Singularität erklären - Hilfe nötig^^

Wissenschaft Mathematik
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Hallo Leute,

also im Zuge dieser Woche muss ich „nebenbei“ mal in Mathe Singularitäten erklären. Da wir gerade unter anderem Exponentialfunktionen behandeln, wäre es gut wenn man das irgendwie in Zusammenhang setzen könnte…

Da ich grad in der 12ten bin, war es bis jetzt relativ schwierig was zum Thema zu finden, da sich das meisste um das Berechnen von komplizierteren Singularitäten dreht - also wirklich allermeistens irgendwelches Studienwissen ist.

Was ich bis jetzt herausgefunden habe, ist, das Singularitäten sowas ähnliches wie Definitionslücken sind. Die Funktionen verlieren an diesem Punkt ihre Stetigkeit, eine Kurve also z.b. wird an dem Punkt wo sie eine Singularität hat unterbrochen, knickt auf einmal in eine andere Richtung.

Neben ein paar historischen Daten, wer z.B. das „erfunden“ hat und ein paar komplizierten Beweisen hab ich nicht viel mehr wissenswertes gefunden…

Meine Frage also:
Könnte mir jemand möglichst anwendungsbezogen und am besten im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen erklären was genau es mit den Singularitäten auf sich hat?

Oder eine Webseite nennen, die mal für absolute Einsteiger bei dem Thema erklärt was Singularitäten sind, am besten mit einfachen Beispielen?

Wäre echt nett, vor allem da ich diese Woche donnerstag das ganze vortragen muss oder spätestens Freitag^^

gruß & danke,
Ascer

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Hallo Leute,

Was ich bis jetzt herausgefunden habe, ist, das Singularitäten
sowas ähnliches wie Definitionslücken sind.

Und die tauchen wo auf?
Kleiner Tip: Nenner=0

Meine Frage also:
Könnte mir jemand möglichst anwendungsbezogen und am besten im
Zusammenhang mit Exponentialfunktionen erklären was genau es
mit den Singularitäten auf sich hat?

Die Exponentialfunktion selbst ist im Zusammenhang mit Singularitäten ein eher schlechtes Beispiel, da sie keine Definitionslücke hat.

Oder eine Webseite nennen, die mal für absolute Einsteiger bei
dem Thema erklärt was Singularitäten sind, am besten mit
einfachen Beispielen?

Einstieg:
http://de.wikipedia.org/wiki/Singularit%C3%A4t_(Math…
Dort: exp(1/z) (Hattet ihr schon komplexe Zahlen?)

Noch ein Beispiel: sin (1/x) Verhalten für x->0

Gruss

Ratz

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Danke erstmal für die Antwort :smile:

Nenner = 0 erwähntest du…könntest du ein Funktionsbeispiel nennen?

Die Informationen auf Wikipedia sind recht umfangreich und relativ unverständlich für mich (hat mich einige Recherche gekostet um zumindest einiges dort zu verstehen, dass meisste bewegt sich immernoch außerhalb meines Sachverstandes^^).

Den Ausdruck exp(1/z) hab ich jetzt aber z.B. auch schon öfters gelesen, was genau bedeutet das exp denn?
Komplexe Zahlen hatten wir noch nicht, oder zumindest nicht komplett bzw. unter dem Oberbegriff (falls wir möglicherweise doch schonmal irgend ein Beispiel komplexer Zahlen hatten).

Ein Beispiel für eine Singularität wäre:
f(x) = sin(1/x) wobei x nach 0 strebt, wenn ich dich richtig verstanden habe?

Damit würde man ja eine Definitionslücke beschreiben, wäre das also die Singularität? ( Da man ja nicht durch 0 teilen kann ).

Aber ich hab z.B. auch gelesen, weiß jetzt nicht mehr wo das war, das auch Exponentialfunktionen Singularitäten haben?

Also z.B. f(x) = e^x, sprich die „Basisexponentialfunktion“^^ nähert sich doch im negativen X-Bereich immer weiter der X-Achse, berührt sie aber nie.
D.h. durch die Kurve würde man vermuten, dass sie irgendwann die X-Achse berührt bzw. schneidet, da sie sich immer weiter der X-Achse nähert, tatsächlich tut die Funktion das ja aber nie.

Folglich hätte die Funktion eine Singularität bei -∞ ?
Also f(x) = e^x x -> -∞

Müsste dann doch eine Singularität ergeben oder nicht?
Weil im negativen unendlich Bereich die Funktion eine Definitionslücke hat?!

Genauso kann doch aber auch z.B. eine Singularität einfach nur eine Abweichung von einem normalerweise angenommenen Verhalten (eine Unterbrechung der Stetigkeit) sein?!
Also z.B. eine Kurve die abknickt…die hätte dann ja gar keine Definitionslücke, würde sich nur anders als erwartet fortsetzen…

Schonmal im vorraus danke für die Antwort,

der noch etwas verwirrte^^,
Ascer

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Danke erstmal für die Antwort :smile:

Nenner = 0 erwähntest du…könntest du ein Funktionsbeispiel
nennen?

Einfachstes Beispiel y=1/x

Die Informationen auf Wikipedia sind recht umfangreich und
relativ unverständlich für mich (hat mich einige Recherche
gekostet um zumindest einiges dort zu verstehen, dass meisste
bewegt sich immernoch außerhalb meines Sachverstandes^^).

Den Ausdruck exp(1/z) hab ich jetzt aber z.B. auch schon
öfters gelesen, was genau bedeutet das exp denn?

exp(x) = e^(x)

Ein Beispiel für eine Singularität wäre:
f(x) = sin(1/x) wobei x nach 0 strebt, wenn ich dich richtig
verstanden habe?

Damit würde man ja eine Definitionslücke beschreiben, wäre das
also die Singularität? ( Da man ja nicht durch 0 teilen kann
).

Ja.
Wenn man sich das Funktionsgraphen von Sin (1/x) anschaut sieht man, dass er bei Annäherung an x=0 immer „schneller“ hin und hergeht.
bei x=0 ist der Wert (natürlich) nicht definiert.

Aber ich hab z.B. auch gelesen, weiß jetzt nicht mehr wo das
war, das auch Exponentialfunktionen Singularitäten haben?

Die Exponentialfunktion selbst hat keine Singularität. Anders sieht es aus wenn das Argumen eine Singularität hat.
Beispiel y=exp(1/x).

Genauso kann doch aber auch z.B. eine Singularität einfach nur
eine Abweichung von einem normalerweise angenommenen Verhalten
(eine Unterbrechung der Stetigkeit) sein?!

Eine Unterbrechung der Stetigkeit kann muss aber nicht eine Singularität sein.

  1. Beispiel y=1/x
    Ist bei x=0 nicht definiert
    Wenn ich mich aus dem positiven Bereich x=0 nähere wird der Grenzwert Unendlich
    Wenn ich mich aus dem negativen Bereich x=0 nähere wird der Grenzwert -Unendlich

  2. Beispiel
    y=0 für x0
    Ist zwar nicht stetig, aber überall definiert, hat keine Singularität.

Hoffe ein bischen Klarheit gebracht zu haben

Ratz