Hi allerseits !
Angeblich - so haben wir es in der Schule gelernt - ist 0,9 periodisch ganz genau 1, und kein bisschen weniger. Ist doch seltsam, oder? Wie kann man sich das erklären?
Addiert man zu 9 Zehntel 9 Hundertstel, dann 9 Tausendstel, 9 Zehntausendstel, usw., also immer weniger, kann man doch meiner Meinung nach nicht die Grenze von 1 erreichen, sondern sich deren nur asymptotisch annähern, oder?
Bitte um Aufklärung !
Danke
Ciao
Pierre
Vielleicht kann man es mit einem Beispiel verstehen:
1/3 = 0.3periode
3*1/3 = 1
0.999999999999999999… = 1
Dein beschriebener Prozeß nähert sich 1 an, wie Du richtig sagst. Die periodische Zahl ist sozusagen eine Darstellung des Grenzwertes dieses Prozesses (der 1), man kann keine Differenz zwischen 0.9periode und 1 angeben. Die Differenz ist also 0, sie sind identisch.
Viele Grüße
Frank
Moment…
Hi Leute,
Das Beispiel von Frank mit der Drittelrechnung ist schon recht einleuchtend. Falsch aber ist, daß es keine Möglichkeit gäbe, den Unterschied zwischen 1 und 0,9p anzugeben. Der Unterschied beträgt doch schlicht 0,0p1 (p stellt den Periodestrich der vorangegangenen Ziffer dar).
Oder?
Grüße
Rob.
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Hi Rossy 
Aber ist es denn nicht so, dass
0,0p1 = 0
gilt, denn wenn vor der 1 unendlich viele Nullen stehen, dann sehe ich die 1 ja nie.
cu Stefan.
Unterschied beträgt doch schlicht 0,0p1
(p stellt den Periodestrich der
vorangegangenen Ziffer dar).
Oder?
Eine Eins nach unendlich vielen Nullen…
Die Zahl schreib mal auf.
Es gibt rationale Zahlen, die normalerweise als Br"uche ganzer Zahlen definiert werden. Es gibt Dezimalbr"uche. Die Zuordnung ist nicht eineindeutig. D.h. es gibt nur eine rationale Zahl 1, aber zwei Dezimaldarstellungen, weshalb man "ublicherweise, und weil es k"urzer ist, die mit der 9-er-Periode wegl"asst.
MfG Lutz
Hmmm…
Hey Stefan,
Tjaaa, ich glaube, jetzt berühren wir den mathematisch-philosophischen Bereich dieser Frage. Ich denke, daß dieses Problem nur durch axiomatische Definitionen erklärt werden kann. Ähnlich wie der noch ausstehende Beweis für Unendl. > Unendl. - 1
Im übrigen kann man wohl nicht gelten lassen, daß
0,0p1 = 0
gilt, nur weil man dann die Eins nie sähe. Das ‚nicht-sehen-können‘ der letzten Ziffer einer periodischen Zahl erlaubt dann ja auch jede Spekulation. Odr?
Grüße ;o)
Rob.
wie groß ist denn die differenz?
-)
Hallo,
auch auf die gefahr hin, dass ihr mich jetzt schlachtet:
Tjaaa, ich glaube, jetzt berühren wir den
mathematisch-philosophischen Bereich
dieser Frage.
Glaub ich nicht. Vor jahren musste ich das mal in der dvp beweisen.
Kleiner tip:
forster analysis I s.29
der beweis, daß die dezimalbruchdarstellung nicht eindeutig ist (also 0,9p =1), ist dann ziemlich einfach…
Da ihr aber (fast) alle uniaccounts habt: begebt euch doch einfach in die bibliothek und schaut nach.
Ciao Robert
0,0p1 macht keinen Sinn, erst unendlich viele Nullen und dann eine 1 ? Wann eigentlich? Wenn es undendlich viele Nullen sind, kommt IMMER eine 0 als nächste Ziffer, das ist ja gerade der Witz an der Periode. „Nach dem Unendlichen“ kann nichts anderes kommen, sonst wäre es nicht das Unendliche.
Das wäre ein Widerspruch in sich.
Viele Grüße
Frank
Hallo,
du hast völlig recht
0,0p1 macht keinen Sinn, erst unendlich
viele Nullen und dann eine 1 ? Wann
eigentlich? Wenn es undendlich viele
Nullen sind, kommt IMMER eine 0 als
nächste Ziffer, das ist ja gerade der
Witz an der Periode. „Nach dem
Unendlichen“ kann nichts anderes kommen,
sonst wäre es nicht das Unendliche.
Das wäre ein Widerspruch in sich.
hier kannst du ruhig den indikativ „ist“ verwenden.
Wer es es immer noch nicht glaubt, kann es sich mit Barbaras hilfe überlegen:
Wie groß ist die differenz (delta)?
Also, gebt mir ein delta, und ich gebe euch ein epsilon, sodaß ihr euch ein neues, kleineres delta suchen müßt…
Grüße Robert
ps: damit das hier nicht untergeht: Lutz hat die frage bereits beantwortet.
Hi Rossy
Vielleicht kann man anschaulich wie folgt argumentieren:
Wenn man 0.0p1 mit 0 vergleicht, kommt man zu jedem Zeitpunkt zu dem Ergebnis, dass zwischen beiden kein Unterschied besteht, ganz egal, wie schnell man den Vergleich durchführt:
0.0p1 = 0.0000000000000000…
0 = 0.0000000000000000…
Ein Unterschied zwischen 0.0p1 und 0 kann daher niemals „gemessen“ werden. Also sind beide doch identisch …
Ich bin nur ein doofer Physiker, die es mit der Genauigkeit der Mathematik bekanntlich nicht so ernst nehmen, also lasst Gnade walten …
cu Stefan.
Wer es es immer noch nicht glaubt, kann
es sich mit Barbaras hilfe überlegen:
Wie groß ist die differenz (delta)?
Ich bin zwar kein Mathematiker, aber vielleicht gerade deshalb finde ich es schon faszinierend, über den Rückschluß: „He, es läßt sich kein Unterschied angeben“ auf die Idee zu kommen, es handele sich um die gleiche Zahl. Das Problem haben wir doch nur wegen unserer mangenden Vorstellungskraft, was die Unendlichkeit betrifft. Aber jeder „weiss“ doch, daß 0,999 usw. genau 0,999 und 1 eben 1 ist.
Ich als Laie würde einfach sagen: „He, das ist so verdammt nah an der 1, da runden wir eben auf, läßt sich besser rechnen…“
Claudio
*dieverwirrungvergrößer*
Hallo,
Ich bin zwar kein Mathematiker, aber
vielleicht gerade deshalb finde ich es
schon faszinierend, über den Rückschluß:
„He, es läßt sich kein Unterschied
angeben“ auf die Idee zu kommen, es
handele sich um die gleiche Zahl.
Das ist heute die übliche vorgehensweise in der analysis.
Das
Problem haben wir doch nur wegen unserer
mangenden Vorstellungskraft, was die
Unendlichkeit betrifft.
Genau, und wenn ich jetzt noch sage, daß Newton mit Hilfe unendlich kleiner zahlen (=differentialen) die differentialrechnung begründet hat, ist die verwirrung komplett.
Wie bei der diskussion klar geworden sein sollte, gibt es diese unendlich kleinen zahlen in R nicht. Du kannst dir den aufschrei in der mathematikwelt vorstellen, als definitiv klar wurde, dass es keine unendlich kleinen zahlen gibt. War die ganze analysis falsch? Aus einer falschen annahme folgen ja leider auch falsche schlüsse? Kurz, es mußte alles neu mit hilfe der „epsilontik“ neu bewiesen werden…
Übrigens gibt es auch einen „reparaturversuch“, der R um unenedlich kleine „Zahlen“ erweitert. Aber da sind wir bei der nonstandard analysis, bei der ich die bücher auch nur mal kurz aufgeblättert habe, um sie wieder ins regal zu stellen.
Vielleicht ließt ja ein Mathematikhistoriker mit und kann die details genauer erläutern.
Ich als Laie würde einfach sagen: „He,
das ist so verdammt nah an der 1, da
runden wir eben auf, läßt sich besser
rechnen…“
Der physiker macht es auch nicht anders.
Grüße Robert
*einphysiker*
Hallo Stefan,
ja, ich schon wieder!!
Ich bin nur ein doofer Physiker, die es
mit der Genauigkeit der Mathematik
bekanntlich nicht so ernst nehmen, also
lasst Gnade walten …
wenn ich gewusst haette, dass du Physiker bist, waere ich in der Diskussion unten vorsichtiger gewesen
Gruss, Niels
Hi,
((Non Standard Analysis - Internal Set Theorie, Vater: Nelson 1972))
Übrigens gibt es auch einen:„reparaturversuch“, der R um unenedlich:kleine „Zahlen“ erweitert. Aber da sind:wir bei der nonstandard analysis, bei der:ich die bücher auch nur mal kurz:aufgeblättert habe, um sie wieder ins:regal zu stellen.
Vielleicht die verkehrten B"ucher erwischt. F"ur einen Physiker vielleicht nicht uninteressant:
Lecture Notes in Mathematics Band 881 Goze/Lutz (nicht ich, sondern aus Grenoble): Non Standard Analysis (wie auch sonst), mit vielen Beispielen zu singul"aren Problemen,
kurz und anschaulich ein Kapitel in:
Ian Stewart:Mathematik (Fragen Probleme Anwendungen(??))
und wenn Du rankommst, die B"ucher vom Ehepaar Diener zum Thema, ist auf franz"osisch und evtl. nur in franz"osischen (Uni-)Bibliotheken zu finden.
MfG Lutz
PS: zur Historie gibt es ein Buch von einem Herrn Spalt, entweder das:
Vom Mythos der Mathematischen Vernunft. Eine Archaeologie zum Grundlagenstreit der Analysis oder Dokumentation
einer vergeblichen Suche nach der Einheit der Mathematischen Vernunft.
oder das
Die Vernunft im Cauchy-Mythos. Synthetischer Aufbau einer Analysis: Herkunft, Missverstaendnisse und Herkunft der
Missverstaendnisse.
Eins war als Dialog geschrieben und recht gut lesbar, auch wenn die Aufgeregtheit in den Dialogen oft "ubertrieben scheint.
Werde mal reinschauen (OT)
,
Hi Niels
wenn ich gewusst haette, dass du Physiker
bist, waere ich in der Diskussion unten
vorsichtiger gewesen
Ja, ich kann mich manchmal ganz gut tarnen. Es ist für mich selbst erschreckend, wie viel ich trotz Phyisk-Studiums noch nicht weiss. Aber wie du schon unten geschrieben hast: Wir meinten doch eigentlich dasselbe!
Im Physik-Studium sind viele Sachen, die hier diskutiert werden, keine Pflichtveranstaltungen. Allgemeine Relativitätstheorie z.B. kannst du hören, musst du aber nicht. Ich habe lieber nebenbei noch Informatik studiert, damit ich heute von irgendwas leben kann ))
Viele Grüße
Stefan.
Es gibt Dezimalbr"uche.
Die Zuordnung ist nicht eineindeutig.
D.h. es gibt nur eine rationale Zahl 1,
aber zwei Dezimaldarstellungen, weshalb
man "ublicherweise, und weil es k"urzer
ist, die mit der 9-er-Periode wegl"asst.MfG Lutz
Hier ist der Mann,der Ahnung hat!!!
Ich wollte das nur einmal bestätigen.
MfG Tyll
Hallo,
auch auf die gefahr hin, dass ihr mich
jetzt schlachtet:Tjaaa, ich glaube, jetzt berühren wir den
mathematisch-philosophischen Bereich
dieser Frage.Glaub ich nicht. Vor jahren musste ich
das mal in der dvp beweisen.
Kleiner tip:
forster analysis I s.29der beweis, daß die
dezimalbruchdarstellung nicht eindeutig
ist (also 0,9p =1), ist dann ziemlich
einfach…
Hab jetzt nicht in den Forster geschaut, aber der Beweis müßte doch einfach mit der geometrischen Reihe funktionieren. Sowas kennen sogar Physiker
Hallo
Hab jetzt nicht in den Forster geschaut,
aber der Beweis müßte doch einfach mit
der geometrischen Reihe funktionieren.
Ich dachte an
delta_n=1-summe(n,0,m)9*10^-n