Poisson-Verteilung, Verteilungsfunktion, Statistik

Wissenschaft Mathematik
#1

Das erste Saisonspiel ist gut besucht, und in der Halbzeitpause haben die Zuschauer Hunger. Leider kann der Bratwurststand nur 10 Kunden pro Minute sofort bedienen. In der 15-minütigen Pause kommen aber insgesamt 135 Kunden, die alle sofort bedient werden wollen. Die Eintreffzeiten dieser Kunden können als Poisson-verteilt angenommen werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit können alle eintreffenden Kunden sofort bedient werden?

Welche Kapazität (in Kunden pro Minute) müsste der Wurststand haben, damit mit 90%iger Wahrscheinlichkeit alle 135 Kunden bedient werden können?

Mein Lösungsansatz:

Ich denke, dass ich folgende Formel dafür benötige:

1−∑(λ^x/x!)⋅e^−λ

Das Problem ist nur: Was ist mein λ, und was ist mein x?? Bzw. wie rechne ich das ganze? Die Wahrscheinlichkeit p habe ich ja quasi mit 0,9 gegben…

Wäre toll, wenn mir da jemand helfen könnte :smile: Es ist eine ganz schön schwierige Übungsaufgabe.

#2

Hallo Statistik-Freund,
es tut mir leid, dass ich Dir in diesem Fall nicht weiterhelfen kann. Ich befasse mich mit Sportstatistik.
Siehe auch www.olympische-flamme.de

Ich wünsche trotzdem viel Erfolg bei der weiteren Recherche!
Freundliche Grüße
Michael Menzel

#3

Es tut mir leid, das kann ich auch nicht lösen.
Viel Erfolg weiterhin!

#4

Ich habe mit dieser Verteilung keine Erfahrung, die Lösung könnte aber analog eines Problems aus der Normalverteilung erfolgen.

Mein Tipp deshalb: Schau dir mal die Hilfe zu der Funktion poisson in deiner Tabellenkalkulation an. Da kannst du dir vermutlich am besten die Lösung erschliessen. Achte auf des Unterschied des dritten zu übergebenden Arguments, eine 1 kumuliert, eine Null nicht. Da dur in deiner Formel ein Summenzeichen hast, denke ich, dass du die 1 als Argument brauchst und evtl für deine Lösung auch =1 - poisson(arg1; arg2; 1) schreiben musst. Du musst jetzt nur noch arg1 und arg2 rauspfriemeln; vielleich musst du ein wenig googeln.

Gruß, Walter.

#5

Hallo,
für die Beantwortung der Frage stimmt deine Formel meines Erachtens.

„(…) welcher Wahrscheinlichkeit können alle :eintreffenden Kunden sofort bedient werden?“

Was λ und x angeht:
λ ist der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Wie viele Besucher erwartet die Currywurstbude denn in 15 Minuten?
x ist die Anzahl der Versuche, die „erfolgreich“ sein sollen, nämlich?

(…)„Welche Kapazität (in Kunden pro Minute) müsste der
Wurststand haben, damit mit 90%iger :Wahrscheinlichkeit alle 135 Kunden
bedient werden können?“

Diese Frage ist leichter zu beantworten, wenn Du die Antwort auf die erste Frage kennst. Hier wird nach dem Parameter λ der Verteilung gefragt. Du kennst λ aus der ersten Frage. Wie muss Du λ verändern, dass 90% erreicht werden?

Gruß
Winfried

#6

ich nicht, sorry!

#7

Hallo Winfried,

erstmal danke für deine Antwort! :smile:
Also ich denke, dass mein Lambda 9 ist (135 Kunden in 15 Minuten: 135/15=9), und x, also die Anzahl, der Versuche, die erfolgreich sein sollen, müsste dann ja 100%, also 1 sein, oder??

Lg

#8

Hallo,

Also ich denke, dass mein Lambda 9 ist (135 Kunden in 15
Minuten: 135/15=9),

Nein, die Bude erwartet 10 Kunden in einer Minute, also 15*10 in 15 Minuten. Du musst den Erwartungswert bezogen auf das Zeitintervall ermitteln.

und x, also die Anzahl, der Versuche, die
erfolgreich sein sollen, müsste dann ja 100%, also 1 sein,
oder??

Die Anzahl der Versuche, die erfolgreich sein sollen ist 135.

Gruß
Winfried

#9

Hallo,
Ich muss meine Antwort korrigieren.

Also ich denke, dass mein Lambda 9 ist (135 Kunden in 15
Minuten: 135/15=9),

Stimmt. Lambda ist 9. Ich hatte irrtümlicherweise auf das 15 Min.-Intervall normiert.
Das war Unsinn. Wir suchen einen Schätzer für den Mittelwert der Population und der
Ist 135/15.

und x, also die Anzahl, der Versuche, die
erfolgreich sein sollen, müsste dann ja 100%, also 1 sein,
oder??

Nein, wir suchen jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass F(X

#10

Hi,

lambda ist die eintreffzeit der Kunden, hier sind das 135 in 15 min, also 135/15 Kunden/min. x ist keine Konstante und dient nur dazu Werte der Verteilung zu berechnen. d.h. in diesem Fall ist es die Kundenrate, die abgearbeitet werden kann und die du ermitteln sollst.
Viele Grüße,
JPL

#11

Hallo und vielen Dank für deine Antwort :smile:
Also das mit Lambda hatte ich auch raus (9), aber wie muss ich dann mein x wählen? Ich probiere schon die ganze Zeit herum und variiere mein x, aber auf die 90% Prozent komme ich einfach nicht.

Lg

#12

Hi,

du verwendest auch die Dichte und nicht die Verteilungsfunktion.
Daher kommst du auf keinen grünen Zweig.
Die kapazität der Bude liegt bei x=10 für lambda=9, das ergibt etwa 70% W’keit dass man in den 15min mit höchstens 10 Leutenmin rechnen kann.
Um dann auf >90% zu kommen muss man x entsprechend wählen.
Viele Grüße,
JPL

#13

Hallo :smile:

Danke für deine Erklärung, aber ich verstehe es einfach nicht bzw. bekomme es nicht hin. Wie müsste denn deiner Meinung nach die Berechnung aussehen und was erhältst du als Ergebnis? So weit kann ich von der Lösung nicht mehr entfernt sein^^

Viele Grüße

#14

Hi,

ich möchte hier ungern einfach nur Lösungen posten. eine Antwort steht ja schon oben, die zweite ist dann auch nicht mehr fern.
schau dir mal bei Wiki die poisson-Verteilun an. dann siehst du, dass du die Dichte Wahrscheinlichkeitsverteilung) angegeben hattest. Diese iegnest sich aber nicht zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (ich weiß, die Benenneung ist hier völlig irreführend), sondern nur das Integral der Dichte, die sog. Verteilungsfunktion. Unter demselben Namen findest du im Wiki-artikel recht weit unten deren Angabe. Du wirst feststellen, dass sie - ebenso wie die Binomialverteilung - eine Summe der einzelw’keiten ist. Damit musst du arbeiten und ggf. hädisch die Summe bilden, bis 90% oder mehr erreicht ist.

Viele Grüße,
JPL

#15

Hallo,

jetzt weiß ich, welche Formeln angewendet werde müssen.

Link: http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung -> ganz unten, mit der Überschrift:

Grenzwertüberschreitung

„Die Anzahl nup poissonverteilter Ereignisse, die mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit p 0.14, dass zum Beispiel folgende Ausdrücke der Verteilungsfunktion kaum (0,9 anwenden: Q(lambda+Xp*Wurzel lambda+Wurzel lambda,lambda) Richtig?

Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich xp berechnen soll?!? Was ist z.B. „Erf“? Und was bedeutet das Lambda hinter dem Komma oder kann ich das ignorieren?

Gibt es ein Mathematikbuch in dem das mal ordentlich erklärt ist, mit Rechenbeispielen etc?

Viele Grüße

#16

Hi,

Link: http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung -> ganz
unten, mit der Überschrift:
Grenzwertüberschreitung…

Ich müsste jetzt die Formeln für die Verteilungsfunktion p>0,9
anwenden: Q(lambda+Xp*Wurzel lambda+Wurzel lambda,lambda)
Richtig?

Ja und nein, damit bist du schon wieder zu weit. Der Absatz über die Verteilungsfunktion ist der richtige.
Aber auch dort kommt die Funktion Q zum Einsatz, die händisch nicht berechenbar ist. Also musst du summieren - da kannst du aber die Rekursionsformel vom Absatz davor verwenden.
Erst dann würde ich die Näherung in dem von dir zitierten Absatz auch mal rechnen, um vergleichen zu können.
xp ist dabei das Quantil der standardnormalverteilung zum prozentwert p (im Artikel 95%- bei dir sollte es 90% sein)
Grüße,
JPL

p.s. Erf ist wieder eine spezielle funktion - nix für nicht computerhestützte Berechnungen. Bücher … gibts viele, was dir da liegt musst du mal am besten in einer Fachbuchhandlung schauen.

#17

Also ich glaube ich bin echt zu doof für sowas :frowning:

Habe jetzt die Rekursionsformel genommen, komme aber, wenn ich alles summiere auf 87,035?!?
Ich habe für Lambda 9 , für P(Lambda) 0,9 und für i die Zahlen von 1-14 eingesetzt…

#18

Ja, das etwas viel und es ist gut, dass du das Ergebnis anzweifelst :smile:
Logischerweise müsste ja etwas

#19

ich komme trotzdem nicht zurecht… also ich rechne am Anfang Pλ(X = 0) = e^− λ, und komme da auf 0,0001234… setze ich den wert dann als nächstes in Plambda(i)=lambda/i*plambda.(i-1) ein?
also für das plamda, dann komme ich ja wieder auf 0, wenn ich für i=1 setze… kann das ja auch nicht stimmen…denn wenn ich dann weiterrechne, kommt ja immer wieder 0 raus.

#20

Hi,

nein, da kommt nicht 0 raus beim zweiten.
Pλ(i-1) ist NICHT Pλ*(i-1), sondern Pλ(i-1)=Pλ(X=0)=e^− λ.
Viele Grüße - du bist auf dem richtigen Weg -
JPL