Volumen eines Rotationsparaboloid

Wissenschaft Mathematik
#1

Ich habe hier ein Aquavit-Glas, dessen Kelch näherungsweise ein Rotationsparaboloid einer Parabel y=x² ist. Es gibt eine 2cl Markierung, und ich kam ins Grübeln, wie man die Höhe einer 1cl-Markierung mathematisch (auslitern zählt nicht) ermitteln könnte. Sohnemann meinte, dass er ausschließlich über die Fläche der Parabel bis zur Höhe der 2cl-Markierung zum Ziel käme, maß diese aus (was natürlich vor dem Hintergrund („näherungsweise y=x²“ problematisch ist), und hatte schnell ein Integral bei der Hand für die Fläche der Parabel bis zur gemessenen Höhe (y=3,5cm bei x=1,87, Fläche=2,18 cm²). Soweit kann ich als Jurist, der bekanntlich nicht rechnen kann, noch folgen.

Wo es mich jetzt verlässt ist der Schluss, dass er nun, wenn ich es richtig verstanden habe, die Fläche der Parabel einfach halbiert hat, und hierfür dann die Sache wieder rückwärts auf die dazu passende Höhe von y=2,19 bei x=1,48 gerechnet hat. Er meint, dass diese Höhe nicht nur der halben Fläche der Parbel in zwei Dimensionen sondern auch dem halben Volumen (1cl) des Rotationsparaboloid in drei Dimensionen entsprechen würde. Ist es tatsächlich so einfach?

#2

Hallo,

ja, es ist so einfach. Das Integral ist eine Linearform. Das bedeutet

Int(af+g) = a*Int(f) + Int(g)

für Funktionen f und g sowie Skalare a. Halber Integralwert ist daher halber Funktionswert.

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#3

Besten Dank für deine schnelle Rückmeldung! Der Bengel überrascht mich immer wieder. Wo mir ein paar unbeaufsichtigte Referendare den Spaß an und den Erfolg in Mathe für den Rest der Schulzeit versaut haben, rennt der jetzt mit Mathe-LK auf ein super Abi zu. Was soll aus dem nur werden? Doch nicht etwa ein Inschenör?

Mein Interesse an Mathe ist mir zwar erhalten geblieben, sonst würde ich ja auch gar nicht auf solche Begriffe und Themen kommen, aber mir fehlen leider viele solcher Basics. So rein praktisch bekomme ich zum Glück üblicherweise Dinge hin, die mich interessieren, und habe ich zu meinen Zeiten in der IT gerne auch mal die Kollegen verblüfft, die dann oft meinten: „Ja, das könnte wohl so gehen, aber wie genau, weiß ich auch nicht“, wenn ich dann am nächsten Tag mit einer Lösung ankam. Aber mit der Theorie im Hintergrund hapert es leider. Insoweit wird mir Sohnemann dann auch noch mal deine Zeile im Detail erklären müssen.

#4

Ja, so geht vielen. Das Gesamtbild muß einfach irgendwie da sein.

Hier sind es konkret zwei Dinge: Ein Integral ist so etwas wie eine Summe. Aber wo eine Summe nur „ganze“ Summanden erlaubt, schafft ein Integral einen Summanden in sehr viele kleinere Dinge zu zerlegen und trotzdem zu summieren. Und bei einer Summe ist die Linearität ja (vielleicht) klar, läuft dort unter dem Namen Distributivgesetz.

Das zweite ist, daß ein Volumen durch „Summieren“ sehr vieler Flächen entlang einer Höhe (sprich Integrieren) „entsteht“. Zusammen ergibt sich dann die Erkenntnis: halbe Höhe (einer konstanten Fläche) = halbes Volumen, bzw. halbe Fläche (bei konstanter Höhe) = halbes Volumen.

#5

hmm… Irgendwas stimmt hier nicht, zumindest nicht nach meinem Verständnis des Beschriebenen.

Lass uns das Glas kippen, dann rotiert da eine Wurzelfunktion f(x)=C√(x) um die x-Achse, Volumen oder Fläche von x=0 bis x=h. C ist eine Konstante, die sich aus gemessener Breite und Höhe bestimmen lässt.

Volumen

Grundsätzlich berechnet sich das Rotationsvolumen nach V=π ∫ (f(x))² dx

daher

V=π ∫0h C²x dx = πC²/2 [x²]0h =πC²/2 * h²

Das halbe Volumen hat man bei einer neuen Höhe k

πC²k² = πC²h²/2
k²= h²/2
k=h/√2 was knapp 71% der ursprünglichen Höhe entspricht.

Fläche

A= 2* ∫0h C√(x) dx = C[4/3 x3/2]0h = 4/3C h3/2

Der Faktor 2 ergibt sich, weil das einfache Integral ja die Fläche zwischen Kurve und x-Achse ergibt, und wir hier auch den unteren Teil haben wollen.

Nunja, setzen wir mal h/√2 als neue Höhe für das halbe Volumen ein:

4/3C (h/√2)3/2=4/3C h3/2 * (2-1/2)3/2 = 4/3C h3/2 * (2-1/2)3/2 = A * 2-3/4, was knapp 60% der ursprünglichen Fläche entspricht.

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#6

Oh, vielen Dank für die gesamte Rechnung. Du hast natürlich recht. Wenn man an f nicht werkeln darf. Dann ist das ganze natürlich nicht linear.

Ich entschuldige mich, für mein unkonzentriertes Gerede.

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#7

Jetzt habt ihr mich abgehängt. Einerseits finde ich es hochgradig spannend, dass @sweber mein Bauchgefühl dafür, das es doch nicht so einfach sei, bestätigt hat, und daher auch gleich dreidimensional an die Sache mit der Addition von Kreisscheiben dran geht (wenn ich das richtig verstehe). Aber das „warum“ ist für mich zu hoch. Was meinst Du mit:

Kannst Du versuchen, mir das noch mal etwas näher zu bringen? Unter dem „an f nicht werkeln“, verstehe ich, dass die Funktion nicht geändert werden darf; die Sache mit „halbe Fläche = halbes Volumen“ sich also nur auf y=x² und nicht auch auf y=x²… bezieht. Aber das sollte ja in der näherungsweisen Betrachtung des Glases auch so sein. Und y=x² ist doch auch nicht linear, wenn ich mich da richtig erinnere (linear=gerade Linie).

#8

Ich formuliere es nochmal aus meiner Sicht, vereinfacht:

Stell das Glas wieder normal hin.

Für die Fläche stapelst du Rechtecke, deren Breite direkt die Breite des Glases an der jeweiligen Stelle ist. Doppelte Breite heißt auch doppelte Fläche des einzelnen Rechtecks

Für das Volumen stapelst du Kreisscheiben, deren Durchmesser auch gleichder Breite des Glases an der Stelle ist. Doppelte Breite heißt doppelter Durchmesser - aber das Volumen vervierfacht sich.

Daher besteht KEIN linearer Zusammenhang zwischen Fläche und Volumen, und du kannst nicht einfach 50% Fläche <=> 50% Volumen annehmen.

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#9

Nein was ich meinte fur y=x^2 ist eher: Fläche sei A = Int(x^2), halbe Fläche ist dann Int(1/2 x^2) = 1/2 Int(x^2), was natürlich die Funktion selbst ändert.

Und warum ich darauf gekommen bin: Zum einen bin ich Algebraiker, für mich ist ein Integral einfach ein lineares Funktional. Zum anderen habe ich mir kurz selbst recht gegeben und mir eine Kugel vorgestellt, die ich in der Mitte durchschneide, dann gucke ich nur noch auf die halbe Fläche (in der Draufsicht) und habe logischerweise das halbe Volumen.

Dein Glas und Deine Funktion habe ich bei meinen Überlegungen ausgeblendet.

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#10

Fun Fact: Das Rotationsparaboloid halbiert das Volumen des umschreibenden Zylinders. Auf diese Weise lässt sich sein Volumen leicht bestimmen, ohne dass man dafür die Integralrechnung benötigt. Diesen Zusammenhang hat Archimedes schon 2000 Jahre vor der Erfindung der Infinitesimalrechnung gefunden.

Liebe Grüße
vom Namenlosen

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#11

Stimmt, diese Eigenschaft war mir sogar bekannt. Und da beim umgebenden Zylinder Radius =x und Höhe y=x² sind, müsste man darüber eigentlich auch zum Ziel kommen müssen. Aber jetzt hakt es bei mir schon wieder.

#12

Ich hätte einfach so gerechnet:
Volumen des Paraboloids: V = 0,5 * pi * r^2 * h
In diesem Fall wird angenommen, dass r^2 = h, so dass sich die Formel zu V = 0,5 * pi * h^2 oder h^2 = V / 0,5 * pi vereinfacht.

h1^2/h2^2 = 2 —> h2 = sqrt(0,5 * h1^2) = h1 * sqrt (0,5) = 3,5cm * sqrt (0,5) = 2,47cm

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#14

Nein, mit Fläche war in der Ursprungsfrage die Fläche innerhalb der Parabel von y=0 bis y beim Volumen 1cl bzw. 2cl gemeint.

#15

So isses. Und da das Volumen des Rotationsparaboloids V = 1/2 π r² h sich wegen y = x² (also h = r²) zu V = 1/2 π h² vereinfacht, ergibt sich die Höhe bei V = 20 aus 40/π = h² genauer zu h = 3,568. Bei V = 10 folgt aus 20/π = h² für die Höhe h = 2,523

Gruß
Metapher

.

#16

Hallo @Wiz

Also die Mittelebene, in der auch die Rotationsachse liegt. Aber die hat für h = 3,5 die Fläche 8,22, nicht 2,18 cm². Deshalb vermutete ich fälschlich, daß der horizontale Kreisschnitt gemeint war…
Die Parabel-Innenfläche, die du meintest, findet man durch Integration von y = -x² + 3,5
→ F = -∫-√3,5+√3,5(x²-3,5)dx = 8,22

Und die Fläche F’ bei der zu V/2 gehörenden Füllhöhe h’= 2,523 ist
F’ = 5,26.
Also keineswegs

Man kann sie für das Errechnen der neuen Füllhöhe gar nicht verwenden…Und es geht ja eh auch viel einfacher, wie gezeigt.

Ich hab den anderen Artikel gelöscht, weil ich darin falsch gerechnet hatte, sorry

Gruß
Metapher

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#17

[quote=„Wiz, post:7, topic:9521193“]
Kreisscheiben …„warum“
[/quote] Generell berechnet man Flächeninhalte „in freier Natur“ nur annähernd anhand von Ober- und Untersummen: ( 2-dimensional ) http://www.mathe-training-oberstufe.de/integrale/integralNaeherung.html. Je kleiner die Schrittweite h wird (nicht nur 0,25 wie im Link), desto mehr Flächen werden berechnet sowie aufsummiert und umso mehr nähern sich die Übereinstimmungen von Ober- und Untersummen und damit (vermutlich) auch der reale Wert des Flächeninhalts an. Wobei Obersummen (idR) zuviel Fläche, Untersummen zuwenig Fläche berechnen.

#18

Das ist mir schon klar. Die Frage nach dem „warum“ bezog sich darauf, warum man nicht von der Halbierung der Fläche auf eine Halbierung des Volumens schließen kann.

#19

Weil es einfach, wenn man richtig rechnet, nicht stimmt. Wie → hier gezeigt.

Un das von dir gewünschte (richtige!) Ergebnis braucht diese ganzen Umwege gar nicht, wie → hier gezeigt.

Irritiert wurdst du vermutlich dadurch, daß einige einen Umweg über die Integration versuchten, man dir stattdessen aber das Verfahren des Integrierens als solches erklären wollten.