Schrödingergleichung

[Paprika27]

Hallo Leute,

ich bin letztens auf diese Gleichung gestossen. Es geht mir nicht so sehr darum warum genau sie wahr ist, wie man sie herleitet und wie man damit rechnet sondern viel allgemeiner darum was sie sagt und um Lösungen der Gleichung.
Ich habe bisher im Inet nur sehr detaillierte Abhandlungen gefunden; meine Physikbücher gehen nicht genug ins Detail.

Ich habe mitbekommen dass die Gleichung mir angeben kann ob es wahrscheinlich oder unwahrscheinlich ist dass sich ein Elektron (kann man davon überhaupt noch sprechen?) im Orbitalmodell an einer bestimmten Stelle befindet. Aber da muss doch noch mehr sein?

Danke für eure Hilfe

P

[ThomasM]

Hallo P

Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichung der nicht-relativistischen, Einteilchen Quantenmechanik, also das Äquivalent der Newtonschen Kraftgleichung für die Welt der Atome.

Genauso wie Du die Newtonschen Gleichungen verwenden kannst, um so ziemlich sämtliche Probleme der klassischen Mechanik zu berechnen, so kannst Du dies mit der Schrödingergleichung für den Fall von Atomen machen.

Genauso wie bei Newton ist aber für jedes Problem, das Du vorliegen hast, eine dem Problem entsprechende Form dieser Gleichung aufzustellen, darin liegt die eigentliche Kunst der Physik. Das Ausrechnen hinterher ist dann mehr Technik und eine Frage der Computerpower.

Genauso wie bei Newton steht hinter der Gleichung ziemlich komlexe Mathematik (Stichwort Newton: Phasenraum, Stichwort Schrödingergleichung: Hilbertraum), die Du mit Schulkenntnissen kaum durchdringen wirst. Aber keine Angst, schon nach 4-5 Jahre Studium der Physik und der Mathematik kannst Du mit diesen Begriffen einiges anfangen.

Also als Zusammenfassung zu Deiner Frage: Mit der Schrödingergleichung kannst Du in Bezug auf ein gegebenes Problem mit Atomen so ziemlich alles ausrechnen, was sich naturwissenschaftlich ausrechnen lässt.

Gruß
Thomas

[Moritz_fe1b4f]

Hallo,

Ich habe mitbekommen dass die Gleichung mir angeben kann ob es
wahrscheinlich oder unwahrscheinlich ist dass sich ein
Elektron (kann man davon überhaupt noch sprechen?) im
Orbitalmodell an einer bestimmten Stelle befindet. Aber da
muss doch noch mehr sein?

Ja, da ist noch mehr. Die Schroedingergleichung beschreibt quasi die ganze nichtrelativistische Quantenmechanik.
Du steckst eine Beschreibung der Energien im System herein (im sogenannten Hamilton-Operator), und wenn du die Gleichung loest bekommst du die Wellenfunktionen als Funktion der Zeit. Daraus kannst du die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten und alle anderen interessanten Groessen ausrechnen.

Gruesse,
Moritz

[Paprika27]

Ah, ok. Danke euch beiden.

Wir hatten in der Partikelmechanik Teilchen die wir beschreiben konnten. Die Partikelmechanik ist aber nur für den makroskopischen Bereich verlässlich (verschmierte Zustände, Unschärferelation etc), deshalb die Quantentheorie. Jetzt gibt es keine Teilchen mehr. Was bleibt? Wellen. Also ist alles irgendwie Welle. Und diese Wellen beschreibt man nicht wie Teilchen sondern stattdessen mit Funktionen. Die Funktionen zur Beschreibung der Wellen nennt man kreativer Weise Wellenfunktionen. Und diese Wellenfunktionen sind Lösungen der Schrödingergleichung.

Habe ich das soweit richtig verstanden?

Danke nochmal
Gruss
Philipp (wenn man mich schon mit Nutzername ansprechen will xD)

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

Wir hatten in der Partikelmechanik Teilchen die wir
beschreiben konnten. Die Partikelmechanik ist aber nur für den
makroskopischen Bereich verlässlich (verschmierte Zustände,
Unschärferelation etc), deshalb die Quantentheorie. Jetzt gibt
es keine Teilchen mehr. Was bleibt? Wellen. Also ist alles
irgendwie Welle. Und diese Wellen beschreibt man nicht wie
Teilchen sondern stattdessen mit Funktionen. Die Funktionen
zur Beschreibung der Wellen nennt man kreativer Weise
Wellenfunktionen. Und diese Wellenfunktionen sind Lösungen der
Schrödingergleichung.

Habe ich das soweit richtig verstanden?

Ja, so kann man es sagen. Ein Spezialfall der Schrödingergleichung ist übrigens die zeitunabhängige Schrödingergleichung. Diese lässt sich ganz einfach schreiben:

Hψ = Eψ

Mathematisch ist das eine „Eigenwertgleichung“. Das bedeutet: H - der Hamilton-Operator - ist eine komplizierte Rechenforschrift, deren Gestalt von den physikalsichen Umständen abhängt, also z. B. von den Kraftfeldern, denen das Teilchen ausgesetzt ist. ψ ist die Wellenfunktion.

Man könnte diese Gleichung auch als Frage ausdrücken: „Für welche Wellenfunktion ψ ist die Anwendung des Hamilton-Operators gleichbedeutend mit der Multiplikation mit einer reellen Zahl E?“

Lösungen sind also nicht nur die Wellenfunktionen, sondern auch die zugehörigen Eigenwerte E.

Reden wir nicht lang um den heißen Brei herum: E sind die Energien. Damit ist geklärt, warum ein Elektron, das z. B. von einer positiven Ladung angezogen wird, nur bestimmte Enegiewerte annehmen kann und nichts dazwischen. Das ist der Grund, warum man sagt, die Energie sei „quantisiert“.

Michael

[Paprika27]

Hi

Ja, so kann man es sagen.

Spitze, danke für Eure Hilfe.

Man könnte diese Gleichung auch als Frage ausdrücken: „Für
welche Wellenfunktion ψ ist die Anwendung des
Hamilton-Operators gleichbedeutend mit der Multiplikation mit
einer reellen Zahl E?“

Und das kann man nur bei diesem Spezialfall?

Reden wir nicht lang um den heißen Brei herum: E sind die
Energien. Damit ist geklärt, warum ein Elektron, das z. B. von
einer positiven Ladung angezogen wird, nur bestimmte
Enegiewerte annehmen kann und nichts dazwischen. Das ist der
Grund, warum man sagt, die Energie sei „quantisiert“.

Ah, das kommt mir bekannt vor: Alle Energien sind ganzzahlige Vielfache eines Quants (wobei dessen Energie E=h*f ist, oder?). Hängt E dann irgendwie mit Hauptquantenzahlen wie man sie von Orbitalen kennt zusammen? Dann würde dieser Name endlich einen Sinn machen…

Vielen Dank Euch allen.

Gibt es irgendwelche Einschränkungen, irgendwelche Auflagen die Wellenfunktionen zu erfüllen haben? Was sind das für welche? Ist es denkbar dass man Wellenfunktionen erhält die diese Auflagen nicht erfüllen? Was dann?

Gruss
Philipp

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

Reden wir nicht lang um den heißen Brei herum: E sind die
Energien. Damit ist geklärt, warum ein Elektron, das z. B. von
einer positiven Ladung angezogen wird, nur bestimmte
Enegiewerte annehmen kann und nichts dazwischen. Das ist der
Grund, warum man sagt, die Energie sei „quantisiert“.

Ah, das kommt mir bekannt vor: Alle Energien sind ganzzahlige
Vielfache eines Quants (wobei dessen Energie E=h*f ist,
oder?). Hängt E dann irgendwie mit Hauptquantenzahlen wie man
sie von Orbitalen kennt zusammen? Dann würde dieser Name
endlich einen Sinn machen…

Hmm - hier wird es spannend!

E = hf bezeichnet die Energie eines Photons. Es entsteht, wenn ein Elektron von einem energetisch hohen Zustand in einen energetisch niedrigen Zustand fällt.

Die Energie von monochromatischer Strahlung ist ein ganzzaliges Vielfaches von E = hf - einfach, weil sie aus einer ganzen Zahl von Photonen besteht.

Diese Energie ist die Differenz zwischen den Enegieniveaus des Elektrons, also E = E2 - E1. Und E2 und E1 lassen sich nach der Schrödingergleichung berechnen. Du hast recht: Die Quantenzahlen hängen mit den Energien zusammen, die man - wie in meinem letzten Posting beschrieben - mit der Schrödingergleichung bestimmt.

Zum Beispiel kommt für das Wasserstoffatom raus, dass die Schrödingergleichung genau dann erfüllt ist, wenn

E_n = -R h /n²

Dabei ist h das Planckche Wirkungsquantum, R die Rydberg-Konstante (eigentlich nur eine Abkürzung für zahlreiche andere Naturkonstanten wie Elementarladung, Lichtgeschwindigkeit, usw.). n ist nichts anderes als die Hauptquantenzahl, die aus dem Atommodell kennst.

(Die anderen Quantenzahlen l, m und s spielen erst bei komplizierter gebauten Atomen eine Rolle.)

Gibt es irgendwelche Einschränkungen, irgendwelche Auflagen
die Wellenfunktionen zu erfüllen haben?

Die gibt es in der Tat, aber das gehört zur Lösungsstrategie der Schrödingergleichung. Zum Beispiel muss die Wellenfunktion „normierbar“ sein. Sie ist ja ein Maß für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens. Diese Aufenthaltswahrscheinlichkeit beträgt insgesamt - für den ganzen Raum - natürlich 1 bzw. 100%. Irgendwo muss das Elektron ja sein - und es gibt nur eins. Wellenfunktionen, die dieses Kriterium nicht erfüllen, ergeben keinen Sinn und scheiden daher aus.

Ist es denkbar dass man Wellenfunktionen erhält die
diese Auflagen nicht erfüllen? Was dann?

Nur bestimmte Funktionen erfüllen die Schrödingergleichung und deswegen sind für gebundene Elektronen auch nur bestimmte Zustände erlaubt. Für freie Elektronen gilt das übrigens nicht! Ein freies Elektron kann jeden beliebigen energetischen Zustand annehmen und „jede“ Wellenfunktion ist eine Lösung der Schrödingergleichung.

Du hast noch gefragt, inwiefern die zeitunabhängige Schrödingergleichng ein Spezialfall ist. Es ist ein bisschen wie mit der Bewegug eines Seils. Wenn das Seil unendlich lang ausgedehnt ist und man schickt eine Welle durch das lange Seil, indem man daran zupft und zerrt, so ist die Beschreibung der Welle zeitabhängig und relativ kompliziert. Spannt man das Seil aber auf beiden Seiten fest ein, so bildet sich (nach einem kurzen Einschwingvorgang) zwischen den Bünden eine stehende Welle aus, die zeitlich unveränderlich ist. Das ist mathematisch viel einfacher zu beschreiben. Auch die eingespannte Saite lässt nur bestimmte stehende Welle zu (den Grundton, die Oktave, dazu die Quinte, … sprich alle Obertöne), während das „freie“ Seil praktisch alle Formen von Wellen zulässt.

Michael

[Paprika27]

Hallo!

Das ist ja alles hochinteressant! Ich bin voll im Quantenmechanikfieber xD

E = hf bezeichnet die Energie eines Photons. Es entsteht, wenn
ein Elektron von einem energetisch hohen Zustand in einen
energetisch niedrigen Zustand fällt.

Ich merke dass Du bewusst Photon anstatt Quant benutzt. Das verwirrt mich ein wenig. Ich dachte dass ‚Photon‘ nur eine Bezeichnung für ein Quant(um) Licht sei? Implizierst Du dass andere Quanten von was anderem als der Frequenz abhängen?

Diese Energie ist die Differenz zwischen den Enegieniveaus des
Elektrons, also E = E2 - E1. Und E2 und E1 lassen sich nach
der Schrödingergleichung berechnen. Du hast recht: Die
Quantenzahlen hängen mit den Energien zusammen, die man - wie
in meinem letzten Posting beschrieben - mit der
Schrödingergleichung bestimmt.

Nehmen wir ein Elektron auf dem 1s-Orbital. Dann ist dessen potentielle Energie (um die geht es doch, oder?) genau einmal die Energie die man mit der Schrödingergleichung gefunden hat. Und ein Elektron auf dem 7d-Orbital hätte dann 7 mal diese Energie, richtig?

Zum Beispiel kommt für das Wasserstoffatom raus, dass die
Schrödingergleichung genau dann erfüllt ist, wenn

E_n = -R h /n²

Dabei ist h das Planckche Wirkungsquantum, R die
Rydberg-Konstante (eigentlich nur eine Abkürzung für
zahlreiche andere Naturkonstanten wie Elementarladung,
Lichtgeschwindigkeit, usw.). n ist nichts anderes als die
Hauptquantenzahl, die aus dem Atommodell kennst.

Und E_n ist immer ein ganzzahliges Vielfaches von E_1 wenn ich dich richtig verstanden habe.

Gibt es irgendwelche Einschränkungen, irgendwelche Auflagen
die Wellenfunktionen zu erfüllen haben?

Die gibt es in der Tat, aber das gehört zur Lösungsstrategie
der Schrödingergleichung. Zum Beispiel muss die Wellenfunktion
„normierbar“ sein. Sie ist ja ein Maß für die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens. Diese
Aufenthaltswahrscheinlichkeit beträgt insgesamt - für den
ganzen Raum - natürlich 1 bzw. 100%. Irgendwo muss das
Elektron ja sein - und es gibt nur eins. Wellenfunktionen, die
dieses Kriterium nicht erfüllen, ergeben keinen Sinn und
scheiden daher aus.

Die Lösungsstrategie deren Bedingung die Normierbarkeit der SG ist nennt man Kopenhagener Deutung, oder wie würdest Du das formulieren? Ist Teil der Kopenhagener Deutung? Was gibt es denn dann noch für Lösungsstrategien nach der Kopenhagener Deutung?
Ich glaube soweit verstanden zu haben dass die Kopenhagener Deutung ‚besagt‘ (kann eine Deutung überhaupt besagen? mir fehlt da ein wenig Übung im Umgang mit diesem Vokabular… ich bitte um Entschuldigung falls ich Augenkrämpfe verursache und bitte um Berichtigung), dass es durchaus mehrere Orte geben kann für die die SG != 0 ist und damit der Aufenthalt eines Elektrons an diesem Ort mehr oder minder wahrscheinlich ist und dass man nur durch Messung Gewissheit erlangen kann. Misst man dann wo sich das Elektron aufhält (wobei man nach Heisenberg den Impuls nicht mitmessen kann wenn ich mich recht erinnere) ‚kollabieren‘ die anderen Lösungen der SG was für’s Weiterrechnen hilfreich sein dürfte.

Ist es denkbar dass man Wellenfunktionen erhält die
diese Auflagen nicht erfüllen? Was dann?

Nur bestimmte Funktionen erfüllen die Schrödingergleichung und
deswegen sind für gebundene Elektronen auch nur bestimmte
Zustände erlaubt. Für freie Elektronen gilt das übrigens
nicht! Ein freies Elektron kann jeden beliebigen energetischen
Zustand annehmen und „jede“ Wellenfunktion ist eine Lösung der
Schrödingergleichung.

Um mich weiter im Rahmen der Kopenhagener Deutung zu bewegen: Für freie Elektronen ist die SG generell normierbar? Die bestimmten Zustände für gebundene Elektronen sind die Vielfachen von E_1? Oder gehört zum Zustand mehr als der Eigenwert?

Du hast noch gefragt, inwiefern die zeitunabhängige
Schrödingergleichng ein Spezialfall ist. Es ist ein bisschen
wie mit der Bewegug eines Seils. Wenn das Seil unendlich lang
ausgedehnt ist und man schickt eine Welle durch das lange
Seil, indem man daran zupft und zerrt, so ist die Beschreibung
der Welle zeitabhängig und relativ kompliziert. Spannt man das
Seil aber auf beiden Seiten fest ein, so bildet sich (nach
einem kurzen Einschwingvorgang) zwischen den Bünden eine
stehende Welle aus, die zeitlich unveränderlich ist. Das ist
mathematisch viel einfacher zu beschreiben. Auch die
eingespannte Saite lässt nur bestimmte stehende Welle zu (den
Grundton, die Oktave, dazu die Quinte, … sprich alle
Obertöne), während das „freie“ Seil praktisch alle Formen von
Wellen zulässt.

Was bedeutet dass jetzt auf mikroskopischer Ebene? dass Elektronen als statisch zu behandeln die Rechnung vereinfacht?

Vielen vielen Dank für Deine Hilfe, Michael!
Ich find das alles echt interessant und du bist ein sehr guter Erklärer

Gruss
Philipp

[Michael_Bauer_c1319c]

Hui, das wird jetzt etwas länger, aber …

Das ist ja alles hochinteressant! Ich bin voll im
Quantenmechanikfieber xD

… das freut mich.

Ich merke dass Du bewusst Photon anstatt Quant benutzt. Das
verwirrt mich ein wenig. Ich dachte dass ‚Photon‘ nur eine
Bezeichnung für ein Quant(um) Licht sei? Implizierst Du dass
andere Quanten von was anderem als der Frequenz abhängen?

Ich habe vor allem „Photon“ verwendet, weil das Zählen von Quanten sich hier stets auf Strahlung bezieht. Ich hatte versucht klar zu machen, dass es bei den gebundenen Elektronen anders funktioniert. Das Wort „Quant“ ist etwas unpräzise, denn in der Quantenphysik ist viel quantisiert, und immer meint man was völlig anderes damit. Aber Lichtquanten sind genau dasselbe wie Photonen.

Nehmen wir ein Elektron auf dem 1s-Orbital. Dann ist dessen
potentielle Energie (um die geht es doch, oder?) genau einmal
die Energie die man mit der Schrödingergleichung gefunden hat.
Und ein Elektron auf dem 7d-Orbital hätte dann 7 mal diese
Energie, richtig?

Nein, denn die Energie berechnet sich nicht so, wie Du denkst, sondern so:

Zum Beispiel kommt für das Wasserstoffatom raus, dass die
Schrödingergleichung genau dann erfüllt ist, wenn

E_n = -R h /n²

n steht hier quadratisch im Nenner. Der Grundzustand des Wasserstoffatoms hat eine Energie von -13,6eV. Der erste angeregte Zustand (n=2) hat daher die Energie

(-13,6eV) * 1/(2²) = -3,4eV

Der nächsthöhere (n=3)

(-13,6eV) * 1/(3²) = -1,5eV

usw.

Erst einmal fällt auf, dass die Energien alle negativ sind. Das ist reine Konvention. Man hat definiert, dass ein Proton und ein Elektron eine Energie von 0 haben. Wenn sie sich zu einem Atom verbinden, wird die Energie 13,6eV freigesetzt, also hat das gebundene Elektron eine Energie von MINUS 13,6eV.

Die Energie der Strahlungsquanten ist dann

ΔE<sub>21>/sub> = (-3,4eV) - (-13,6eV) = 10,2eV
ΔE32>/sub> = (-1,5eV) - (-3,4eV) = 2,1eV
ΔE31>/sub> = (-1,5eV) - (-13,6eV) = 12,1eV

Das sind die Energien, die bei Strahlungsübergängen frei gesetzt werden. Du kannst nun mittels bekannter Formeln leicht ausrechnen, dass die Übergänge 2 -> 1 und 3 -> 1 jeweils ultraviolettes Licht beinhalten, während der Übergang 3 -> 2 mit etwa 400nm gerade am Rand des sichtbaren Lichts ist. Im Wasserstoffspektrum erzeugt dieser Übergang eine dunkelviolette Linie.

Es ist also nicht so, wie von Dir behauptet, dass sich die Übergänge zueinander verhalten wie die ganzen Zahlen, sondern wie die reziproken Quadrate der ganzen Zahlen (wenn man es schon in Klartext ausdrücken will…)</sub>

Die Lösungsstrategie deren Bedingung die Normierbarkeit der SG
ist nennt man Kopenhagener Deutung, oder wie würdest Du das
formulieren? Ist Teil der Kopenhagener Deutung? Was gibt es
denn dann noch für Lösungsstrategien nach der Kopenhagener
Deutung?

Ich habe hier den Sprachgebrauch der Kopenhagener Deutung verwendet. Aber das ist nicht die Kopenhagener Deutung. Auch in anderen Deutungsversuchen muss die Wellenfunktion normierbar sein, nur würde man den Grund dafür anders beschreiben.

Ich glaube soweit verstanden zu haben dass die Kopenhagener
Deutung 'besagt' (kann eine Deutung überhaupt besagen? mir
fehlt da ein wenig Übung im Umgang mit diesem Vokabular... ich
bitte um Entschuldigung falls ich Augenkrämpfe verursache und
bitte um Berichtigung), dass es durchaus mehrere Orte geben
kann für die die SG != 0 ist und damit der Aufenthalt eines
Elektrons an diesem Ort mehr oder minder wahrscheinlich ist
und dass man nur durch Messung Gewissheit erlangen kann. Misst
man dann wo sich das Elektron aufhält (wobei man nach
Heisenberg den Impuls nicht mitmessen kann wenn ich mich recht
erinnere) 'kollabieren' die anderen Lösungen der SG was für's
Weiterrechnen hilfreich sein dürfte.

Jiiiiaah … naja. Nehmen wir mal das 2p-Orbital. Dieses ist dreifach entartet, d. h. alle drei Orbitale haben dieselbe Energie. Man kann nun durch eine einfache Messung feststellen, in welchem der drei p-Orbitale sich das Elektron befindet. In dem Moment, indem man dies tut, hat man absolute Gewissheit, in welchem Zustand das Elektron ist, obwohl man vorher nur Wahrscheinlichkeiten angeben konnte. Der Letzte Satz bei Dir passt aber nicht: Das ist nicht hilfreich fürs Weiterrechnen, weil man danach gar nicht mehr weiterrechnen kann. Man muss nach dem Messvorgang mit neuen Anfangsbedingungen wieder von vorne anfangen mit rechnen.

Um mich weiter im Rahmen der Kopenhagener Deutung zu bewegen:
Für freie Elektronen ist die SG generell normierbar?

Die Schrödinger-Gleichung ist ja nicht normierbar, sondern ihre Lösungen. Und darin steckt die Heisenbergsche Unschärferelation: Wenn ich den Impuls eines Teilchens genau kenne, dann bedeutet das, dass ich die Frequenz und die de Broglie-Wellenlänge des Teilchens exakt kenne. Das ist mathematisch aber nur bei reinen Sinuswellen möglich. Eine Sinuswelle hat keinen Anfang und kein Ende. Wenn ich versuche, sie zu normieren, dann strebt die Amplitude gegen Null (denn das Integral über das Betragsquadrat von minus bis plus Unendlich muss 1 sein). Eine Amplitude von 0 bedeutet aber, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte an jedem Ort gleich ist, und zwar verschwindend gering. Mit anderen Worten: Wenn ich den Impuls eines Teilchens genau kenne, dann habe ich keine Information darüber, wo es ist, bzw. dort, wo ich nachschaue, ist es mit ziemlicher Sicherheit nicht!

Du hast noch gefragt, inwiefern die zeitunabhängige
Schrödingergleichng ein Spezialfall ist. Es ist ein bisschen
wie mit der Bewegug eines Seils. Wenn das Seil unendlich lang
ausgedehnt ist und man schickt eine Welle durch das lange
Seil, indem man daran zupft und zerrt, so ist die Beschreibung
der Welle zeitabhängig und relativ kompliziert. Spannt man das
Seil aber auf beiden Seiten fest ein, so bildet sich (nach
einem kurzen Einschwingvorgang) zwischen den Bünden eine
stehende Welle aus, die zeitlich unveränderlich ist. Das ist
mathematisch viel einfacher zu beschreiben. Auch die
eingespannte Saite lässt nur bestimmte stehende Welle zu (den
Grundton, die Oktave, dazu die Quinte, ... sprich alle
Obertöne), während das "freie" Seil praktisch alle Formen von
Wellen zulässt.

Was bedeutet dass jetzt auf mikroskopischer Ebene? dass
Elektronen als statisch zu behandeln die Rechnung vereinfacht?

Absolut! Hier ging es ja um gebundene Elektronen. Du kennst bestimmt diese Bildchen von Orbitalen, diese Keulen, Kugeln, Hanteln, … Das sind nichts anderes als stehende Wellen, so wie die Saitenschwingung ebenfalls stehende Wellen ausbildet. Nur ist das Atom halt nicht ein- sondern dreidimensinal und es gibt keinen festen Rand, sondern ein anziehendes Zentrum, aber ansonsten ist es genau dasselbe!

Vielen vielen Dank für Deine Hilfe, Michael!
Ich find das alles echt interessant und du bist ein sehr guter
Erklärer :smile:

Danke! (… aber Du bist auch ein sehr guter Fragensteller!)

Michael

[Michael_Bauer_c1319c]

Sorry, das hier …

Die Energie der Strahlungsquanten ist dann

ΔE21>/sub> = (-3,4eV) - (-13,6eV) = 10,2eV
ΔE32>/sub> = (-1,5eV) - (-3,4eV) = 2,1eV
ΔE31>/sub> = (-1,5eV) - (-13,6eV) = 12,1eV

… sollte natürlich so aussehen:

Die Energie der Strahlungsquanten ist dann

ΔE₂₁ = (-3,4eV) - (-13,6eV) = 10,2eV
ΔE₃₂ = (-1,5eV) - (-3,4eV) = 2,1eV
ΔE₃₁ = (-1,5eV) - (-13,6eV) = 12,1eV

[Paprika27]

dacht ich mir

[Michael_Bauer_c1319c]

Das sind die Energien, die bei Strahlungsübergängen frei
gesetzt werden. Du kannst nun mittels bekannter Formeln leicht
ausrechnen, dass die Übergänge 2 -> 1 und 3 -> 1 jeweils
ultraviolettes Licht beinhalten, während der Übergang 3 -> 2
mit etwa 400nm gerade am Rand des sichtbaren Lichts ist. Im
Wasserstoffspektrum erzeugt dieser Übergang eine
dunkelviolette Linie.

Ooops, hätte ich das mal besser nachgerechnet! Der Übergang hat nicht eine Wellenlänge von 400 nm, sondern von 656 nm. (Zum einen war ich zu blöd zum Kopfrechnen: Die Energiedifferenz beträgt natürlich nicht 2,1eV sondern nur 1,9eV). Zum anderen ist es natürlich nicht die kurzwelligste, sondern die langwelligste Linie der so genannten Balmer-Serie. Also ist sie auch nicht violett, sondern orange. Ich bitte, diese Schlampigkeit zu entschuldigen.

Michael

[Paprika27]

Hui, das wird jetzt etwas länger, aber …

ich les’ es gern

Ich merke dass Du bewusst Photon anstatt Quant benutzt. Das
verwirrt mich ein wenig. Ich dachte dass ‚Photon‘ nur eine
Bezeichnung für ein Quant(um) Licht sei? Implizierst Du dass
andere Quanten von was anderem als der Frequenz abhängen?

Ich habe vor allem „Photon“ verwendet, weil das Zählen von
Quanten sich hier stets auf Strahlung bezieht. Ich hatte
versucht klar zu machen, dass es bei den gebundenen Elektronen
anders funktioniert. Das Wort „Quant“ ist etwas unpräzise,
denn in der Quantenphysik ist viel quantisiert, und immer
meint man was völlig anderes damit. Aber Lichtquanten sind
genau dasselbe wie Photonen.

Jetzt kratzt mich das aber doch. Ein Photon hat doch die Energie E=h*f, oder nicht? Demnach hat Licht (eigentlich el.mag.Strahlung allgemein) verschiedener Frequenz verschieden ‚energische‘ Photonen (womit Regenbogen, Spektralanalyse, roter Sonnenuntergang und blauer Himmel erklärt werden können). In der Quantenmechanik ist ja jetzt alles quantisiert. Also auch Elektronen. Ist bei denen die Frequenz die der Elektronenwellen nach de Broglie? Wenn jetzt meine Elektronenwelle eine stehende Welle ist, steht die dann? Was ist dann deren Frequenz? die Frequenz könnt ich mir aus der Winkelgeschwindigkeit nehmen… Macht man das oder gibt es da noch einen anderen Weg?

Nehmen wir ein Elektron auf dem 1s-Orbital. Dann ist dessen
potentielle Energie (um die geht es doch, oder?) genau einmal
die Energie die man mit der Schrödingergleichung gefunden hat.
Und ein Elektron auf dem 7d-Orbital hätte dann 7 mal diese
Energie, richtig?

Nein, denn die Energie berechnet sich nicht so, wie Du denkst,
sondern so:

Zum Beispiel kommt für das Wasserstoffatom raus, dass die
Schrödingergleichung genau dann erfüllt ist, wenn

E_n = -R h /n²

n steht hier quadratisch im Nenner.

-.-’
wie peinlich… ja, jetzt seh ich’s. Danke

Erst einmal fällt auf, dass die Energien alle negativ sind.
Das ist reine Konvention. Man hat definiert, dass ein Proton
und ein Elektron eine Energie von 0 haben.

ist das schon die Antwort auf meine oben gestellte Frage?

Die Energie der Strahlungsquanten ist dann

ΔE<sub>21>/sub> = (-3,4eV) - (-13,6eV) = 10,2eV
ΔE32>/sub> = (-1,5eV) - (-3,4eV) = 2,1eV
ΔE31>/sub> = (-1,5eV) - (-13,6eV) = 12,1eV

Das sind die Energien, die bei Strahlungsübergängen frei
gesetzt werden. Du kannst nun mittels bekannter Formeln leicht
ausrechnen, dass die Übergänge 2 -> 1 und 3 -> 1 jeweils
ultraviolettes Licht beinhalten, während der Übergang 3 -> 2
mit etwa 400nm gerade am Rand des sichtbaren Lichts ist. Im
Wasserstoffspektrum erzeugt dieser Übergang eine
dunkelviolette Linie.</sub>

Das find ich ja ein heißes Thema. Man kann jetzt also erklären bzw. ausrechnen welche Farblinien bei der Spektralanalyse zu sehen sind… genial. Warum sparen die lieben Lehrer so nützliche Informationen bis zum Studium auf?

Es ist also nicht so, wie von Dir behauptet, dass sich die
Übergänge zueinander verhalten wie die ganzen Zahlen, sondern
wie die reziproken Quadrate der ganzen Zahlen (wenn man es
schon in Klartext ausdrücken will…)

ja ::

Die Lösungsstrategie deren Bedingung die Normierbarkeit der SG
ist nennt man Kopenhagener Deutung, oder wie würdest Du das
formulieren? Ist Teil der Kopenhagener Deutung? Was gibt es
denn dann noch für Lösungsstrategien nach der Kopenhagener
Deutung?

Ich habe hier den Sprachgebrauch der Kopenhagener Deutung
verwendet. Aber das ist nicht die Kopenhagener Deutung. Auch
in anderen Deutungsversuchen muss die Wellenfunktion
normierbar sein, nur würde man den Grund dafür anders
beschreiben.

Oh, na gut.
Da ich jetzt ‚Kopenhagener Deutung‘ aufgeschnappt habe werde ich Dich nach Recherche ein wenig mit Fragen dazu bombardieren

Jiiiiaah … naja. Nehmen wir mal das 2p-Orbital. Dieses ist
dreifach entartet, d. h. alle drei Orbitale haben dieselbe
Energie. Man kann nun durch eine einfache Messung feststellen,
in welchem der drei p-Orbitale sich das Elektron befindet. In
dem Moment, indem man dies tut, hat man absolute Gewissheit,
in welchem Zustand das Elektron ist, obwohl man vorher nur
Wahrscheinlichkeiten angeben konnte.

damit ich meine Gedanken nochmal besser ordnen kann:
Ein Elektron kann an mehreren Orten (mehr oder weniger) ‚wahrscheinlich‘ sein.
Nehmen wir 2p^3. nach Hund müsste jedes Orbital einfach besetzt sein. Bis ich messe weiß ich noch nicht welches Elektron ‚mein Elektron‘ ist. Sobald ich gemessen habe scheiden alle Lösungen (klar, nicht die SGs selbst) außer der für den gemessenen Zustand aus; sie ‚kollabieren‘. Soweit so gut?

Der Letzte Satz bei Dir
passt aber nicht: Das ist nicht hilfreich fürs Weiterrechnen,
weil man danach gar nicht mehr weiterrechnen kann. Man muss
nach dem Messvorgang mit neuen Anfangsbedingungen wieder von
vorne anfangen mit rechnen.

Oo Das mit dem Weiterrechnen hab ich übrigens von hier: http://www.quantenwelt.de/quantenmechanik/wellenfunk… letzter Satz des zweiten Absatzes.

Um mich weiter im Rahmen der Kopenhagener Deutung zu bewegen:
Für freie Elektronen ist die SG generell normierbar?

Die Schrödinger-Gleichung ist ja nicht normierbar, sondern
ihre Lösungen. Und darin steckt die Heisenbergsche
Unschärferelation: Wenn ich den Impuls eines Teilchens genau
kenne, dann bedeutet das, dass ich die Frequenz und die de
Broglie-Wellenlänge des Teilchens exakt kenne. Das ist
mathematisch aber nur bei reinen Sinuswellen möglich. Eine
Sinuswelle hat keinen Anfang und kein Ende. Wenn ich versuche,
sie zu normieren, dann strebt die Amplitude gegen Null (denn
das Integral über das Betragsquadrat von minus bis plus
Unendlich muss 1 sein). Eine Amplitude von 0 bedeutet aber,
dass die Wahrscheinlichkeitsdichte an jedem Ort gleich ist,
und zwar verschwindend gering. Mit anderen Worten: Wenn ich
den Impuls eines Teilchens genau kenne, dann habe ich keine
Information darüber, wo es ist, bzw. dort, wo ich nachschaue,
ist es mit ziemlicher Sicherheit nicht!
D

das mit dem normieren ist mir neu. Ich dachte ‚Normierbarkeit‘ sei eine Eigenschaft einer Wellenfunktion, nämlich dass das Integral überm Betragsquadrat 1 ist. Meint ‚normieren‘ einfach dies zu überprüfen?
Nur um zu sehen ob ich dir folgen konnte: Wenn ich den Impuls rausbekäme, müsste meine Wellenfunktion sin(x) (evt in leicht modifizierter Form) sein. Wenn ich das von x=0 bis x=+inf. integriere bekomme ich mit Sicherheit irgendetwas über 1
Und das hängt mit einer Amplitude (der der Wahrscheinlichkeitsdichte?) zusammen. Deren Grenzwert geht dann gegen 0 für rechte Intervallgrenze gegen +inf.
Wenn sie gegen 0 geht je genauer wir hinschauen (je größer wir unser Intervall wählen) ist sie konstant und annähernd 0. Das bedeutet die Wahrscheinlichkeitsdichte ist so gering dass wir wahrscheinlich eine Wahrscheinlichkeit von annähernd 0 haben und deshalb wahrscheinlich nirgends unser Elektron

Du hast noch gefragt, inwiefern die zeitunabhängige
Schrödingergleichng ein Spezialfall ist. Es ist ein bisschen
wie mit der Bewegug eines Seils. Wenn das Seil unendlich lang
ausgedehnt ist und man schickt eine Welle durch das lange
Seil, indem man daran zupft und zerrt, so ist die Beschreibung
der Welle zeitabhängig und relativ kompliziert. Spannt man das
Seil aber auf beiden Seiten fest ein, so bildet sich (nach
einem kurzen Einschwingvorgang) zwischen den Bünden eine
stehende Welle aus, die zeitlich unveränderlich ist. Das ist
mathematisch viel einfacher zu beschreiben. Auch die
eingespannte Saite lässt nur bestimmte stehende Welle zu (den
Grundton, die Oktave, dazu die Quinte, … sprich alle
Obertöne), während das „freie“ Seil praktisch alle Formen von
Wellen zulässt.

Was bedeutet das jetzt auf mikroskopischer Ebene? dass
Elektronen als statisch zu behandeln die Rechnung vereinfacht?

Absolut! Hier ging es ja um gebundene Elektronen. Du
kennst bestimmt diese Bildchen von Orbitalen, diese Keulen,
Kugeln, Hanteln, … Das sind nichts anderes als stehende
Wellen, so wie die Saitenschwingung ebenfalls stehende Wellen
ausbildet. Nur ist das Atom halt nicht ein- sondern
dreidimensinal und es gibt keinen festen Rand, sondern ein
anziehendes Zentrum, aber ansonsten ist es genau dasselbe!

Ja, die kenn ich! Ich dachte diese Gebilde seien Wolken. Wolken von kleinen Punkten an denen sich ein Elektron wahrscheinlich befindet. Viele der Punkte auf (eigentlich ‚in‘ da wir ja räumlich denken) engem Raum sind dann eine hohe Wahrscheinlichkeitsdichte. Also Elektronenaufenthaltswahrscheinlichkeitswolken die genau wie richtige Wolken kein klares Ende, keinen scharfen Umriss haben ;D
Aber ich kann mir vorstellen dass es Funktionen gibt die solche Wolken beschreiben.

Danke! (… aber Du bist auch ein sehr guter Fragensteller!)

Na, das Lob nehm ich gerne an!

Sei gewarnt dass ich mich morgen mit Deutungen und allgemeinen Lösungen beschäftigen will (was wiederum viele Fragen aufwerfen wird)

Vielen Dank dass Du mir Deine Zeit opferst.
Ich weiß es wirklich zu schätzen.

Gruss
Philipp

[Paprika27]

Hi

Zum Beispiel kommt für das Wasserstoffatom raus, dass die
Schrödingergleichung genau dann erfüllt ist, wenn

E_n = -R h /n²

Das ist jetzt eine Wellenfunktion für ein gebundenes Elektron im Wasserstoffatom in einem Orbital mit der Hauptquantenzahl n, oder?

Hψ = Eψ | -Eψ (wär ja Schwachsinn ψ wegzukürzen)
ψ(H-E) = 0
… wie geht’s jetzt weiter? wenn das zu kompliziert würde geb ich mich auch mit „weil ich das so ausgerechnet habe“ zufrieden

Gruss
Philipp

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

Ich habe vor allem „Photon“ verwendet, weil das Zählen von
Quanten sich hier stets auf Strahlung bezieht. Ich hatte
versucht klar zu machen, dass es bei den gebundenen Elektronen
anders funktioniert. Das Wort „Quant“ ist etwas unpräzise,
denn in der Quantenphysik ist viel quantisiert, und immer
meint man was völlig anderes damit. Aber Lichtquanten sind
genau dasselbe wie Photonen.

Jetzt kratzt mich das aber doch. Ein Photon hat doch die
Energie E=h*f, oder nicht? Demnach hat Licht (eigentlich
el.mag.Strahlung allgemein) verschiedener Frequenz verschieden
‚energische‘ Photonen (womit Regenbogen, Spektralanalyse,
roter Sonnenuntergang und blauer Himmel erklärt werden
können). In der Quantenmechanik ist ja jetzt alles
quantisiert. Also auch Elektronen.

Das ist zu unpräzise. Richtiger wäre: Die Energie der Elektronen ist quantisiert. Das gilt dann aber auch nur für die Energie von gebundenen Elektronen.

(Außerdem sind auch noch viele andere Eigenschaften es Elektrons quantisiert, aber auf völlig verschiedene Weise)

Ist bei denen die Frequenz
die der Elektronenwellen nach de Broglie?

Bei freien Elektronen ja. Bei gebundenen Elektronen kann man diesen Begriff nicht direkt anwenden.

Wenn jetzt meine
Elektronenwelle eine stehende Welle ist, steht die dann? Was
ist dann deren Frequenz?

Weißt Du, was eine „Stehende Welle“ ist? Stehende Wellen entstehen immer dann, wenn sich eine Welle z. B. nach einer Reflexion mit sich selbst überlagert. Das anschaulichste Beispiel ist eine schwingende Saite. Wenn man sie im Grundton zum Schwingen anregt, ist die maximale Auslenkung immer in der Mitte. Der Wellenberg scheint sich nicht zu bewegen. Die Welle (in diesem Fall ist es nur eine Halbwelle) schwingt also nur auf und ab, ohne sich von der Stelle zu rühren. Das ist eine stehende Welle.

Die Orbitale im Atom sind ebenfalls stehende Welen, nur halt dreidimensional. Der Grundzustand (n=1) ist eine Kugel. Der erste „Oberton“, d. h. der erste angeregte Zustand (n=2) Muss eine Welle sein, die einen Knoten hat (so wie die Saite, die in der Mitte festgehalten wird und nur links und rechts davon auf und ab schwingt). Dieser „Knoten“ ist - weil wir im dreidimensionalen Raum sin - nicht ein Punkt, sondern eine zweidimensionale Fläche. Es handelt sich dabei entweder um eine Kugel um den Koordinatenursprung (2s) oder um die xy-, die xz- oder die yz-Ebene (2p, daher dreifach entartet). Du fragtest nach der Frequenz der Schwingung. Diese beträgt f = E/h (also wie in der Planckschen Formel).

Das find ich ja ein heißes Thema. Man kann jetzt also erklären
bzw. ausrechnen welche Farblinien bei der Spektralanalyse zu
sehen sind… genial. Warum sparen die lieben Lehrer so
nützliche Informationen bis zum Studium auf?

Weil die Lösung der Schrödingergleichung sehr weit über das mathematische Können selbst von Abiturienten hinaus geht! (Aber man versucht ja, sich irgendwie ranzutasten). Das ist ein heißes Thema, das stimmt. Und in der Ausbildung eines Physikers nimmt die Frage: „Wie lassen sich die Absorbtions- und Emissionslinien eines Atoms messen, erklären und brechnen?“ mehr Stellenwert ein, als all die Teilbereiche der Physik, die man von der Schule kennt.

Jiiiiaah … naja. Nehmen wir mal das 2p-Orbital. Dieses ist
dreifach entartet, d. h. alle drei Orbitale haben dieselbe
Energie. Man kann nun durch eine einfache Messung feststellen,
in welchem der drei p-Orbitale sich das Elektron befindet. In
dem Moment, indem man dies tut, hat man absolute Gewissheit,
in welchem Zustand das Elektron ist, obwohl man vorher nur
Wahrscheinlichkeiten angeben konnte.

damit ich meine Gedanken nochmal besser ordnen kann:
Ein Elektron kann an mehreren Orten (mehr oder weniger)
‚wahrscheinlich‘ sein.

richtig.

Nehmen wir 2p^3. nach Hund müsste jedes Orbital einfach
besetzt sein.

Wenn wir über das Stickstoffatom reden: ja.

Bis ich messe weiß ich noch nicht welches
Elektron ‚mein Elektron‘ ist.

Nein. Elektronen sind „ununterscheidbare Teilchen“ (das ist ein wichtiger Begriff in der Quantenmechanik). Es macht also überhaupt keinen Unterschied, welches „Dein“ Elektron ist.

Vielmehr ist es so, dass beim Aluminium nur eines der 2p-Orbitale besetzt ist, und zwar von einem Elektron. Dabei ist es völlig zufällig, welches der drei p-Orbitale besetzt ist. (Das hört sich stark nach Chemiker-Chinesisch an. Physiker würden wohl eher sagen: „Es ist gleich wahrscheinlich, dass die z-Komponente des Bahndrehimpulses des Elektrons -1, 0 oder +1 beträgt.“ Damit meinen sie genau dasselbe).

Sobald ich gemessen habe
scheiden alle Lösungen (klar, nicht die SGs selbst) außer der
für den gemessenen Zustand aus; sie ‚kollabieren‘. Soweit so
gut?

Hier stimmte es wieder.

Oo Das mit dem Weiterrechnen hab ich übrigens von hier:
http://www.quantenwelt.de/quantenmechanik/wellenfunk…
letzter Satz des zweiten Absatzes.

Vermutlich ist es dort so gemeint, dass nach der Messung die neuen Anfangsbedingungen feststehen, und dadurch die Rechnung einfacher wird. Das habe ich ja auch nicht bestritten. Ich wollte sagen, dass man im Vorhinein ja gerade nicht weiß, in welcher Weise die Wellenfunktion kollabieren wird. Die Ahnung, dass es geschehen wird, hilft einem gar nicht weiter.

das mit dem normieren ist mir neu. Ich dachte ‚Normierbarkeit‘
sei eine Eigenschaft einer Wellenfunktion, nämlich dass das
Integral überm Betragsquadrat 1 ist. Meint ‚normieren‘ einfach
dies zu überprüfen?

Wenn Du die Schrödingergleichung löst, erhältst Du Funktionen (die sogenannten Wellenfunktionen), die sich durch verschiedene Parameter unterscheiden. Es gibt Funktionen, die normierbar sind, und solche, die es nicht sind. Bei ersteren ist das Integral über das Betragsquadrat endlich, bei letzteren „unendlich“. Wenn die Funktion normierbar ist, dann kann ich die Parameter immer so wählen, dass dieses Integral genau den Wert 1 hat. Das Überprüfen der Normierbarkeit ist die eine Sache. Da Wahl der richtigen Parameter, eine andere, und diesen Vorgang nennt man eben „normieren“.

Nur um zu sehen ob ich dir folgen konnte: Wenn ich den Impuls
rausbekäme, müsste meine Wellenfunktion sin(x) (evt in leicht
modifizierter Form) sein.

Sie würde so lauten:

ψ(x,t) = A * e^{-2πi/h((Et - px) + phi;/2π)}

Wenn Du Dich mit komplexen Zahlen nicht auskennst, so lautet der Realteil davon:

Re(ψ(x,t)) = A * cos (-2π/h((Et - px) + phi;/2&pi);

x und t sind die Orts- und Zeitkoordinate, A die Amplitude, h („h-quer“), das reduzierte Plancksche Wikrungsquantum, E die Energie und p der Impuls. Da p bekannt ist, und E = p²/2m, sind nur die Amplitude A und der Phasenwinkel φ wählbar.

Wenn ich das von x=0 bis x=+inf.
integriere bekomme ich mit Sicherheit irgendetwas über 1
Und das hängt mit einer Amplitude (der der
Wahrscheinlichkeitsdichte?) zusammen.

Vor dem Integrieren müsstest Du das Betragsquadrat bilden, also korrekt

∫|ψ(x,t)|²dx von -∞ bis +∞

Deren Grenzwert geht
dann gegen 0 für rechte Intervallgrenze gegen +inf.
Wenn sie gegen 0 geht je genauer wir hinschauen (je größer wir
unser Intervall wählen) ist sie konstant und annähernd 0. Das
bedeutet die Wahrscheinlichkeitsdichte ist so gering dass wir
wahrscheinlich eine Wahrscheinlichkeit von annähernd 0 haben
und deshalb wahrscheinlich nirgends unser Elektron

Moment, Moment. Das oben genannte Integral ist proportional zur Amplitude A, und leider außerdem unendlich. Es wird nur dann endlich bzw. erreicht nur dann den Wert 1, wenn A gegen Null strebt. Damit ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte überall annähernd Null.

Der Normalfall ist natürlich nicht dieser Grenzfall, sondern ein Fall, wo der Impuls nur mit einer gewissen Ungenauigkeit bekannt ist. In diesem Fall setzt sich dann die Ortsfunktion nicht mehr nur aus einer Sinus (bzw. Kosinus) Welle zusammen, sondern aus sehr vielen, jeweils unterschiedlicher Frequenz und Amplitude. Die Überlagerung von all diesen Wellenfunktionen ergibt so etwas ähnliches wie eine Gaußkurve. Da diese Funktion für große positive und negative Werte von x gegen Null strebt, ist das Integral über das Betragsquadrat endlich. In diesem Fall können die Amplituden so gewählt werden, dass das Integral genau 1 ist. Die Ortsunschärfe ist dann durch die Breite der Glockenkurve gegeben. Es zeigt sich nun, dass diese Breite umso breiter ist, je enger man den Wert für den Impuls einschränkt und umgekehrt. Und das ist genau die Aussage der Heisenbergschen Unschärferelation.

Gruß, Michael

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

E_n = -R h /n²

Das ist jetzt eine Wellenfunktion für ein gebundenes Elektron
im Wasserstoffatom in einem Orbital mit der Hauptquantenzahl
n, oder?

Es ist die Energie eines Elektrons für ein gebundenes Elektron im Wasserstoffatom. Erspar mir bitte, die Wellenfunktion des Wasserstoffatoms in geschlossener Form hinzuschreiben! Das ist die komplizierteste Formel, die ich je gesehen habe! (Daneben ist die Schrödinger-Gleichung Kinderfasching). Wenn Du auf sowas stehst, … hier eine Kostprobe: http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelfl%C3%A4chenfunkti… (nach unten scrollen, in Ehrfurcht erstarren und „Bahnhof“ verstehen!)

Hψ = Eψ | -Eψ (wär ja Schwachsinn ψ wegzukürzen)

Ja, aber aus einem ganz anderen Grund, als Du denkst: H ist keine Zahl, sondern ein Rechenzeichen. Die Formel wäre vergleichbar mit

√x = 2x

Hier würdest Du die Zahl x suchen, bei der das Wurzelziehen genau das gleiche bewirkt, wie die Multiplikation mit der Zahl 2. Zahlen, die das erfüllen sind x=0 und x=0,25.

Bei der Schrödingergleichung ist es so ähnlich, nur sucht man nicht Zahlen die Gleichung lösen, sondern Funktionen.

ψ(H-E) = 0

Wenn schon, dann so

(H-E)ψ = 0

(Ähnlich wie beim Wurzelzeichen machte es auch beim Hamiltonoperator einen großen Unterschied, ob etwas links oder rechts davon steht.)

… wie geht’s jetzt weiter? wenn das zu kompliziert würde geb
ich mich auch mit „weil ich das so ausgerechnet habe“
zufrieden

In den einfachen Fällen probiert man einfach aus: Man ahnt, wie die Wellenfunktion aussehen wird und wirft sie dem Hamiltonoperator zum Fraß vor und schaut, was dabei rauskommt, und das versucht man dann durch richtige Wahl der Parameter mit der rechten Seite der Gleichung abzustimmen.

Im Falle des Wasserstoffatoms geht es nicht so leicht: Da muss man einige Kunstgriffe machen. Das erste Problem ist die Geometrie: Unsere kartesischen Koordinaten (x,y,z) sind nicht besonders gut geeignet, das kugelsymmetrische Problem des Wasserstoffatoms zu beschreiben. Deswegen verwendet man die Kugelkoordinaten (r, φ θ). Als nächstes muss man das Coulomb-Potenzial (das kennst Du bestimmt: „Wie hängt die Kraft zwischen zwei Ladungen vom Abstand ab?“) in diesen Kugelkoordinaten darstellen. Schlauerweise hängt es nur vom Radius r, aber nicht von den beiden Winkeln ab. Deswegen kann man die Wellenfunktion als Produkt von zwei Wellenfunktionen darstellen: Die eine hängt nur von r ab, die andere nur von φ und θ. Für beide Funktionen sucht man dann jeweils getrennt Lösungen für die jeweiligen Schrödinger-Gleichungen.

Das was ich hier nur nacherzähle ist hochkomplizierte Mathematik und eigentlich funktioniert sie auch stark nach dem Baukastenprinzip. Das bedeutet: Man versucht nicht alleine, das Problem durch Papier und Bleistift und ein bisschen graue Zellen zu lösen, sondern man sucht nach Leuten, die sich schon mit ähnlichen Dingen beschäftigt haben und baut deren Ergebnisse mit ein. Ich habe keine Ahnung, wie man auf die Legendre-Polynome und die Laguerre-Polynome kommt, aber das Wasserstoffatom konnte ich in der Prüfung damals trotzdem richtig erklären.

Das große Wunder: Warum kommt nach so einer verdammt komplizierten Rechnung nur so etwas einfaches raus? E hängt nur von der Hauptquantenzahl ab, und zwar in der beschriebenen Weise.

Michael

[Paprika27]

Hallöchen

E_n = -R h /n²

Das ist jetzt eine Wellenfunktion für ein gebundenes Elektron
im Wasserstoffatom in einem Orbital mit der Hauptquantenzahl
n, oder?

Es ist die Energie eines Elektrons für ein gebundenes Elektron
im Wasserstoffatom. Erspar mir bitte, die Wellenfunktion des
Wasserstoffatoms in geschlossener Form hinzuschreiben! Das ist
die komplizierteste Formel, die ich je gesehen habe! (Daneben
ist die Schrödinger-Gleichung Kinderfasching). Wenn Du auf
sowas stehst, … hier eine Kostprobe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelfl%C3%A4chenfunkti… (nach
unten scrollen, in Ehrfurcht erstarren und „Bahnhof“
verstehen!)

ok
In der Wellenfunktion muss immer psi stecken, oder nicht? Hatte ich außer Acht gelassen…
Das mit der Kugel erinnert mich ganz stark an das s-Orbital. Ist die Wellenfunktion die ich mit der SG für ein ununterscheidbares Elektron finde generell die der stehenden Welle die so aussieht wie das Orbital auf dem das Elektron grade sitzt (wir gehen ja von stationären Elektronen aus um die zeitunabhängige SG verwenden zu können)?

Hψ = Eψ | -Eψ (wär ja Schwachsinn ψ wegzukürzen)

Ja, aber aus einem ganz anderen Grund, als Du denkst: H ist
keine Zahl, sondern ein Rechenzeichen. Die Formel wäre
vergleichbar mit

√x = 2x

Hier würdest Du die Zahl x suchen, bei der das Wurzelziehen
genau das gleiche bewirkt, wie die Multiplikation mit der Zahl
2. Zahlen, die das erfüllen sind x=0 und x=0,25.

Bei der Schrödingergleichung ist es so ähnlich, nur sucht man
nicht Zahlen die Gleichung lösen, sondern Funktionen.

ψ(H-E) = 0

Wenn schon, dann so

(H-E)ψ = 0

(Ähnlich wie beim Wurzelzeichen machte es auch beim
Hamiltonoperator einen großen Unterschied, ob etwas links oder
rechts davon steht.)

Ah, ok. Man würde dann wohl H mit den Innereien des Hamilton-Ops ersetzen um weiterzurechnen?

… wie geht’s jetzt weiter? wenn das zu kompliziert würde geb
ich mich auch mit „weil ich das so ausgerechnet habe“
zufrieden

In den einfachen Fällen probiert man einfach aus: Man ahnt,
wie die Wellenfunktion aussehen wird und wirft sie dem
Hamiltonoperator zum Fraß vor und schaut, was dabei rauskommt,
und das versucht man dann durch richtige Wahl der Parameter
mit der rechten Seite der Gleichung abzustimmen.

das würde ein Mathematiker bestimmt nicht gerne lesen ;D

Das was ich hier nur nacherzähle ist hochkomplizierte
Mathematik und eigentlich funktioniert sie auch stark nach dem
Baukastenprinzip. Das bedeutet: Man versucht nicht alleine,
das Problem durch Papier und Bleistift und ein bisschen graue
Zellen zu lösen, sondern man sucht nach Leuten, die sich schon
mit ähnlichen Dingen beschäftigt haben und baut deren
Ergebnisse mit ein.

Das gefällt mir

Ich habe keine Ahnung, wie man auf die
Legendre-Polynome und die Laguerre-Polynome kommt, aber das
Wasserstoffatom konnte ich in der Prüfung damals trotzdem
richtig erklären.

Ich tippe mal dass Du mindestens Doktorand bist.

Das große Wunder: Warum kommt nach so einer verdammt
komplizierten Rechnung nur so etwas einfaches raus? E hängt
nur von der Hauptquantenzahl ab, und zwar in der beschriebenen
Weise.

ja, wunderbar ist es allerdings.

Ich habe vor allem „Photon“ verwendet, weil das Zählen von
Quanten sich hier stets auf Strahlung bezieht. Ich hatte
versucht klar zu machen, dass es bei den gebundenen Elektronen
anders funktioniert. Das Wort „Quant“ ist etwas unpräzise,
denn in der Quantenphysik ist viel quantisiert, und immer
meint man was völlig anderes damit. Aber Lichtquanten sind
genau dasselbe wie Photonen.

Jetzt kratzt mich das aber doch. Ein Photon hat doch die
Energie E=h*f, oder nicht? Demnach hat Licht (eigentlich
el.mag.Strahlung allgemein) verschiedener Frequenz verschieden
‚energische‘ Photonen (womit Regenbogen, Spektralanalyse,
roter Sonnenuntergang und blauer Himmel erklärt werden
können). In der Quantenmechanik ist ja jetzt alles
quantisiert. Also auch Elektronen.

Das ist zu unpräzise. Richtiger wäre: Die Energie der
Elektronen ist quantisiert. Das gilt dann aber auch nur für
die Energie von gebundenen Elektronen.

(Außerdem sind auch noch viele andere Eigenschaften es
Elektrons quantisiert, aber auf völlig verschiedene Weise)

Ist bei denen die Frequenz
die der Elektronenwellen nach de Broglie?

Bei freien Elektronen ja. Bei gebundenen Elektronen kann man
diesen Begriff nicht direkt anwenden.

Das probier ich nochmal zusammenzukratzen.
Die Energie von gebundenen Elektronen findet man mit der SG (bei H hast Du’s ja erklärt.). Die ist insofern quantisiert als dass E_n ein natürliches Vielfaches von E_1 sein muss (bei einer Hauptqz > 1).
Die Energie von freien Elektronen findet man mit Hilfe von Planck wobei die Frequenz die der de Broglie Elektronenwelle ist. Besteht die auch aus Quanten? Wie sieht deren Energie aus?

Wenn jetzt meine
Elektronenwelle eine stehende Welle ist, steht die dann? Was
ist dann deren Frequenz?

Weißt Du, was eine „Stehende Welle“ ist? Stehende Wellen
entstehen immer dann, wenn sich eine Welle z. B. nach einer
Reflexion mit sich selbst überlagert. Das anschaulichste
Beispiel ist eine schwingende Saite. Wenn man sie im Grundton
zum Schwingen anregt, ist die maximale Auslenkung immer in der
Mitte. Der Wellenberg scheint sich nicht zu bewegen. Die Welle
(in diesem Fall ist es nur eine Halbwelle) schwingt also nur
auf und ab, ohne sich von der Stelle zu rühren. Das ist eine
stehende Welle.

Ja, soweit kannte ich das. Mit Mikrowellen, einer Metallplatte und einer Feldsonde. Solange verschoben bis wir Knotenpunkte mit A gegen 0 feststellen konnten. Der Abstand zwischen KP 1 und 3 war dann die Wellenlänge.
Was mich verunsichert hat ist dass dabei tatsächlich eine Welle von irgendwo kommt, von dem Spiegel zurückgeworfen wird und dann weiter ihres Weges wellt.
Aber bei Kugelwellen oder stehenden Wellen die wie Hanteln aussehen kommt die Welle nicht von irgendwo, wird nicht reflektiert, wellt nirgendwohin. Klar, das hat damit zu tun dass es sich um Teilchenwellen handelt und dass man nichtmal sagen kann was genau da eigentlich wellt, dennoch erzeugt das einen Knoten in meiner Vorstellungskraft.

Die Orbitale im Atom sind ebenfalls stehende Welen, nur halt
dreidimensional. Der Grundzustand (n=1) ist eine Kugel. Der
erste „Oberton“, d. h. der erste angeregte Zustand (n=2) Muss
eine Welle sein, die einen Knoten hat (so wie die Saite, die
in der Mitte festgehalten wird und nur links und rechts davon
auf und ab schwingt). Dieser „Knoten“ ist - weil wir im
dreidimensionalen Raum sin - nicht ein Punkt, sondern eine
zweidimensionale Fläche. Es handelt sich dabei entweder um
eine Kugel um den Koordinatenursprung (2s) oder um die xy-,
die xz- oder die yz-Ebene (2p, daher dreifach entartet). Du
fragtest nach der Frequenz der Schwingung. Diese beträgt f =
E/h (also wie in der Planckschen Formel).

Also mit E=hf kann ich die Frequenz der stehenden Wellen die ich als Wolken oder Orbitale kennengelernt habe feststellen? Und die Energie kennt man von den Elektronen deren Energie man man mit der SG findet (für H hast Du’s beschrieben). Vielleicht bring ich einiges durcheinander, aber wie kommt man an die Frequenz der Teilchenwelle, des Quantenobjektes ‚gebundenes Elektron‘? Ist die überhaupt interessant? Kann man die mit der SG berechnen?

Das find ich ja ein heißes Thema. Man kann jetzt also erklären
bzw. ausrechnen welche Farblinien bei der Spektralanalyse zu
sehen sind… genial. Warum sparen die lieben Lehrer so
nützliche Informationen bis zum Studium auf?

Weil die Lösung der Schrödingergleichung sehr weit über das
mathematische Können selbst von Abiturienten hinaus geht!
(Aber man versucht ja, sich irgendwie ranzutasten). Das ist
ein heißes Thema, das stimmt. Und in der Ausbildung eines
Physikers nimmt die Frage: „Wie lassen sich die Absorbtions-
und Emissionslinien eines Atoms messen, erklären und
brechnen?“ mehr Stellenwert ein, als all die Teilbereiche der
Physik, die man von der Schule kennt.

*vorVorfreudegroßeAugenkriegend*

Nehmen wir 2p^3. nach Hund müsste jedes Orbital einfach
besetzt sein.

Wenn wir über das Stickstoffatom reden: ja.

Weil N im Grundzustand die Elektronenkonfiguration 1s²2s²2p³ hat?

(Das hört sich stark nach Chemiker-Chinesisch an.
Physiker würden wohl eher sagen: „Es ist gleich
wahrscheinlich, dass die z-Komponente des Bahndrehimpulses des
Elektrons -1, 0 oder +1 beträgt.“ Damit meinen sie genau
dasselbe).

Haha, mir ist beides recht

Sobald ich gemessen habe
scheiden alle Lösungen (klar, nicht die SGs selbst) außer der
für den gemessenen Zustand aus; sie ‚kollabieren‘. Soweit so
gut?

Hier stimmte es wieder.

Ok. Und das ist jetzt die Kopenhagener Deutung gewesen? Dass die SG Aufschluss gibt wie wahrscheinlich es ist, ein Elektron am betrachteten Ort zu finden? Ist es tatsächlich so einfach? kann ich mir gar nicht vorstellen :]
Wikipedia ist in diesem Punkt leider nicht so gut verständlich wenn man kein Vorwissen hat: Welche Ansprüche stellt denn nun die Kopenhagener Deutung an Wellenfunktionen?

1. Normierbarkeit (wenn die nicht erfüllt ist, erhält man Unsinn und kann anhand dessen keine korrekte Aussage über Wahrscheinlichkeiten machen)
2. ?
   .
   .
   .

das mit dem normieren ist mir neu. Ich dachte ‚Normierbarkeit‘
sei eine Eigenschaft einer Wellenfunktion, nämlich dass das
Integral überm Betragsquadrat 1 ist. Meint ‚normieren‘ einfach
dies zu überprüfen?

Wenn Du die Schrödingergleichung löst, erhältst Du Funktionen
(die sogenannten Wellenfunktionen), die sich durch
verschiedene Parameter unterscheiden. Es gibt Funktionen, die
normierbar sind, und solche, die es nicht sind. Bei ersteren
ist das Integral über das Betragsquadrat endlich, bei
letzteren „unendlich“. Wenn die Funktion normierbar ist, dann
kann ich die Parameter immer so wählen, dass dieses Integral
genau den Wert 1 hat. Das Überprüfen der Normierbarkeit ist
die eine Sache. Da Wahl der richtigen Parameter, eine andere,
und diesen Vorgang nennt man eben „normieren“.

Aah! Ein Licht geht auf. Bist Du schon wikipedia-Autor?

Moment, Moment. Das oben genannte Integral ist proportional
zur Amplitude A, und leider außerdem unendlich. Es wird nur
dann endlich bzw. erreicht nur dann den Wert 1, wenn A gegen
Null strebt. Damit ist die
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte überall annähernd Null.

Nanu? A ist proportional zum Integral vom Betragsquadrat der Wellenfunktion. Eigentlich ist das Integral unendlich. Wir machen es endlich indem wir A vorher bestimmen? Wenn das geht, warum machen wir A dann gegen 0 und nicht gegen x (kleiner als x nichtsdestotrotz)? x ist hier die Amplitude der Wahrscheinlichkeitsdichte bei Integral=1. Oder ist das doch eine kompliziertere Proportionalität?

Der Normalfall ist natürlich nicht dieser Grenzfall, sondern
ein Fall, wo der Impuls nur mit einer gewissen Ungenauigkeit
bekannt ist. In diesem Fall setzt sich dann die Ortsfunktion
nicht mehr nur aus einer Sinus (bzw. Kosinus) Welle zusammen,
sondern aus sehr vielen, jeweils unterschiedlicher Frequenz
und Amplitude. Die Überlagerung von all diesen
Wellenfunktionen ergibt so etwas ähnliches wie eine Gaußkurve.
Da diese Funktion für große positive und negative Werte von x
gegen Null strebt, ist das Integral über das Betragsquadrat
endlich. In diesem Fall können die Amplituden so gewählt
werden, dass das Integral genau 1 ist. Die Ortsunschärfe ist
dann durch die Breite der Glockenkurve gegeben. Es zeigt sich
nun, dass diese Breite umso breiter ist, je enger man den Wert
für den Impuls einschränkt und umgekehrt. Und das ist genau
die Aussage der Heisenbergschen Unschärferelation.

Das ist doch mal eine verständliche Erklärung. Super, danke. Bin übrigens erleichtert dass das oben nur ein Grenzfall ist

Wie immer weiß ich nicht was man als Dank außer „Vielen vielen Dank für Deine Hilfe“ schreiben könnte…

Gruß
Philipp

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

In der Wellenfunktion muss immer psi stecken, oder nicht?

ψ ist die Wellenfunktion!

Hatte ich außer Acht gelassen…
Das mit der Kugel erinnert mich ganz stark an das s-Orbital.
Ist die Wellenfunktion die ich mit der SG für ein
ununterscheidbares Elektron finde generell die der stehenden
Welle die so aussieht wie das Orbital auf dem das Elektron
grade sitzt (wir gehen ja von stationären Elektronen aus um
die zeitunabhängige SG verwenden zu können)?

Die Wellenfunktion ist die mathematische Beschreibung der stehenden Welle, die auch „Orbital“ genannt wird. (Alles ist also ein und dasselbe).

Wenn schon, dann so

(H-E)ψ = 0

(Ähnlich wie beim Wurzelzeichen machte es auch beim
Hamiltonoperator einen großen Unterschied, ob etwas links oder
rechts davon steht.)

Ah, ok. Man würde dann wohl H mit den Innereien des
Hamilton-Ops ersetzen um weiterzurechnen?

Ja.

… wie geht’s jetzt weiter? wenn das zu kompliziert würde geb
ich mich auch mit „weil ich das so ausgerechnet habe“
zufrieden

In den einfachen Fällen probiert man einfach aus: Man ahnt,
wie die Wellenfunktion aussehen wird und wirft sie dem
Hamiltonoperator zum Fraß vor und schaut, was dabei rauskommt,
und das versucht man dann durch richtige Wahl der Parameter
mit der rechten Seite der Gleichung abzustimmen.

das würde ein Mathematiker bestimmt nicht gerne lesen ;D

Die würden sich vielleicht etwas gewählter ausdrücken, aber im Prinzip machen sie es genauso. Man rät ja auch nicht völlig ins Blaue, sondern verwendet einen plausiblen Lösungsansatz.

Zum Beispiel hat sich bewährt für eine konstante Potenzielle Energie V(x)=const folgende Lösungsansätze zu wählen:

ψ(x) = A sin (2πkx + φ) für E>V
ψ(x) = B e^-2πβx für E 1).

Nein, nein, nein und nochmal nein! „Quantisiert“ bedeutet nur, dass eine bestimmte Größe nicht jeden Wert annehmen kann, sondern nur bestimmte (sogenannte „diskrete“) Werte. Insbesondere beim Wasserstoffatom ist diese Energie nicht proportional zu n (wie Du immer wieder behauptest), sondern zu -1/n².

Die Energie von Elektronen findet man mit Hilfe von
Planck wobei die Frequenz die der de Broglie Elektronenwelle
ist. Besteht die auch aus Quanten? Wie sieht deren Energie
aus?

Mit de Broglie findet man die Wellenlänge, nicht die Frequenz. Diese hängt einfach mit dem Impuls zusammen:

λ = h/p

Da E = p²/2m kann man auch scheiben: E = h²/(2mλ²)

Quantisiert ist daran nichts: Ein freies Elektron darf jeden beliebigen Energiewert haben.

Aber bei Kugelwellen oder stehenden Wellen die wie Hanteln
aussehen kommt die Welle nicht von irgendwo, wird nicht
reflektiert, wellt nirgendwohin.

Doch, doch, das tut sie schon. Sie wird durch den positiven Kern sozusagen festgehalten. Eine Schallwelle in einem kugelförmigen Hohlraum würde sich gar nicht so sehr anders verhalten wie die Wellenfunktion des Elektrons! (Die Wände wären keine feste Grenze, sondern eine Art kontinuierliche Übergang, aber ansonsten ist es mathematisch ganz ähnlich).

Also mit E=hf kann ich die Frequenz der stehenden Wellen die
ich als Wolken oder Orbitale kennengelernt habe feststellen?
Und die Energie kennt man von den Elektronen deren Energie man
man mit der SG findet (für H hast Du’s beschrieben).
Vielleicht bring ich einiges durcheinander, aber wie kommt man
an die Frequenz der Teilchenwelle, des Quantenobjektes
‚gebundenes Elektron‘? Ist die überhaupt interessant? Kann man
die mit der SG berechnen?

Ähm … diese Frage verstehe ich jetzt nicht. Ein paar Zeilen weiter oben scheibst Du doch: „Also mit E=hf kann ich die Frequenz der stehenden Wellen die ich als Wolken oder Orbitale kennengelernt habe feststellen? Und die Energie kennt man von den Elektronen deren Energie man man mit der SG findet.“

Genau so geht es.

Hier stimmte es wieder.

Ok. Und das ist jetzt die Kopenhagener Deutung gewesen? Dass
die SG Aufschluss gibt wie wahrscheinlich es ist, ein Elektron
am betrachteten Ort zu finden? Ist es tatsächlich so einfach?
kann ich mir gar nicht vorstellen :]

Doch, so „einfach“ ist es. Genau genommen ist die Kopenhagener Deutung die, dass die Wellenfunktionen kollabieren und den gemessenen Zustand als reinen Quantenzustand ergeben. Die alternativen Deutungen würden z. B. behaupten, dass alle möglichen Versuchsergebnisse realisiert sind, und wir zufällig in einer „Welt“ leben und deren Zustand messen. Die Zufallsinterpretation des Messvorgangs bleibt dieselbe, egal ob die Wellenfunktion kollabiert oder sich die Welt in viele Welten aufspaltet.

Wikipedia ist in diesem Punkt leider nicht so gut verständlich
wenn man kein Vorwissen hat: Welche Ansprüche stellt denn nun
die Kopenhagener Deutung an Wellenfunktionen?

1. Normierbarkeit (wenn die nicht erfüllt ist, erhält man
   Unsinn und kann anhand dessen keine korrekte Aussage über
   Wahrscheinlichkeiten machen)
2. ?

Wie gesagt, das verlangt nicht die Kopenhagener Deutung, sondern die Quantenmechanik unabhängig von ihrer Deutung:

2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit
3. Erfüllung der Rand- und Anfangswertprobleme

Zu 2.: Ganz unmathematisch ausgedrückt: Wenn man die Wellenfunktion zeichnet, darf sie keine Lücken und Ecken haben.

Zu 3.: Die Versuchsbedingungen verlangen von der Wellenfunktion bestimmte Eigenschaften. Wenn man ein Elektron z. B. in einen Kasten sperrt, so darf sich das Elektron nicht in den Wänden befinden. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit muss hier also Null betragen, folglich muss auch ψ in den Wänden gleich 0 sein. (Diese Forderung verträgt sich übrigens nicht mit der Bedingung der Differenzierbarkeit, weil man sonst direkt am Rand des Kastens einen Knick in der Wellenfunktion hätte. Bei einem realen Kasten muss die Wellenfunktion irgendwie abgerundet auslaufen. Es gibt also eine zwar kleine, aber immerhin vorhandene Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron in oder jenseits von den Wänden befindet. Das nennt man Tunneleffekt).
Diese dritte Bedingung ist übrigens der Grund dafür, warum die Energie von gebundenen Elektronen quantisisert ist. Nicht jede Energie erfüllt die Bedingung, sondern nur ganz bestimmte.

Moment, Moment. Das oben genannte Integral ist proportional
zur Amplitude A, und leider außerdem unendlich. Es wird nur
dann endlich bzw. erreicht nur dann den Wert 1, wenn A gegen
Null strebt. Damit ist die
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte überall annähernd Null.

Nanu? A ist proportional zum Integral vom Betragsquadrat der
Wellenfunktion. Eigentlich ist das Integral unendlich. Wir
machen es endlich indem wir A vorher bestimmen? Wenn das geht,
warum machen wir A dann gegen 0 und nicht gegen x (kleiner als
x nichtsdestotrotz)? x ist hier die Amplitude der
Wahrscheinlichkeitsdichte bei Integral=1. Oder ist das doch
eine kompliziertere Proportionalität?

Hä? Verstehe ich nicht. Rechnen wir mal nicht mit dem Sinus, sondern mit der Funktion ψ = Ax (ist einfacher).

Das Betragsquadrat ist |Ax|² = (für reelle Zahlen) = A²x². Das Integral da drüber ist:

∫ A²x²dx = A²/3 x³ (+C)

Das bestimmte Integral von -∞ bis +∞ ist

2/3 A² ∞³

Ich weiß, dass man das nicht so schreiben darf, aber es hilft hier fürs Verständnis. Wenn dieser Wert 1 sein soll:

1 = 2/3 A² ∞³

dann muss A gegen Null streben. Also ist die Amplitude hier überall 0. Beim Sinus ist es im Prinzip ähnlich, nur die Rechnung ist komplizierter.

Michael

[Paprika27]

Hallo

In der Wellenfunktion muss immer psi stecken, oder nicht?

ψ ist die Wellenfunktion!

Das mit dem ‚drinstecken‘ meinte ich um Umforumungen der Wellenfunktion wie
arcsinψ = x (von ψ = sinx) nicht auszuschließen (ok, war vielleicht überflüssig).

Hatte ich außer Acht gelassen…
Das mit der Kugel erinnert mich ganz stark an das s-Orbital.
Ist die Wellenfunktion die ich mit der SG für ein
ununterscheidbares Elektron finde generell die der stehenden
Welle die so aussieht wie das Orbital auf dem das Elektron
grade sitzt (wir gehen ja von stationären Elektronen aus um
die zeitunabhängige SG verwenden zu können)?

Die Wellenfunktion ist die mathematische Beschreibung
der stehenden Welle, die auch „Orbital“ genannt wird. (Alles
ist also ein und dasselbe).

Aha!
Für ein gebundenes Elektron ist die Wellenfunktion also das Orbital.
Das freie hat doch kein Orbital? Sagt man da dann dass die Wellenfunktion die Funktion der Teilchenwelle ist? Also dass die Wellenfunktion das Quantenteilchen ist?

Ist bei denen die Frequenz
die der Elektronenwellen nach de Broglie?

Bei freien Elektronen ja. Bei gebundenen Elektronen kann man
diesen Begriff nicht direkt anwenden.

Das probier ich nochmal zusammenzukratzen.
Die Energie von gebundenen Elektronen findet man mit der SG
(bei H hast Du’s ja erklärt.). Die ist insofern quantisiert
als dass E_n ein natürliches Vielfaches von E_1 sein muss (bei
einer Hauptqz > 1).

Nein, nein, nein und nochmal nein! „Quantisiert“ bedeutet nur,
dass eine bestimmte Größe nicht jeden Wert annehmen kann,
sondern nur bestimmte (sogenannte „diskrete“) Werte.
Insbesondere beim Wasserstoffatom ist diese Energie nicht
proportional zu n (wie Du immer wieder behauptest), sondern zu
-1/n².

Wahrscheinlich stolpere ich jedes mal wieder über Licht. Das ist doch ein Vielfaches seiner Photonen; seine Energie ein Vielfaches der Energie eines Quants.
Mal sehen ob ich mir das einpräge: …Die ist insofern quantisiert, als dass E_n ein -n^-2faches von E_1 sein muss.

D

Da E = p²/2m kann man auch scheiben: E = h²/(2mλ²)

Das hat gefehlt
Ich brauchte für E=hf immer noch f…

Aber bei Kugelwellen oder stehenden Wellen die wie Hanteln
aussehen kommt die Welle nicht von irgendwo, wird nicht
reflektiert, wellt nirgendwohin.

Doch, doch, das tut sie schon. Sie wird durch den positiven
Kern sozusagen festgehalten. Eine Schallwelle in einem
kugelförmigen Hohlraum würde sich gar nicht so sehr anders
verhalten wie die Wellenfunktion des Elektrons! (Die Wände
wären keine feste Grenze, sondern eine Art kontinuierliche
Übergang, aber ansonsten ist es mathematisch ganz ähnlich).

Das find ich eine super Erklärung!

Also mit E=hf kann ich die Frequenz der stehenden Wellen die
ich als Wolken oder Orbitale kennengelernt habe feststellen?
Und die Energie kennt man von den Elektronen deren Energie man
man mit der SG findet (für H hast Du’s beschrieben).
Vielleicht bring ich einiges durcheinander, aber wie kommt man
an die Frequenz der Teilchenwelle, des Quantenobjektes
‚gebundenes Elektron‘? Ist die überhaupt interessant? Kann man
die mit der SG berechnen?

Ähm … diese Frage verstehe ich jetzt nicht. Ein paar Zeilen
weiter oben scheibst Du doch: „Also mit E=hf kann ich die
Frequenz der stehenden Wellen die ich als Wolken oder Orbitale
kennengelernt habe feststellen? Und die Energie kennt man von
den Elektronen deren Energie man man mit der SG findet.“

E=hf. Ich hätte gern f. Ist das interessant, das f? Ist das f=0 weil die Welle steht? Bei der reflektierten stehenden Welle wellt ja trotzdem was, Energie wird übertragen (denk ich jetzt mal auf das Risiko hin dass mir für diese Annahme der Kopf abgerissen wird ). Dann wäre ja auch die Energie immer 0 und nachfolgende Überlegung ohne Sinn.
Falls f!=0 und interessant, brauche ich die Energie (h ist ja gegeben). Jetzt war meine Frage, ob ich für dieses E zur Berechnung der Frequenz meines Orbitals einfach das E eines der Elektronen auf (oder in?) diesem Orbital nehmen könnte? Ist das so? Dass die Energie des Orbitals gleich der eines Elektrons auf diesem Orbital ist? Oder ist die Energie des Orbitals die der Summe der Energien aller möglicher Elektronen auf dem Orbital? Vielleicht ist die Energie des Orbitals ja auch 0 wenn sich kein Elektron darauf befindet, wenn sich eins darauf befindet hat es genau dessen Energie? Letzteres scheint mir am plausibelsten…

Doch, so „einfach“ ist es. Genau genommen ist die Kopenhagener
Deutung die, dass die Wellenfunktionen kollabieren und den
gemessenen Zustand als reinen Quantenzustand ergeben. Die
alternativen Deutungen würden z. B. behaupten, dass alle
möglichen Versuchsergebnisse realisiert sind, und wir zufällig
in einer „Welt“ leben und deren Zustand messen. Die
Zufallsinterpretation des Messvorgangs bleibt dieselbe, egal
ob die Wellenfunktion kollabiert oder sich die Welt in viele
Welten aufspaltet.

Super, ich glaube das ansatzweise verstanden zu haben (ich maße mir nicht an, zu behaupten ich gläube, die Kopenhagener Deutung und damit eine von Niels Bohr’s geleistete, nicht unbedeutende Arbeit, vollends verstanden zu haben. So arrogant bin ich nur fast).

Wikipedia ist in diesem Punkt leider nicht so gut verständlich
wenn man kein Vorwissen hat: Welche Ansprüche stellt denn nun
die Kopenhagener Deutung an Wellenfunktionen?

1. Normierbarkeit (wenn die nicht erfüllt ist, erhält man
   Unsinn und kann anhand dessen keine korrekte Aussage über
   Wahrscheinlichkeiten machen)
2. ?

Wie gesagt, das verlangt nicht die Kopenhagener Deutung,
sondern die Quantenmechanik unabhängig von ihrer Deutung:

2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit
3. Erfüllung der Rand- und Anfangswertprobleme

Zu 2.: Ganz unmathematisch ausgedrückt: Wenn man die
Wellenfunktion zeichnet, darf sie keine Lücken und Ecken
haben.

Zu 3.: Die Versuchsbedingungen verlangen von der
Wellenfunktion bestimmte Eigenschaften. Wenn man ein Elektron
z. B. in einen Kasten sperrt, so darf sich das Elektron nicht
in den Wänden befinden. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit muss
hier also Null betragen, folglich muss auch ψ in den Wänden
gleich 0 sein. (Diese Forderung verträgt sich übrigens nicht
mit der Bedingung der Differenzierbarkeit, weil man sonst
direkt am Rand des Kastens einen Knick in der Wellenfunktion
hätte. Bei einem realen Kasten muss die Wellenfunktion
irgendwie abgerundet auslaufen. Es gibt also eine zwar kleine,
aber immerhin vorhandene Wahrscheinlichkeit, dass sich das
Elektron in oder jenseits von den Wänden befindet. Das nennt
man Tunneleffekt).
Diese dritte Bedingung ist übrigens der Grund dafür, warum die
Energie von gebundenen Elektronen quantisisert ist. Nicht jede
Energie erfüllt die Bedingung, sondern nur ganz bestimmte.

Ok, danke.

Das bedeutet

1. Dass ich im falschen wikipedia-Artikel gesucht habe
   und 2. dass nicht normierbare Wellenfunktionen nicht nur nach der Kopenhagener Deutung unsinnig sind sondern generell invalid.

Moment, Moment. Das oben genannte Integral ist proportional
zur Amplitude A, und leider außerdem unendlich. Es wird nur
dann endlich bzw. erreicht nur dann den Wert 1, wenn A gegen
Null strebt. Damit ist die
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte überall annähernd Null.

Nanu? A ist proportional zum Integral vom Betragsquadrat der
Wellenfunktion. Eigentlich ist das Integral unendlich. Wir
machen es endlich indem wir A vorher bestimmen? Wenn das geht,
warum machen wir A dann gegen 0 und nicht gegen x (kleiner als
x nichtsdestotrotz)? x ist hier die Amplitude der
Wahrscheinlichkeitsdichte bei Integral=1. Oder ist das doch
eine kompliziertere Proportionalität?

Hä? Verstehe ich nicht. Rechnen wir mal nicht mit dem Sinus,
sondern mit der Funktion ψ = Ax (ist einfacher).

Das Betragsquadrat ist |Ax|² = (für reelle Zahlen) = A²x². Das
Integral da drüber ist:

∫ A²x²dx = A²/3 x³ (+C)

Das bestimmte Integral von -∞ bis +∞ ist

2/3 A² ∞³

Ich weiß, dass man das nicht so schreiben darf, aber es hilft
hier fürs Verständnis. Wenn dieser Wert 1 sein soll:

1 = 2/3 A² ∞³

dann muss A gegen Null streben. Also ist die Amplitude hier
überall 0. Beim Sinus ist es im Prinzip ähnlich, nur die
Rechnung ist komplizierter.

Ah gut, das hab ich verstanden

Ich sehe Licht am Ende des Tunnels!
Vielen vielen Dank dass Du mich dahin geführt hast! Danke für Deine Zeit, Mühe, Energie; Danke für Deine Hilfe.
Wo lehrst Du? Vielleicht sollte ich die Schule wechseln…

Gruss
Philipp

[anon95639385]

Hoffentlich verwirre ich nicht^^ Ein kl. Ausblick
Hallo,

ich hoffe ich verwirre Dich jetzt nicht, ich versuch das ganze mal allgemeiner darzustellen:

Die Wellenfunktion Psi enthält alle Informationen, die es über ein Teilchen gibt. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeitsamplitude, aber auch andere Eigenschaften wie den Spin.

Wir Physiker möchten gern diese Wellenfunktion kennen. Dazu gibt es diverse „Formulierungen“, mit deren Hilfe man Psi ausfindig machen kann. Die Schrödingergleichung ist die populärste davon.

Das einfachste Beispiel die SGL anzuwenden ist der unendliche Potentialtopf (hab darüber erst ein Script geschieben, schreib mir doch ne Mail, dann lass ich es Dir zukommen, ist wirklich nicht schwer). Das erste wirklich gute Praxisbeispiel wäre das Elektron im Wasserstoffatom.
Die theo. Chemie befasst sich dann zum Beispiel mit Wellenfunktionen von Elektronen in einem Heliummolekül etc. (das ist heavy)

Aber es gibt noch viele andere Formulierungen.

Die SGL sagt Dir, dass der Hamiltonoperator eine „Schreibweise“ für die Energie des Teilchens sein soll.

\hat H = \hat E \quad \left ( - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V \right ) = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}

Ein einfaches weiteres Beispiel:
Die Relativitätstheorie sagt Dir, dass die Energie ganz anders aussieht, nämlich

E^2=(mc^2)^2+(pc)^2

das setzt zu anstatt des Hamiltonoperators ein und erhälst

\sqrt{(mc^2)^2+(pc)^2}=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}

für p setzten die quantenmechaniker gern

p=-i \hbar \nabla

ein und dann quadrieren wir noch, da wir Wurzeln unhandlich finden^^

m^2c^4-\hbar^2 \nabla^2 c^2=-\hbar^2 \frac{\partial}{\partial^2}

oft teilt man hier durch hquer^2 * c^2 und erhält

\frac{(mc^2)}{\hbar^2}-\nabla^2=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial^2}

Diese Gleichung heißt Klein-Gordon-Gleichung und würde zum Beispiel dienen um die Wellenfunktion eines relativistischen Teilchens zu beschreiben.
Man kann die Wurzel auch noch in einer sog. 4x4 Matrix auflösen und erhält somit die Dirac-Gleichung, aber das führt hier zuweit.

Hoffe ich konnte ein bisschen helfen,
David