Umformung 2.0

Wissenschaft Mathematik
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Hallo Administrator, dies ist ein neuer Beitrag keine Vortsetzung des alten.

Hallo Wissende

Es geht darum die folgende Formel nach R aufzulösen.

G=(H*I*(E*R+F)*(A*R+B)^3)/(2*J*R^3*(C*R+D)^3)

Die Formel ist im Prinzip die gleiche vom vorherigen Beitrag, allerdings habe ich sie soweit es mir möglich war diese vereinfacht.

Eine Umstellung nach R ist ja ohne weiteres nicht möglich, da es ja 1-3 mögliche Lösungen gibt (mein Taschenrechner streikt bei der Umstellung auch). Allerdings gibt es ja diverse Näherungsverfahren zur Berechnung. Ich setze voraus, daß es nur eine Lösung gibt. Diese muß eine reelle, positive Zahl ergeben.

Mit welchem Lösungsverfahren löse ich so etwas?
Wie packe ich es an?

Schöne Grüße
Horst

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Nachtrag
Hallo

Mir wäre schon weitergeholfen, wenn mir jemand erklären könnte wie ich diese Formel in die Allgemeinform

Ax^3+bx^2+cx+d=0

überführern kann.

Horst

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Moin,

Mir wäre schon weitergeholfen, wenn mir jemand erklären könnte
wie ich diese Formel in die Allgemeinform

Ax^3+bx^2+cx+d=0

überführern kann.

Gar nicht. Du hast im Zähler eine Funktion von R^4 und im Nenner eine von R^6. Das kriegst du nicht auf R³ zusammengefaßt, sondern bestenfalls zu A/R².

Prüfe nochmal, ob du die Funktion korrekt aufgeschrieben hast.

Gruß

Kubi

4

Hallo Horst!

Es geht darum die folgende Formel nach R aufzulösen.

G=(H*I*(E*R+F)*(A*R+B)^3)/(2*J*R^3*(C*R+D)^3)

Die Formel ist im Prinzip die gleiche vom vorherigen Beitrag,
allerdings habe ich sie soweit es mir möglich war diese
vereinfacht.

Dann vereinfache ich sie mal noch weiter (denn alles, was nicht R heißt, kann man ja mit einem Buchstaben zusammenfassen):

G=(γ*(R+δ)*(R+ε)^3)/(ζ*R^3*(R+η)^3),

wobei

γ=H*I*E*A^3
δ=F/E
ε=B/A
ζ=2*J*C^3
η=D/C.

(Ich gehe einfach mal davon aus, dass E und C nicht null werden, sonst vereinfacht sich die Gleichung ja enorm!)

Eine Umstellung nach R ist ja ohne weiteres nicht möglich, da
es ja 1-3 mögliche Lösungen gibt (mein Taschenrechner streikt
bei der Umstellung auch). Allerdings gibt es ja diverse
Näherungsverfahren zur Berechnung. Ich setze voraus, daß es
nur eine Lösung gibt. Diese muß eine reelle, positive Zahl
ergeben.

Mit welchem Lösungsverfahren löse ich so etwas?

Ich würde das Newtonverfahren wählen. Beginne bei einem beliebigen Startpunkt R0, in dessen Nähe Du die Nullstelle erwartest. Wenn Du keine Erwartungen hast, setze halt R0=0.

Nun benutzt Du das Newton-Verfahren zur Nullstellensuche, d.h. Du musst die Gleichung so umschreiben, dass dort f®=0 steht. Dass ist aber denkbar einfach:

f®=(γ*(R+δ)*(R+ε)^3)/(ζ*R^3*(R+η)^3)-G=0.

Für das Newton-Verfahren benötigst Du noch die Ableitung von f:

f’®=γ/ζ*(R+ε)^2*((4*R+ε+3*δ)*R^3*(R+η)^3-3*R^2*(R+δ)*(R+ε)*((R+η)^3+R*(R+η)^2))/(R^6*(R+η)^6).

Der nächste Näherungswert berechnet sich dann immer nach der Formel

x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f’(x_n)}.

Wie packe ich es an?

Du hast z.B. in Excel alle Werte zu einer Berechnung in einer Spalte, sagen wir A. Sagen wir mal, G=A10, γ=A11 … η=A15. Außerdem ist der Startwert R0 in A20 eingegeben.

Dann schreibst Du in A21 die Formel

=A20-((A$11*(A20+A$12)*(A20+A$13)^3)/(A$24*A20^3*(A20+A$15)^3)-A$10)/(A$11/A$14*(A20+A$13)^2*((4*A20+A$13+3*A$12)*A20^3*(A20+A$15)^3-3*A20^2*(A20+A$12)*(A20+A$13)*((A20+A$15)^3+A20*(A20+A$15)^2))/(A20^6*(A20+A15)^6))

und ziehst diese bis A120 nach unten. Dann hast Du 100 Iterationsschritte. Die letzten Zahlen sollten sich gleichen, eventuell brauchst Du nur weniger Iterationsschritte. Im letzten Feld kannst Du Deine Lösung ablesen.

Wenn Du nun die nächste Berechnung in der B-Spalte hast, brauchst Du die Formel nur nach rechts zu ziehen und erhältst dort die entsprechende Lösung.

Ich habe das Newton-Verfahren primär deshalb empfohlen, weil die Regula falsi in Excel komplizierter zu implementieren ist.

Liebe Grüße
Immo

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Hallo

Danke für die Info. Ich werd da mal ne Nacht drüber schlafen müssen.
Rückmeldung folgt.

Horst

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Hi,

es tut mir leid, aber die erste Umformung ist schon falsch.

Bei G=(γ*(R+δ)*(R+ε)^3)/(ζ*R^3*(R+η)^3), fehlen zwei Faktoren vor R in den Klammern, die mit drei Potenziert werden.

Probier es mit dieser Umformung:

3
Eine Umformung wäre aR+b (dR+e)
---- * (----) = G
cR³ (fR+g)

sorry für die doofe Darstellung

LG CF

7

Sorry noch mal, ich meinte natürlich:

G=[(aR+b)/(cR³)] * [(dR+e)/(fR+g)]³

Meine Erste Formel hat es zerwürfelt.

LG CF

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Hi,

es tut mir leid, aber die erste Umformung ist schon falsch.

Bei G=(γ*(R+δ)*(R+ε)^3)/(ζ*R^3*(R+η)^3), fehlen zwei Faktoren
vor R in den Klammern, die mit drei Potenziert werden.

Nein, die hab ich doch ins γ bzw. ζ mit reingezogen. Noch mal langsam für Dich:

3
Eine Umformung wäre aR+b (dR+e)
---- * (----) = G
cR³ (fR+g)

G=\frac{aR+b}{cR^3}\cdot\frac{(dR+e)^3}{fR+g}
=\frac{a\cdot\left(R+\frac{b}{a}\right)}{cR^3}\cdot\frac{\left(d\cdot\left(R+\frac{e}{d}\right)\right)^3}{f\cdot\left(R+\frac{g}{f}\right)}
=\frac{a\cdot\left(R+\frac{b}{a}\right)}{cR^3}\cdot\frac{d^3\cdot\left(R+\frac{e}{d}\right)^3}{f\cdot\left(R+\frac{g}{f}\right)}.

Wenn Du jetzt a·d³=:γ setzt, weiters b/a=:δ, e/d=:ε, c·f=:ζ und g/f=:η, erhältst Du genau meine Formel.

Übrigens ist das der Grund, warum ich angegeben habe, wie meine griechischen Buchstaben zu den ursprünglichen Buchstaben in Beziehung stehen. So kann nämlich jeder meine Rechnungen nachvollziehen. Keine Ahnung, warum Du es dennoch nicht konntest, ich kenn Dich ja nicht.

Liebe Grüße
Immo

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Rückmeldung
Hallo Immo

Vielen Dank für Deine Lösung.

Sie funktioniert!!!

Das war mir eine sehr große Hilfe.
Es war zwar noch ein ganz schönes herumgebastel, bis die Einheiten (m, mm etc. zusammengepasst haben, aber jetzt läufts.

Es reichen bei mir im Schnitt 5-6 Itterationsschritte um auf ein brauchbares Ergebnis zu kommen.

Danke und Sternchen
Horst

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Hi

wird denn (f*R+g) nicht mit drei potenziert?
Die Klammern sind doch um den gesamten Bruch.

Also steht im Nenner ein f³ usw.

bitte noch mal prüfen,

LG CF