Vollstaendige Induktion und Gleichungssysteme

Michael_4cd82e · 19. November 2008 um 14:54

Hallo,

ich werde nachstehend drei Aufgaben posten, mit der Hoffnung, dass mir ein „Mathe-Freak“ oder einfach ein Lehrender die Loesungen/Loesungsschritte quantifizieren koennte:

vollstaendige Induktion:

Leider bekomme ich das Summenzeichen nicht korrekt hin, daher auf einem anderen Weg.
Summenzeichen „n“ oben „k=1“ unten (k+1)*(k-1)=n*(n-1)*(2n+5)/6 ; n ist ein Element von N.

Koennte jemand bitte diese Aufgabenstellung nach dem bekannten Verfahren der vollstaendigen Induktion loesen (n --> auf n+1)?
Ein Teil des Verfahrens der vollstaendigen Induktion ist mir bereits bekannt. Mit dieser Hilfe, kann ich auch weitere Aufgabe loesen.
Zudem bitte ich, mir eine Antwort zu geben, wenn „n=2“ waere, was sich dabei veraendern wuerde in der Induktionssaussage.
Bei diesem Verfahren muesste aber „n=1“ sein.

Des Weiteren haette ich gerne die ersten zwei Schritte folgender Gleichungen:

a) 3x hoch 8 -24x Quadrat = 6x Hoch 5
b) x + Wurzel 31+5x = 7

Ich hoffe, dass es nicht allzu verwirrend ist, und mir jemand dabei Support geben koennte. Wie schon erwaehnt, sind die ersten zwei Schritte (die Transformation) der Gleichungen relevant.

Vielen Dank im Vorfeld fuer die Unterstuetzung.

Viele Gruesse

Michael

Gunter_Ewald_Kaiser_9f2bc1 · 19. November 2008 um 15:15

Guten Tag.

a) 3x hoch 8 -24x Quadrat = 6x Hoch 5

⇔ x² (3x⁶-6x³-24)=0
⇔ x=0 ∨ 3x⁶-6x³-24=0
⇔ x=0 ∨ x⁶-2x³-8=0

b) x + Wurzel 31+5x = 7

„31+5x“ unter dem Wurzelzeichen? Oder nur √31?

GEK

Michael_4cd82e · 19. November 2008 um 15:22

31+5x in Wurzel. Nebenbei, wie bekommt man die Symbole in einem in den Vordergrund bei Word?

Weshalb ist bei der ersten Gleichung x=0? Sie haben lediglich x Quadrat aus multipliziert.

Viele Gruesse

Michael

P.s. Haben Sie auch eine Idee zur vollstaendigen Induktion?

Anonym_e52f27a38f6b · 19. November 2008 um 17:56

Hallo Michael,

Weshalb ist bei der ersten Gleichung x=0? Sie haben lediglich
x Quadrat aus multipliziert.

x=0 ist nur eine Lösung. Die kommt daher: Du hast einen Faktor und einen anderen Faktor (x² und noch irgendwas). Nun soll das Produkt null sein. Wie geht das? Nehmen wir an, x² ist 1, dann muss wohl der andere Faktor null sein. Ist x² irgendwas anderes außer null, dann muss wohl auch der zweite Faktor null sein.
Ist nun aber der zweite Faktor nicht null, so muss eben x² null sein, sonst kommt da nie null raus.

Oder, anders gesagt, am liebsten würdest Du die Gleichung jetzt durch x² teilen; das geht aber nur, wenn x²≠0 ist. Also musst Du vorher überprüfen, ob x²=0 sein kann, und siehe da – es geht. Wenn Du jetzt eine Fallunterscheidung machst (1.Fall: x=0 –> Lösung; 2.Fall: x≠0 –> teile durch x), dann kannst Du Deine Gleichung lösen.

Die Vollständige Iduktion schreib ich zum Urpost.

Liebe Grüße,
Immo

P.S. Warum stellst Du Deine Frage eigentlich bei „Universität und Schule“, und nicht bei „Mathematik“?

Anonym_e52f27a38f6b · 19. November 2008 um 18:09

Hallo Michael!

Σ_k=1ⁿ (k+1)*(k-1) = n*(n-1)*(2n+5)/6 ; n in |N.

Induktionsanfang: Da die Aussage für alle natürlichen Zahlen gelten soll, nehmen wir erst einmal die kleinste her, das ist 1. Setzen wir also n=1, so erhalten wir für die linke Seite der Gleichung:
Σ_k=1¹ (k+1)*(k-1) = (1+1)*(1-1)=0;
und für die rechte Seite:
n*(n-1)*(2n+5)/6=1*0*7/6=0.
Für n=1 stimmt die Aussage offensichtlich, der Anfang ist gemacht.

Nun der Induktionsschritt: Du nimmst an, dass Du die Aussage für eine natürliche Zahl bereits bewiesen hast (hast Du ja auch gerade), und zeigst, dass sie auch für die nächstgrößere gilt. Im Klartext: Du setzt voraus, dass für ein n gilt:
Σ_k=1ⁿ (k+1)*(k-1) = n*(n-1)*(2n+5)/6,
und willst zeigen, dass dann auch gilt:
Σ_k=1ⁿ⁺¹ (k+1)*(k-1) = (n+1)*((n+1)-1)*(2(n+1)+5)/6.

Na dann fangen wir wieder links an:
Σ_k=1ⁿ⁺¹ (k+1)*(k-1)
= Σ_k=1ⁿ (k+1)*(k-1) + ((n+1)+1)*((n+1)-1)
= n*(n-1)*(2n+5)/6 + (n+2)*n [laut Voraussetzung],
und nun formst Du solange um, bis das Gewünschte dasteht.

Zudem bitte ich, mir eine Antwort zu geben, wenn „n=2“ waere,
was sich dabei veraendern wuerde in der Induktionssaussage.
Bei diesem Verfahren muesste aber „n=1“ sein.

Du meinst, wenn zu zeigen wäre, dass die Formel für alle natürlichen Zahlen größer oder gleich zwei gilt? Na, dann machst Du halt den Induktionsanfang nicht für die kleinste natürliche Zahl (1), sondern für die kleinste Zahl, für die das gelten soll (in dem Fall: 2).

b) x + Wurzel(31+5x) = 7

Wenn Du diese Gleichung einfach so quadrieren würdest, müsstest Du die binomische Formel anwenden, und dann stünde da:
x² + 2x*Wurzel(31+5x) + (31+5x) = 49.
Das sieht leider eher hässlicher aus.
Also, wie kannst Du diesen gemischten Term vermeiden? Einfach, indem die Wurzel alleine steht:
Wurzel(31+5x) = 7 – x.
Das quadrierst Du, und schon kannst Du es lösen.

Liebe Grüße,
Immo

Michael_4cd82e · 19. November 2008 um 19:22

Hallo Immo, guten Abend,

vielen Dank erst einmal fuer Deine Rueckmeldung. Ist ja sehr komplex gewesen. Ich wundere mich jedesmal, weshalb die Antworten so schnell parat stehen. Ist das rein ein Gedaechtnistraining fuer sich selbst und/oder Hilfsbereitschaft zeigen?

Koenntest Du die vollstaendige Induktion zu Ende bringen (qed) und mir ein paar Tipps geben, wie in den meisten Faellen die Umformung Rueckfuehrend zur Aussage der Induktion ist?

Ich hatte damit gemeint, wenn anstatt fuer n=1 n=2 gerausgekommen waere, ob sich dadurch schlagartig etwas veraendert haette. Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Summenformel zu 100% verstehe.

Du meinst damit also, dass ich die Gleichung Quadrieren soll, sodass die Wurzel „wegfaellt“.

Ich bedanke mich mal im Voraus fuer die Rueckmekldung.

Guten Abend

Michael

Michael_4cd82e · 19. November 2008 um 20:28

Guten Abend,

wenn ich mit dem u.g. Loesungsansatz weiterrechne, wuerde ich die Gleichung transformieren und anschliessend die pq Formel anwenden als Beispiel. Ich haette hierbei dann aber drei Loesungen, oder nicht? x=0 und die zwei anderen Loesungen durch die Anwendung der pq Formel.

Michael

Anonym_e52f27a38f6b · 20. November 2008 um 23:18

Hallo Michael!

Ist das rein ein
Gedaechtnistraining fuer sich selbst und/oder
Hilfsbereitschaft zeigen?

Hauptsächlich eine Übersprungshandlung, um nicht arbeiten zu müssen; andererseits helfe ich, wo ich kann.

Koenntest Du die vollstaendige Induktion zu Ende bringen (qed)

Das wäre einfacher, wenn mein Originaltext da wäre, wo er hingehört (nämlich vor Deine Bemerkung) – so muss ich erstmal ausschneiden und einfügen.

Nun der Induktionsschritt: Du nimmst an, dass Du die Aussage
für eine natürliche Zahl bereits bewiesen hast (hast Du ja
auch gerade), und zeigst, dass sie auch für die nächstgrößere
gilt. Im Klartext: Du setzt voraus, dass für ein n gilt:
Σ_k=1ⁿ
(k+1)*(k-1) = n*(n-1)*(2n+5)/6,
und willst zeigen, dass dann auch gilt:
Σ_k=1ⁿ⁺¹
(k+1)*(k-1) = (n+1)*((n+1)-1)*(2(n+1)+5)/6.

Na dann fangen wir wieder links an:
Σ_k=1ⁿ⁺¹
(k+1)*(k-1)
= Σ_k=1ⁿ
(k+1)*(k-1) + ((n+1)+1)*((n+1)-1)
= n*(n-1)*(2n+5)/6 + (n+2)*n [laut Voraussetzung],
und nun formst Du solange um, bis das Gewünschte dasteht.

Also:
= [n*(n-1)*(2n+5)+6n*(n+2)]/6
= n*[2n²+3n–5+6n+12]/6
= n*[2n²+9n+7]/6
= n*(n+1)*(2n+7)/6, w.z.b.w.

und mir ein paar Tipps geben, wie in den meisten Faellen die
Umformung Rueckfuehrend zur Aussage der Induktion ist?

Was meinst Du mit „rückführend zur Aussage“?

Ich hatte damit gemeint, wenn anstatt fuer n=1 n=2
gerausgekommen waere, ob sich dadurch schlagartig etwas
veraendert haette.

Ich verstehe Dich auch hier nicht. Wo ist denn jemals n=1 rausgekommen?

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die
Summenformel zu 100% verstehe.

Σ_k=1ⁿ(k+1)*(k-1)
heißt: Du setzt zuerst 1 ein (weil unten „k=1“ steht):

(1+1)\*(1–1)

Dann setzt Du k=2 ein und addierst das:

 … + (2+1)\*(2–1)

Als nächstes setzt Du 3 ein und addierst das wieder dazu:

 … + (3+1)\*(3–1)

Das ganze machst Du so lange, bis Du bei n angekommen bist (weil das oben am Summenzeichen steht):

 … … … … + (n+1)\*(n–1).

Das heißt insbesondere, dass, wenn oben nur eine eins steht, Du auch bei eins schon aufhören musst und die Terme mit der zwei und der drei nicht vorkommen; wenn da was Kleineres als ein stünde, dann wäre selbst die nicht da – Du addierst gar nichts und bekommst demnach auch null raus; und – besonders wichtig für die Induktion – wenn oben n+1 steht, dann machst Du bis zum Term (n+1)*(n–1) alles genauso wie vorher, als dort nur n stand, und musst jetzt nur noch den einen Term ((n+1)+1)*((n+1)–1) addieren.

Du meinst damit also, dass ich die Gleichung Quadrieren soll,
sodass die Wurzel „wegfaellt“.

Du hast’s erfasst.

Zu der anderen Gleichung, damit ich nicht noch einmal woanders poste: Ja, Du hast drei Lösungen.

Liebe Grüße,
Immo

P.S. Du schriebst, dass Du mich bei der Suche nicht gefunden hast – wie hast Du mich denn gesucht?

Michael_4cd82e · 21. November 2008 um 08:48

Guten Morgen!

Hallo Michael!

Ist das rein ein
Gedaechtnistraining fuer sich selbst und/oder
Hilfsbereitschaft zeigen?

Hauptsächlich eine Übersprungshandlung, um nicht arbeiten zu
müssen; andererseits helfe ich, wo ich kann.

Koenntest Du die vollstaendige Induktion zu Ende bringen (qed)

Das wäre einfacher, wenn mein Originaltext da wäre, wo er
hingehört (nämlich vor Deine Bemerkung) –
so muss ich erstmal ausschneiden und einfügen.

Nun der Induktionsschritt: Du nimmst an, dass Du die Aussage
für eine natürliche Zahl bereits bewiesen hast (hast Du ja
auch gerade), und zeigst, dass sie auch für die nächstgrößere
gilt. Im Klartext: Du setzt voraus, dass für ein n gilt:
Σ_k=1ⁿ
(k+1)*(k-1) = n*(n-1)*(2n+5)/6,
und willst zeigen, dass dann auch gilt:
Σ_k=1ⁿ⁺¹
(k+1)*(k-1) = (n+1)*((n+1)-1)*(2(n+1)+5)/6.

Na dann fangen wir wieder links an:
Σ_k=1ⁿ⁺¹
(k+1)*(k-1)
= Σ_k=1ⁿ
(k+1)*(k-1) + ((n+1)+1)*((n+1)-1)
= n*(n-1)*(2n+5)/6 + (n+2)*n [laut Voraussetzung],
und nun formst Du solange um, bis das Gewünschte dasteht.

Also:
= [n*(n-1)*(2n+5)+6n*(n+2)]/6
= n*[2n²+3n–5+6n+12]/6
= n*[2n²+9n+7]/6
= n*(n+1)*(2n+7)/6, w.z.b.w.

Ich hoffe, dass ich jetzt an der richtigen Stelle auch schreibe.
Danke erst einmal fuer die Vervollstaendigung der Induktion.

und mir ein paar Tipps geben, wie in den meisten Faellen die
Umformung Rueckfuehrend zur Aussage der Induktion ist?

Was meinst Du mit „rückführend zur Aussage“?

Ich meine damit, dass man beim Induktionsschluss solange Umformen muss, bis die man die Aussage von oben ermittelt hat. (Aussage der Induktion) Und zu diesem Punkt moechte ich gerne von Dir wissen, welche Tipps und Tricks Du zur Umformung hast, sodass man den Beweis bewiesen hat. Ich denke, da die meisten wie ich, es nicht sofort erkennen, was zu machen ist. Es gibt sicherlich irgendwelche Tipps oder auch Tricks oder Erfahrungswert. Z.B. wie bist Du beim ersten Schritt der vollstaendigen Induktion auf die Zahl 6n gekommen. An was hast Du dies erkannt?

Ich hatte damit gemeint, wenn anstatt fuer n=1 n=2
gerausgekommen waere, ob sich dadurch schlagartig etwas
veraendert haette.

Ich verstehe Dich auch hier nicht. Wo ist denn jemals n=1
rausgekommen?

Sorry, dass ich mich so unklar ausgedrueckt habe. Ich habe damit nur gemeint, dass wir annehmen, dass bei dem Induktionsanfang n=2 ist. Und dabei ist die Problemstellung aufgetreten, was sich dabei aendert. Der Schwerpunkt liegt hierbei beim Summenzeichen. Ich denke, da k=1 ist (gleichbleibend) und wenn demnach n=2 waere, dass sich die Gleichung veraendern wuerde und ich wuesste gerne inwieweit. Gilt nur fuer fuer die Annahmen und Aussage. Somit ich sehen kann, was sich hierbei veraendert.

(Solltest Du interesse und Lust haben, habe ich hier eine weitere Aufgabe, die fuer mich komplex erscheint. Wuerdest Du mir diese nach dem bekannten Schema auch ausfuehrlich Loesen, haette ich die Moeglichkeiten zu vergleichen. Ggf. vielen Dank im Voraus dafuer:
(Summenzeichen n oben k=1 unten (2k-1)(1/5) hoch k = 3/8 - 1/8 * (3+4n)* (1/5) hoch n)
Die anderen Fragestellungen waeren aber vorerst Prioritaet, sodass ich die erste vollstaendige Induktion abschliessen kann.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die
Summenformel zu 100% verstehe.

Σ_k=1ⁿ(k+1)*(k-1)
heißt: Du setzt zuerst 1 ein (weil unten „k=1“ steht):

(1+1)*(1–1)

Dann setzt Du k=2 ein und addierst das:

… + (2+1)*(2–1)

Als nächstes setzt Du 3 ein und addierst das wieder dazu:

… + (3+1)*(3–1)

Das ganze machst Du so lange, bis Du bei n angekommen bist
(weil das oben am Summenzeichen steht):

… … … … + (n+1)*(n–1).

Das heißt insbesondere, dass, wenn oben nur eine eins steht,
Du auch bei eins schon aufhören musst und die Terme mit der
zwei und der drei nicht vorkommen; wenn da was Kleineres als
ein stünde, dann wäre selbst die nicht da – Du addierst gar
nichts und bekommst demnach auch null raus; und – besonders
wichtig für die Induktion – wenn oben n+1 steht, dann machst
Du bis zum Term (n+1)*(n–1) alles genauso wie vorher, als dort
nur n stand, und musst jetzt nur noch den einen Term
((n+1)+1)*((n+1)–1) addieren.

Also, so wie ich es auch verstanden habe. Demnach heisst dies, wenn ich beim Induktionsanfang n=2 herausbekomme, dass dies eine sehr lange Gleichung wird, bei der absolute Konzentration vorhanden sein muss. Ich hoffe, dass dies im Normalfall nicht der Fall sein wird.

Du meinst damit also, dass ich die Gleichung Quadrieren soll,
sodass die Wurzel „wegfaellt“.

Du hast’s erfasst.

Zu der anderen Gleichung, damit ich nicht noch einmal woanders
poste: Ja, Du hast drei Lösungen.

Ich weiss, vielleicht nerve ich, aber koenntest Du bitte die Gleichung einmal Loesen?
Ich bin davon ausgegangen, dass es zwei Loesungen gibt. Die x=0, die ermittelt worden ist, haette ich spaeter bei der p-q Formel bzw. bei der Ruecktransformation wieder erhalten.

Liebe Grüße,
Immo

P.S. Du schriebst, dass Du mich bei der Suche nicht gefunden
hast – wie hast Du mich denn gesucht?

Ich habe nach Deinem Namen gesucht. Ich wollte Dich naemlich per E-Mail nicht anschreiben. Dachte, es kommt so aufdringlich hervor.

Martin · 21. November 2008 um 12:17

Hallo Du,

Wurzel(31+5x) = 7 – x.
Das quadrierst Du, und schon kannst Du es lösen.

…und, wenn mir der Zusatz erlaubt ist, bitteschön am Schluss nicht die Prüfung vergessen, welche der erhaltenen Lösungen auch die Ausgangsgleichung lösen. Das muss man immer tun, wenn irgendwo quadriert wurde, weil das Quadrieren einer Gleichung keine Äquivalenzumformung ist. Hier bekommt man 1 und 18 als Lösungen für 31 + 5 x = (7 – x)² heraus, aber nur die 1 löst auch die Ausgangsgleichung √(31 + 5 x) = 7 – x.

Gruss
Martin

Anonym_e52f27a38f6b · 21. November 2008 um 13:40

Hallo Michael!

= [n*(n-1)*(2n+5)+6n*(n+2)]/6
= n*[2n²+3n–5+6n+12]/6
= n*[2n²+9n+7]/6
= n*(n+1)*(2n+7)/6, w.z.b.w.

Z.B. wie bist Du beim ersten Schritt der
vollstaendigen Induktion auf die Zahl 6n gekommen. An was hast
Du dies erkannt?

Da war nicht viel zu erkennen. Ich musste zwei Brüche addieren, der eine hatte den Nenner 6 und der andere war gar keiner (also Nenner 1), und da muss ich halt auf den Hauptnenner 6 erweitern. Mehr nicht.
Andererseits muss ich auch nicht versuchen, irgendwas zu kürzen, da das angestrebte Ergebnis auch eine 6 im Nenner stehen hat - ich bin also schon mal zufrieden, wenn ich die da hab, und versuch nicht, sie wegzukriegen.
Und, falls Du vorhattest, das auch noch zu fragen: Im letzten Schritt, wo ich 2n²+9n+7 = (n+1)*(2n+7) zerlegt habe, hab ich auch nicht weiter nachgedacht, sondern ich weiß ja, wie mein Ergebnis aussehen soll (nämlich, damit ich qed hinschreiben kann, dass da (n+1)*(2n+7) stehen soll, und dann multiplizier ich halt das einfach aus und bekomme 2n²+9n+7 raus - voilà!).

Sorry, dass ich mich so unklar ausgedrueckt habe. Ich habe
damit nur gemeint, dass wir annehmen, dass bei dem
Induktionsanfang n=2 ist. Und dabei ist die Problemstellung
aufgetreten, was sich dabei aendert.

Nun, dann ist halt der Induktionsanfang für n=2 zu zeigen. Links steht dann:
Σ_k=1² (n+1)*(n-1) = (1+1)*(1-1)+(2+1)*(2-1) = 3;
und rechts ergibt sich
(n-1)*n*(2n+5)/6 = (2-1)*2*(4+5)/6 = 18/6 = 3.
Beide Seiten sind gleich, der Anfang ist gemacht.

Also, so wie ich es auch verstanden habe. Demnach heisst dies,
wenn ich beim Induktionsanfang n=2 herausbekomme, dass dies
eine sehr lange Gleichung wird, bei der absolute Konzentration
vorhanden sein muss. Ich hoffe, dass dies im Normalfall nicht
der Fall sein wird.

Nun gut, beurteile selbst, ob das jetzt sehr lang war - es sind halt dann zwei Summanden. Bei n=5 würde ich vielleicht auch von einer langen Gleichung sprechen.
„Im Normalfall“ ist n ausreichend klein; das größte n, das mir bislang untergekommen ist, war n=3.

Wuerdest Du
mir diese nach dem bekannten Schema auch ausfuehrlich Loesen,
haette ich die Moeglichkeiten zu vergleichen.
Σ_k=1ⁿ (2k-1)(1/5)^k = 3/8 - 1/8* (3+4n)* (1/5)ⁿ

Ich glaube, dass es sinnvoller wäre, wenn Du hier schreibst, was Du Dir dazu gedacht hast, und evtl. auch, wo Du nicht weiterkommst. Dann erkenne ich genauer, wo Deine Probleme liegen, und kann konkret darauf eingehen.
Und schau Dir doch noch mal, wenn Du antwortest, meine Formeln an, wie ich hoch- und tiefgestellt habe. Dann machst Du das auch so, und das Ganze wird etwas übersichtlicher.

Ich weiss, vielleicht nerve ich, aber koenntest Du bitte die
Gleichung einmal Loesen?
Ich bin davon ausgegangen, dass es zwei Loesungen gibt. Die
x=0, die ermittelt worden ist, haette ich spaeter bei der p-q
Formel bzw. bei der Ruecktransformation wieder erhalten.

Dann sind’s halt doch nur zwei, ich hab’s nicht durchgerechnet. Das muss ich, glaub ich, auch nicht tun, Du wirst’s schon richtig gemacht haben. Dass zwei oder mehr der möglichen Lösungen identisch sind, kann schon mal vorkommen. Es hätte mich auch nicht überrascht, wenn nur die Null Deine Gleichung gelöst hätte.

Liebe Grüße,
Immo

Michael_4cd82e · 21. November 2008 um 14:00

Ich sehe es, wie Du Hoch- und Tiefgestellt hast, aber ich weisst nicht, wie ich es anwenden kann. Ich finde die passenden Hochzahlen dazu nicht.

Bei der naechsten vollstaendigen Induktion interessiert mich nur, wie man hierbei vorgeht. Was ist z.B. der Induktionsanfang? Ich finde, dass es eine sehr komplexe Aufgabe ist.

Des Weiteren komme ich bei der Gleichung nicht weiter, die Transformiert werden muss. Koenntest Du diese denn ausrechnen bzw. hast Du eine passende Formen in Excel hierfuer?

Viele Gruesse

Michael

Anonym_e52f27a38f6b · 21. November 2008 um 14:28

Hallo Michael,

Ich sehe es, wie Du Hoch- und Tiefgestellt hast, aber ich
weisst nicht, wie ich es anwenden kann. Ich finde die
passenden Hochzahlen dazu nicht.

Auf die Gefahr hin, dass wir aneinander vorbeireden: Ich meinte, du sollest wirklich auf „Antworten“ klicken und Dir dann (im Zitat) ansehen, wie ich die Zahlen geschrieben habe. Z.B. habe ich (1/5)^k als (1/5)^k eingegeben.

Bei der naechsten vollstaendigen Induktion interessiert mich
nur, wie man hierbei vorgeht. Was ist z.B. der
Induktionsanfang? Ich finde, dass es eine sehr komplexe
Aufgabe ist.

Induktionsanfang: Setzen wir wieder n=1 ein. Ich schreib das jetzt nicht alles auf, wie gesagt, schreib mir, wo’s konkret nicht weitergeht, und ich antworte auch. Erst einmal soviel: Auf der linken Seite steht die Summe von k=1 bis 1. Sie enthält also nur einen einzigen Summanden, nämlich den, wo für k die Eins eingesetzt wird. Was kommt dann da raus?
Auf der rechten Seite ist es ja noch einfacher, da kann die Eins ja direkt für n eingesetzt werden. Nun sind wieder Deine Kenntnisse in Bruchrechnung gefordert: Du musst erst einmal den Hauptnenner bilden, dann den Zähler zusammenfassen und schließlich kannst Du kürzen. Was kommt da raus?

Des Weiteren komme ich bei der Gleichung nicht weiter, die
Transformiert werden muss. Koenntest Du diese denn ausrechnen
bzw. hast Du eine passende Formen in Excel hierfuer?

Zunächst musst Du Dir erst einmal überlegen, wie die rechte Seite für (n+1) aussieht. Setze statt n (n+1) ein und fasse den Ausdruck in der Klammer zusammen. Mehr kannst Du da erst einmal nicht tun.
Nun die linke Seite: Du hast eine Summe von k=1 bis (n+1). Die kannst Du ja (wie immer) aufspalten in die Summe von k=1 bis n und den Term, der für k=n+1 dazukommt. Die Summe von k=1 bis n, so lautet Deine Induktionsvoraussetzung, kannst Du aber auch anders schreiben. Also tust Du das.
Nun steht auf der linken Seite 3/8 plus zwei weitere Terme (bzw. der erste ist negativ), und auf der rechten Seite steht 3/8 plus ein (negativer) Term. Mit den 3/8 bist Du schon mal sehr zufrieden, die stehen da, wo sie hingehören. Also kümmerst Du Dich nur noch um die anderen Terme.
Auf der rechten Seite steht ein Faktor (1/5)ⁿ⁺¹, den solltest Du also auch links ausklammern. Um das zu können, musst Du allerdings erst einmal einen Bruch auf der linken Seite erweitern.
Nun hast Du schon eine erhöhte Ähnlichkeit der beiden Seiten erreicht: Links steht 3/8 + (Summe zweier Brüche)*(1/5)ⁿ⁺¹; rechts steht 3/8 + (ein Bruch)*(1/5)ⁿ⁺¹. Du musst jetzt nur noch die Summe zweier Brüche links solange umformen, bis sie so aussieht wie der Bruch rechts. Und das geht wie gewohnt: Hauptnenner bilden, Zähler zusammenfassen, ggf. kürzen.

Viel Erfolg!
Immo

Michael_4cd82e · 21. November 2008 um 15:37

Was kommt dann da raus?

Nach meiner Rechnung kommt die Dezimalzahl 0,2 heraus.

So, ich hatte jetzt probiert, die Induktion zu loesen, aber leider ohne Erfolg. Ich komme bei dem Induktionsschluss einfach nicht weiter.
Wie beginnt er, wie folgt er weiter?

Auf der rechten Seite steht ein Faktor
(1/5)ⁿ⁺¹, den solltest Du also auch
links ausklammern. Um das zu können, musst Du allerdings erst
einmal einen Bruch auf der linken Seite erweitern.
Nun hast Du schon eine erhöhte Ähnlichkeit der beiden Seiten
erreicht: Links steht 3/8 + (Summe zweier
Brüche)*(1/5)ⁿ⁺¹; rechts steht 3/8 +
(ein Bruch)*(1/5)ⁿ⁺¹. Du musst jetzt
nur noch die Summe zweier Brüche links solange umformen, bis
sie so aussieht wie der Bruch rechts. Und das geht wie
gewohnt: Hauptnenner bilden, Zähler zusammenfassen, ggf.
kürzen.

Viel Erfolg!
Immo

P.s. Die Aufgabe zur Bestimmung der Loesungsmenge bringt mich auch in den Wahnsinn.

Anonym_e52f27a38f6b · 22. November 2008 um 15:50

Hallo Michael!

Was kommt dann da raus?

Nach meiner Rechnung kommt die Dezimalzahl 0,2 heraus.

Das ist ja schon mal gut, wenn Du das auf beiden Seiten hast. Ich würde auch schreiben, das sei prima, wenn es doch nur keine Dezimalzahl wäre! Damit kann man doch überhaupt nicht rechnen. Warum schreibe ich Dir denn, wie man Brüche umformt, wenn Du das dann doch nur in den Taschenrechner eintippst? So kann ich Dir auch nicht helfen!
Aber jetzt ist mir klar, warum Du solche Probleme mit der Induktion hast, denn da kannst Du die Terme ja nicht einfach eingeben, sondern musst mit den Brüchen rechnen.
Du kannst ja noch mal am Induktionsanfang üben, ob Du da, wo Du Zahlen hast, auch auf einen anständigen Bruch kommst. Wenn Dir das gelungen ist, mache Dich an den Induktionsschritt. Ich meine, ich habe Dir eine sehr ausführliche Anleitung gegeben. Das habe ich unter anderem deshalb getan, damit Du mir genau schreiben kannst, bei welchem Schritt Du nicht weiterkommst.
Wenn Du also soweit bist, dann nimm Dir doch noch mal meine Anleitung vor und schreib hinter jeden Schritt, was bei Dir rauskommt. Dann kann ich Dir auch weiterhelfen, denn eine vollständige Lösung von mir hilft Dir keineswegs. Da kannst Du Dir auch andere Induktionsaufgaben in Vorlesungsskripten oder Mathebüchern als Beispiel suchen, am Ende musst Du es doch selbst anwenden.

Liebe Grüße,
Immo

Anonym_e52f27a38f6b · 22. November 2008 um 16:00

Hallo Michael,

die Antwort zu der Gleichung gebe ich mal hier, damit es nicht zu unübersichtlich wird.

3x⁸ -24x² = 6x⁵

Erstmal alles auf eine Seite, dann 3x² ausklammern. Dann steht da:
3x²*(x⁶ – 8 – 2x³) = 0,
also entweder 3x²=0 (und damit x=0, erste Lösung, schon mal unterstreichen), oder x⁶–2x³–8 = 0.
Bei der zweiten Variante, das hast Du ja bereits erkannt, kann man x³=z substituieren. Da ich nicht so viel von Substitution halte, wenn sie sich vermeiden lässt, tue ich einfach so, als wäre x³ eine Variable. Dann steht da:
(x³)² – 2(x³) – 8 = 0.
Das kann ich mit der p-q-Formel lösen:
x³=4 oder x³=–2.
Nun interessiert mich ja x und nicht x³, also noch die dritte Wurzel ziehen, und die Lösungsmenge ergibt sich zu

{-2^1/3, 0, 4^1/3}.

Liebe Grüße,
Immo

Michael_4cd82e · 22. November 2008 um 20:36

Guten Abend,

vielen Dank fuer die Antwort. Somit kann ich zum Teil beruhigt sein. Ich habe ebenfalls die Loesungen. Ich hatte mich die Tage nur gewundert, da ein anderer User ganz andere Zahlen gepostet hat.
Gibt es eine Regel, bei dem sagen kann, wieviel Loesungen es gibt, wenn man die Gleichung sieht? Waeren es ebenfalls drei Loesungen, wenn man die Gleichung auf irgendeine andere Weise geloest haette?

Zu der zweiten Gleichung:

x + in Wurzel 31+5x = 7

Koenntest Du mir auch hierbei die Loesungen und der Loesungsschritt mitteilen. Ich denke, dass Du in diesen Gebieten sehr gut bist, und ich mich besser auf Dich verlassen kann, als auf Loesungen anderer User.

Alle guten Dinge sind drei:

bei der vorangegenen Induktion habe ich als Induktionsschritt:

3/8 - 1/8 * (3+4n) * (1/5)^{n + 2n * (1/5)^{n+1

Ist das ansatzweise korrekt und wenn ja, wie wuerde hierbei der weitere Schritt sein. Ich glaube aber, dass hier etwas nicht stimmt.
Apropos, mir ist bekannt, dass man 0,2 auch als Bruch (1/5) schreiben kann. Aber fuer den weiteren Verlauf hat diese Sache doch keinerlei Bedeutung.

Viele Gruesse

Michael

P.s. Ich hoffe, ich bekomme die Loesungen noch und kann sie bis morgenabend einsetzen und verstehen, dann habe ich mein Teil fuer das Wochenende erledigt.
Wenn ich fragen darf, was arbeitest Du bzw. wo bist Du angestellt?}}

Liebe Grüße,
Immo

Anonym_e52f27a38f6b · 23. November 2008 um 14:14

Hallo Michael!

vielen Dank fuer die Antwort. Somit kann ich zum Teil beruhigt
sein. Ich habe ebenfalls die Loesungen. Ich hatte mich die
Tage nur gewundert, da ein anderer User ganz andere Zahlen
gepostet hat.

Verrechnen kann sich jeder Mal. Dass wir beide dasselbe rausbekommen haben, macht es nur wahrscheinlicher, dass nicht wir zwei, sondern der Andere sich verrechnet hat.

Gibt es eine Regel, bei dem sagen kann, wieviel Loesungen es
gibt, wenn man die Gleichung sieht?

Leider nein. Eine Polynomgleichung n-ten Grades hat höchstens n Lösungen; ist n ungerade, so ist die Gleichung lösbar. Mehr nicht.

Waeren es ebenfalls drei
Loesungen, wenn man die Gleichung auf irgendeine andere Weise
geloest haette?

Natürlich, wo sollen denn plötzlich andere Lösungen herkommen? Man könnte allenfalls die Aufgabenstellung abändern und nur rationale Lösungen suchen (dann hätte man nur die 0) oder alle komplexen Lösungen (dann kommen noch je zwei dritte Wurzeln von 4 und –2 dazu).

Zu der zweiten Gleichung:

x + in Wurzel 31+5x = 7

Koenntest Du mir auch hierbei die Loesungen und der
Loesungsschritt mitteilen. Ich denke, dass Du in diesen
Gebieten sehr gut bist, und ich mich besser auf Dich verlassen
kann, als auf Loesungen anderer User.

Normalerweise gebe ich keine Lösungen, die andere schon gaben. Aber nun gut:
(31+5x)^1/2=7–x
Quadrieren (Achtung! Keine Äquivalenzumformung! Probe unerlässlich!)
31+5x=49+x²–14x
Lösen (p-q-Formel, quadratische Ergänzung oder was auch immer Dir so liegt)
x=1 oder x=18.
Probe:
(31+5)^1/2=7–1 stimmt.
(31+90)^1/2=7–18 stimmt nicht.
Also nur eine Lösung: x=1.

Alle guten Dinge sind drei:

bei der vorangegenen Induktion habe ich als Induktionsschritt:

3/8 - 1/8 * (3+4n) * (1/5)ⁿ + 2n *
(1/5)ⁿ⁺¹

Ist das ansatzweise korrekt und wenn ja, wie wuerde hierbei
der weitere Schritt sein. Ich glaube aber, dass hier etwas
nicht stimmt.

Fast richtig, aber wenn ich in (2k–1) k=n+1 einsetze, kommt nicht 2n raus, sondern 2n+1.

Nun gleichnamig machen (die 3/8 vorne ignorieren wir erst einmal, wie gesagt):
–1/8*(3+4n)*1/5ⁿ+(2n+1)*1/5ⁿ⁺¹
= 1/[8*5ⁿ⁺¹] * [–(3+4n)*5+(2n+1)*8].
Jetzt erstmal selber weiter umformen und mit der rechten Seite vergleichen.

Apropos, mir ist bekannt, dass man 0,2 auch als Bruch (1/5)
schreiben kann. Aber fuer den weiteren Verlauf hat diese Sache
doch keinerlei Bedeutung.

Eben. Es gibt vor allem keinen Grund, einen Dezimalbruch zu schreiben. Dass ich dabei an taschenrechnerverwöhnte SekI-Schüler denke, rührt daher, dass Dezimalbrüche nur für Computer von Vorteil sind (zur Not noch für Vergleiche [größer oder kleiner]), während, wenn man diese nicht zu Rate zieht, man automatisch einen „richtigen“ Bruch bekommt.

Wenn ich fragen darf, was arbeitest Du bzw. wo bist Du
angestellt?

Ich habe Lehramt Mathe/Musik für Gymnasien studiert, und bevor ich ins Referendariat gehe, promoviere ich noch in Mathe. Demzufolge bin ich an der Uni (Potsdam) angestellt.

Liebe Grüße,
Immo

Michael_4cd82e · 23. November 2008 um 20:31

Guten Abend!

Aber nun gut:
(31+5x)^1/2=7–x
Quadrieren (Achtung! Keine Äquivalenzumformung! Probe
unerlässlich!)
31+5x=49+x²–14x
Lösen (p-q-Formel, quadratische Ergänzung oder was auch immer
Dir so liegt)
x=1 oder x=18.
Probe:
(31+5)^1/2=7–1 stimmt.
(31+90)^1/2=7–18 stimmt nicht.
Also nur eine Lösung: x=1.

Ich werde mir Deine Nachricht die Tage noch einmal genauer anschauen. Mir ist hierbei nur aufgefallen, dass Du bei der Gleichung auf der rechten Seiten steht hast: 49 + x - 14x.
Wie kommst Du hierbei auf die 14. Durch starkes hinschauen, sehe ich, dass Du aus irgendeinem Grund mit der binomischen Formen gearbeitet worden ist. Aber, wenn ja, warum? Ich haette lediglich das x und 7 Quadriert.
Ist es nicht so, dass, wenn ich Quadriere, die Wurzel wegfaellt. Bei Dir steht 1/2 und das schliesst auf eine Wurzel.

Viele Gruesse

Michael

P.s. Besteht eigentlich fuer mich als Autor einige Eintraege zu loeschen, die bereits verstanden worden sind?

Anonym_e52f27a38f6b · 24. November 2008 um 14:23

Guten Abend!

Aber nun gut:
(31+5x)^1/2=7–x
Quadrieren (Achtung! Keine Äquivalenzumformung! Probe
unerlässlich!)
31+5x=49+x²–14x
Lösen (p-q-Formel, quadratische Ergänzung oder was auch immer
Dir so liegt)
x=1 oder x=18.
Probe:
(31+5)^1/2=7–1 stimmt.
(31+90)^1/2=7–18 stimmt nicht.
Also nur eine Lösung: x=1.

Ich werde mir Deine Nachricht die Tage noch einmal genauer
anschauen. Mir ist hierbei nur aufgefallen, dass Du bei der
Gleichung auf der rechten Seiten steht hast: 49 +
x - 14x.
Wie kommst Du hierbei auf die 14?

Die Frage beantwortest Du ja schon selbst:

Durch starkes hinschauen,
sehe ich, dass Du aus irgendeinem Grund mit der binomischen
Formen gearbeitet worden ist.

Genau. Ich bevorzuge nur die Form (a+b)²=a²+b²+2ab mit dem doppelten Produkt am Ende, weil ich sie dann auch schnell für beliebig viele Summanden hinbekomme: Ich nehm erst einfach alle Quadrate und dann alle doppelten Produkte, z.B. (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc. Wahrscheinlich musstest Du deshalb so „stark“ hinschauen, weil die 2ab nicht in der Mitte stand.

Aber, wenn ja, warum? Ich haette
lediglich das x und 7 Quadriert.

Und damit einen Fehler gemacht. Rechne doch mal (2-1)², und andererseits 2²-1². Da kommen verschiedene Dinge raus.
Die Gleichung quadrieren kannst Du überhaupt nur, weil mit a=b auch a²=b² sein muss. (Ist ja klar, wenn ich die gleiche Zahl hernehme, muss ja dasselbe rauskommen, so wie (1/5)² dasselbe wie 0,2² ist!) Dass dies keine Äquivalenzumformung ist, liegt daran, dass auch -a=b zu a²=b² führt (auch (-0,2)² ist dasselbe wie (1/5)²).
Und wenn Du eine Gleichung quadrierst, dann eben wirklich die ganze Gleichung, also steht rechts (7-x)², und dass ist gleich 49-14x+x², da beißt die Maus keinen Faden ab.

Ist es nicht so, dass, wenn ich Quadriere, die Wurzel
wegfaellt. Bei Dir steht 1/2 und das schliesst auf eine
Wurzel.

Schau noch mal genau hin: Nach dem Quadrieren steht bei mir kein 1/2 mehr, erst wieder in der Probe, und da gehört es ja auch hin, weil ich die gefundenen Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzen muss.
Die Nicht-Lösung ist übrigens genau der Fall für -a=b, denn -(31+90)^1/2