwierig zu erklären
ist:
Eine Wiese hat die Form eines Kreises mit einem Durchmesser
von D und einem Radius von 1/2 D oder r. Am Rand dieses
Kreises (wo spielt ja keine Rolle da er rund ist) ist eine
Ziege, die mit einem Seil an diesen Rand gebunden ist. Sie
kann sich jedoch 360° bewegen und soweit abgrasen wie das Seil
lang ist. Diese Fläche bildet erneut einen Kreis, der den
Ersten also überschneidet. Jetzt ist die Frage, wie lang muss
dieses Seil in Funktion zum Radius vom ersten Kreis sein,
damit genau die Hälfte der Fläche des ersten Kreises (der
Wiese) abgegrast wird. Ich hoffe Sie konnten mich verstehen.
Danke für die Mühe.
Die Aufgabe hatten wir hier schon öfter. Schau mal im Archiv unter Schafrätsel und grasendes Schaf, dort findest Du auch Lösungen bzw. Ansätze.
Jörg
Hallo Phil,
hier nochmal meine Lösung von April 1999. Ich glaube, da gab es bei www noch kein Archiv:
repost
Puh,
das ist knifflig!
Also, wenn man den Zaunpfahl in den Koordinatenursprung legt, dann wird der relevante Halbkreis durch die Funktion
F1:y=r-sqrt(r^2-x^2)
beschrieben, der Aktionsradius der Ziege sei l, dann ist ihr Auslauf beschränkt durch
F2:y=sqrt(l^2-x^2)
Diese beiden Funktionen beschreiben einen Normalbereich bezüglich der x-Achse, so das die abkaubare Fläche durch (oh Gauss, sei mir gnädig ob dieser Schreibweise)
Integral von –z bis z (Integral von F1 bis F2 1 dy)dx
gegeben ist. Etwas unangenehm ist, daß die x-Werte der Schnittpunkte von F1 und F2 ebenfalls nur mittels transienter Funktionen darstellbar sind. Also sind sie zunächst mit z und –z bezeichnet. Die Lösung für dieses Doppelintegral ist
l^2*ATAN(z/SQRT(l^2-z^2))+r^2*ASIN(z/ABS®)+z*(SQRT(l^2-z^2)+SQRT(r^2-z^2)-2*r)
Soll die Ziege genau die Hälfte abfressen, so lautet die Lösungsgleichung:
2*l^2*ATAN(z/SQRT(l^2-z^2))+2*r^2*ASIN(z/ABS®)+2*z*SQRT(l^2-z^2)+2*z*SQRT(r^2-z^2)-4*r*z=pi*r^2
Wenn man nun o.B.d.A. einen Einheitskreis betrachtet, also r=1 setzt, und weiterhin die Beziehung
l^2=z^2 + (1-sqrt(1-z^2))^2
ausnutzt, dann reduziert sich das Ziegenproblem auf die Lösung der folgenden transzendenten Gleichung in z:
4*(1-SQRT(1-z^2))*ATAN(z/SQRT(-2*SQRT(1-z^2)-z^2+2))+2*ASIN(z)+2*z*SQRT(-2*SQRT(1-z^2)-z^2+2)+2*z*SQRT(1-z^2)-4*z-pi=0
Ich kann mir nicht vorstellen, daß hierfür eine analytische Lösung existiert, kann dieses aber auch nicht ausschließen. Ich habe die Lösung numerisch mittels einfacher Bisektion ermittelt, man erkält:
Z=0.9444433782
L^2=1.3426516742
L=1.1587284730
Das Seil muß also 1.1587 mal so lang sein wie der Radius des eingezäunten Bereiches.
Gruß und gute Nerven beim Nachrechnen
Ted
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