Wie ich schon unten geschrieben habe, ist
es leider nicht so, dass gilt:
sqrt(a^2)=|a|.
Doch, das gilt. Ich vergaß allerdings, dazuzuschreiben, daß es für alle reellen Zahlen gilt. Für komplexe gilt es dagegen im allgemeinen *nicht* (sondern da gilt „sqrt(z* z) = |z|“, wobei „z*“ das Konjugiert-Komplexe der Zahl z bezeichnet).
Um den Fehler in Deiner Rätsel-Rechnung zu erklären, benötigt man aber nur den „reellen“ Spruch „sqrt(a^2)=|a|“.
Bis zu der Gleichung
e^(2 pi i) = e^(4 pi i)
in Deiner Rechnung gibt es kein Problem. Links steht Eins, und rechts steht Eins, und es ist auch bestimmt dieselbe Eins, denn es gibt nur eine.
Formt man die beiden Seiten der Gleichung etwas um, so steht da:
(e^(pi i))^2 = (e^(2 pi i))^2
e^(pi i) ist aber gleich -1, und e^(2 pi i) ist gleich 1. Also steht da nichts anderes als:
(-1)^2 = 1^2
Und wenn man jetzt auf beiden Seiten die Wurzel zieht, dann muß man halt beachten, daß gilt sqrt(a*a) = |a| für reelle a (und das Kriterium, reell zu sein, erfüllen -1 und 1 ja).
Nein, exp(i*pi) ist nunmal -1, also bei
hoch 0.5 wurde einmal die positive und
einmal die negative Wurzel von a^2=1
hingeschrieben
Hmm, ja und nein.
Ich habe mich nur strikt an die Rechenregeln gehalten. Du hast eben gerade nicht abgestritten, dass sicher
+(1^0.5) = +(1^0.5) [1]
ist. Da kann auch keiner was gegen sagen, weil rechte und linke Seite offensichtlich völlig identische Zeichenfolgen sind!
DER FEHLER passiert in dem Moment, wo ich die beiden komlexen Einsen einsetze:
1 = exp(i*4*pi)
1 = exp(i*2*pi)
Wenn ich in der Gauß’schen Zahleneben die Wurzel ziehe, muß ich den Winkel phi halbieren (der Betrag ist ja 1). Dadurch wird exp(i*2*pi) nur um den Winkel pi, exp(i*4*pi) jedoch um 2*pi zurückgedreht.
So gesehen kann man schreiben:
exp(i*2*pi) = (-1)^2
exp(i*4*pi) = (+1)^2
Ich ändere [1] also klammheimlich in:
[(-1)^2]^0.5 = [(+1)^2]^0.5
Das negative Vorzeichen kommt also nicht beim Wurzelziehen herein, sondern beim Einsetzen der beiden Einsen!
in Deiner Rechnung gibt es kein Problem.
Links steht Eins, und rechts steht Eins,
und es ist auch bestimmt dieselbe Eins,
denn es gibt nur eine.
So, bist du sicher?! Genau da ist der Fehler!
Dann schau mal nach, für welche Winkel phi die Euler-Formel
exp(i phi)=cos(phi)+i*sin(phi)
gilt. Im Bronstein wirst du da den Hinweis finden, dass -pi0.
„Wurzel ziehen“ und „hoch 0.5“ sind eben nicht völlig identisch!
Schade nur, dass das in dieser Gemeinde nicht bekannt war, und so das Rätsel sienen Reiz verloren hat. Ich denke mal drüber nach, wie man die Idee anders verpacken kann.
Das negative Vorzeichen kommt also nicht
beim Wurzelziehen herein, sondern beim
Einsetzen der beiden Einsen!
Zum komplexen Wurzelziehen steht im Bronstein:
(…) liefert (m. Wurzel aus a) folgende m verschiedene Lösungen (Wurzeln) (…) dann ergibt sich (m. Wurzel aus a) als die m-Elementige Menge (…)
Oder nochmal anders: ganz egal, wie Du die eins darstellst es gilt 1=1. Wenn Du die komplexe Wurzel ziehst gibt es verschiedene Lösungen (+1, -1), die Du aber nicht gleichsetzen darfst.
„Wurzel ziehen“ und „hoch 0.5“ sind eben
nicht völlig identisch!
Das heisst genau, dass die Funktion hoch 0.5 f"ur komplexe Zahlen gar nicht definiert ist.
Das Gebilde, welches man als Ersatz definieren kann, ist eine mehrwertige Funktion, und das auch nur f"ur rationale Exponenten, f"ur reelle Exponenten kommt nur noch Unsinn raus.
Nix f"ur ungut, aber zur"uck zum B"ucherregal, komplexe Zahlenebene nacharbeiten.
sondern weil ich die
beiden verschiedenen Einsen eingesetzt
habe!
Sorry, aber „verschiedene Einsen“…??? Also wenn’s solche tatsächlich gibt, dann würde mich mal interessieren, wie groß die Differenz zwischen der Eins Nr. 1 und der Eins Nr. 2 ist… (Null kann’s ja nicht sein, denn dann wären die Einsen ja gleich). Bin auf Deine Antwort - ehrlich - gespannt.
Oder nochmal anders: ganz egal, wie Du
die eins darstellst es gilt 1=1. Wenn Du
die komplexe Wurzel ziehst gibt es
verschiedene Lösungen (+1, -1), die Du
aber nicht gleichsetzen darfst.
Ja was denn nun, kann man im Komplexen die Wurzel ziehen oder nicht?
„Wurzel ziehen“ und „hoch 0.5“ sind eben
nicht völlig identisch!
Häh, wieso Unfug. Wie ziehst du denn normalerweise die Wurzel?
x^0.5= exp(0.5*ln(x)) für x>0
Das kennst du doch sicher.
Das heisst genau, dass die Funktion hoch
0.5 f"ur komplexe Zahlen gar nicht
definiert ist.
Ja stimmt.
Das Gebilde, welches man als Ersatz
definieren kann, ist eine mehrwertige
Funktion, und das auch nur f"ur rationale
Exponenten, f"ur reelle Exponenten kommt
nur noch Unsinn raus.
Und das ist genau der Grund, warum der obige Beweis von 0=1 klappt ))
Nix f"ur ungut, aber zur"uck zum
B"ucherregal, komplexe Zahlenebene
nacharbeiten.
Wieso? Brauch’ ich nicht mehr. Bin fertig mit dem Studium … Und sowieso, bin ich ja nur dummer Physiker …
Och Nöö. Immer dasselbe
Ich kenne ganze zwei Möglichkeiten, zu beweisen, dass 1=0 ist.
Möglichkeit a) Es wird irgendwo durch Null dividiert, und dieses Faktum wird so gut wie möglich kaschiert.
Möglichkeit b) Irgendwo wird eine Wurzel gezogen und dem staunenden Publikum wird verschwiegen, dass es derer mehrere gibt.
Hier handelt es sich um Möglichkeit b) in Tateinheit mit Aufs-Glatteis-Führen des Publikums durch sprachliche Sophistereien, Nasehochhalten und Bronstein-um-sich-werfen.
Barbara
(*DieJetztInDeckungGehtWeilSieKeinenBronsteinZumSchmeißenHat*)
Hier handelt es sich um Möglichkeit b) in
Tateinheit mit Aufs-Glatteis-Führen des
Publikums durch sprachliche
Sophistereien, Nasehochhalten und
Bronstein-um-sich-werfen.
Ja, stimmt. Aber du merkst doch daran, wie fleissig sie antworten und im Bronstein nachschlagen, dass sie selber unsicher sind. Ich habe die Idee von einem theoretischen Physiker aus Russland. Er hat mir das erklärt, aber ich krieg es nicht mehr genau zusammen. Das Wurzelziehen ist hier nicht der Fehler. Er hat mir was von einer dreidimensionalen Zahlenebene erzählt. Mit jeder Umdrehung in der Gauß’schen Zahlenebene geht man eine Zahleneben nach oben bzw. nach unten … Aber wie gesagt, ich kriege es nicht mehr zusammen. War echt kompliziert, und es war im Flugzeug auf dem Weg zu einer Konferenz in die USA …
Ja, stimmt. Aber du merkst doch daran,
wie fleissig sie antworten und im
Bronstein nachschlagen, dass sie selber
unsicher sind.
Jau. Ich finds jedesmal wieder klasse, wie hoch emotional Mathematik betrieben werden kann.
Hast Du damals die Diskussion ums Ziegenproblem mitgekriegt?
Das Wurzelziehen ist hier nicht der
Fehler.
Doch.
Er hat mir was von einer
dreidimensionalen Zahlenebene erzählt.
Mit jeder Umdrehung in der Gauß’schen
Zahlenebene geht man eine Zahleneben nach
oben bzw. nach unten … Aber wie gesagt,
ich kriege es nicht mehr zusammen. War
echt kompliziert, und es war im Flugzeug
auf dem Weg zu einer Konferenz in die USA
Na gut: Möglichkeit b) unter erschwerten Bedingungen und mit Mystik verbrämt.
Schade. Die Erlärung hätte mich interessiert. Wer weiß, wo mans im Leben noch brauchen kann.
Hast Du noch mehr davon?
Jau. Ich finds jedesmal wieder klasse,
wie hoch emotional Mathematik betrieben
werden kann.
Schau dir mal die Länge des Threads an! Hättest du das erwartet, bei einem Mathe-Problem ))
Hast Du damals die Diskussion ums
Ziegenproblem mitgekriegt?
Nee, leider nicht.
Das Wurzelziehen ist hier nicht der
Fehler.
Doch.
Ja, aber nur indirekt …
Na gut: Möglichkeit b) unter erschwerten
Bedingungen und mit Mystik verbrämt.
Schade. Die Erlärung hätte mich
interessiert. Wer weiß, wo mans im Leben
noch brauchen kann.
Ich hab’ den Namen und die E-Mail-Adresse von ihm. Er arbeitet nämlich in Deutschland. Ich kann ihn ja noch mal fragen …
Hast Du noch mehr davon?
Ja, aber dann bekomme ich ja wieder Schläge von allen Seiten. Das Rätselbrett ist echt mit das anstrengenste …
