Winkelfunktionen

Wissenschaft Physik
#1

Hai, Mathe-Profis,

ich brauch schon wieder mal 'ne Entwirrung. Diesmal geht’s um die schon genannten Winkelfunktionen.
Nehmen wir ein schlichtes Beispiel: ein Dreieck mit den Maßen 3, 4 und 5. Die Gegenkathete zu alpha sei 4
In dem Buch steht

 Gegenkathete
sin alpha = ------------
 Hypothenuse also
 
 4
sin alpha = ---
 5

4 durch 5 auszurechnen, ist ja nun nicht gerade die Hürde :wink:
Nur, mit dem Ergebnis komm ich zu meinem Problem: was mach ich nun mit der 0,8? In einer Tabelle suchen, klar (~53°10’), aaaber…
Wie komm ich rechnerisch auf die Gradzahl von alpha?

Gibt’s 'ne Formel?

Gruß
Sibylle
(wo man überall merkwürdige Lücken findet, wenn man Schulstoff wieder auffrischen will)

#2

Wieder mal hai.

Hai, Mathe-Profis,
Nur, mit dem Ergebnis komm ich zu meinem Problem: was :mach ich
nun mit der 0,8? In einer Tabelle suchen, klar (~53°10’),
aaaber…
Wie komm ich rechnerisch auf die Gradzahl von :alpha?

Vielleicht, aber die Animation unter http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus sollte den Weg vom Ergebnis zum Winkel auch erklären können.

HTH
mfg M.L.

#3

Hallo,

man kann Sinus und Cosinus auch als Reihe berechnen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Alternierende_Reihe

Gruß
Axel

#4

Wie komm ich rechnerisch auf die Gradzahl von alpha?

Gibt’s 'ne Formel?

Alle wissenschaftlichen Taschenrechner haben, meist als Zweitbelegung der sin-Taste auch die „Arcus-Sinus-Funktion“ (oder so ähnlich) drauf. Die Bezeichnung an der Taste ist meistens entweder „arc sin“ oder, vor allem bei amerikanischen Rechnern, „sin^-1“ (was völliger Unsinn ist, aber naja…). Wenn du da deine 0,8 reinwirfst, kommt 53,130 raus.

Da ich in Mathe aber nicht so die Leuchte bin, kann ich dir leider nicht sagen, wie der Rechner darauf kommt und ob es eine Formel gibt bzw. wie die lautet. Mein alter Mathelehrer war der festen Überzeugung, dass alles, was mit Sinus zu tun hat, im Rechner vorgespeichert ist und da gar nicht ausgerechnet wird, aber das glaube ich nicht, dazu gibt es einfach zu viele Zahlen, die man einsetzen kann :smile:.

#5

hallo,

mit der matheleuchte gehts mir ähnlich -(
meine mich aber dunkel zu erinnern das man den winkel mittels diffentialrechnung (kurvendisskusion) errechnen kann.
(diesbezüglich dürfte dein lehrer also falsch liegen)

gruss wgn

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#6

Hallo

Gibt’s 'ne Formel?

Die gute Nachricht zuerst: es gibt eine Formel sowohl für den Sinus/Cosinus (siehe auch Posting von Axel), als auch für den arcsin/arccos (das ist ja das, was du brauchst). Die schlechte Nachricht folgt sogleich: diese Formeln sind zum Beispiel Potenzreihen, d.h. unendliche Summen, die nummerisch (fast) nicht zu berechnen sind.
Da aber der Taschenrechner sowieso die meisten Zahlen nicht genau abspeichern kann, kann man auch damit leben, diese Werte nicht genau zu berechnen. Ich weiss zwar nicht genau, wie es Taschenrechner machen, aber ich vermute mal, dass sie von der unendlichen Summe nur endlich viele Summanden nehmen und dies als Näherung für die richtige Lösung wählen. Wieviel Summanden es sein sollten, damit man eine vorgegebene Genauigkeit erhält, lässt sich berechnen.
Wie gesagt, ich kenne die Software auf aktuellen Taschenrechnern nicht, aber vor Urzeiten habe ich diese Methode im Assembler-Quelltext des C64 (wer kennt den noch?) „entdeckt“.
Eine andere Methode wäre sicher die vorgeschlagene Tabelle mit den vorberechneten Werten. Aber nur vom Speicherbedarf dafür her, kann ich mir nicht vorstellen, dass dieser Weg gewählt wird. Aber in der Zeit vor den Taschenrechnern gab es Bücher mit Tabellen, in denen diese Werte nachgeschlagen werden konnten.

Gruss Urs

#7

Anmerkung Taschenrechner
Hallo,
wie das ein Taschenrechner ausrechnet, kommt schlicht auf den Rechner an. Es gibt welche (vor allem modernere), die die Winkelfunktionen mittels Reihenentwicklung ausrechnen (siehe mein Link unten), andere benutzen Tabellen, wobei Zwischenwerte interpoliert werden.
Ist eine Frage der Rechenleistung und des Speichers.
Mit Kurvendiskussion kann ein Rechner nichts anfangen, das wäre denn doch ein wenig zu aufwendig und die Ableitung vom Sinus ist der Cosinus, weshalb das auch nicht weiterhilft.

Btw., beim Taschenrechner sollte man immer aufpassen, ob der ausgerechnete Winkel in Grad, Bogenmaß oder Neugrad ausgegeben bzw. berechnet worden ist. Sonst kommt man auf ganz irre Ergebnisse. Und deshalb sollte man wenigstens grob wissen, was rauskommen muß, bevor man die Taste drückt.

Gruß
Axel

#8

Hai, Markus,

Vielleicht, aber die Animation unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus sollte den Weg vom Ergebnis
zum Winkel auch erklären können.

boah - Input…
Ob allerdings die Antwort auf meine „eigentliche“ Frage drin ist, weiß ich noch nicht - da muß ich erstmal in mich gehen und den Kram durchdenken (zumal ich nicht mal sicher bin, was eigentlich mein Problem ist - es hat was mit meiner Abneigung gegen „musst halt in der Tabelle nachsehen“ zu tun)

Gruß
Sibylle

#9

Hai, Axel,

man kann Sinus und Cosinus auch als Reihe berechnen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Alternierende_Reihe

hmmm - das könnte sein, was ich suche…
Danke

Gruß
Sibylle

#10

Hai, Markus,

Alle wissenschaftlichen Taschenrechner haben, meist als

die Taste auf’m Taschenrechner hab ich schon entdeckt :wink:;
ich will aber nicht den Taschenrechner nehmen - ich will selber *aufstampf*

Gruß
Sibylle
(die ja einsieht, daß sie manchmal merkwürdige Probleme hat)

#11

Hai, Urs,

Die gute Nachricht zuerst: es gibt eine Formel sowohl für den
Sinus/Cosinus (siehe auch Posting von Axel), als auch für den

schon entdeckt - muß ich aber erstmal mit eingeschaltetem Lernmodus durchgehen.

arcsin/arccos (das ist ja das, was du brauchst). Die schlechte

Wieso brauch ich den Arcsin, wenn ich wissen will, nach welcher Formel man einen Sinus berechnet?

Nachricht folgt sogleich: diese Formeln sind zum Beispiel
Potenzreihen, d.h. unendliche Summen, die nummerisch (fast)
nicht zu berechnen sind.

Na, ich will ja nicht wirklich alle möglichen Werte ausrechnen - ich hab nur irgendwann mal festgestellt, daß ich mir die Verwendung von „Blackboxen“ nicht merken kann, wenn ich nicht weiß, was in dieser „Blackbox“ passiert und wie sie funktioniert…

Da aber der Taschenrechner sowieso die meisten Zahlen nicht

Wat habt ihr nur alle mit Taschenrechnern?

Gruß
Sibylle

#12

alter besserwisser *grmpf* :smile: (owt)
hab doch owt geschrieben, dumpfbacke *g*

#13

Hallo

arcsin/arccos (das ist ja das, was du brauchst). Die schlechte

Wieso brauch ich den Arcsin, wenn ich wissen will, nach
welcher Formel man einen Sinus berechnet?

Weil Deine Frage war, wie Du die Gleichung alpha = sin (0.8) lösen kannst. Und die Lösung ist alpha = arcsin(0.8); das ist alles. Das ist, wie wenn Du die Lösung von x2 = 4 willst und deshalb x = Wurzel(4) = 2 rechnest.

Nachricht folgt sogleich: diese Formeln sind zum Beispiel
Potenzreihen, d.h. unendliche Summen, die nummerisch (fast)
nicht zu berechnen sind.

Na, ich will ja nicht wirklich alle möglichen Werte
ausrechnen - ich hab nur irgendwann mal festgestellt, daß ich
mir die Verwendung von „Blackboxen“ nicht merken kann, wenn
ich nicht weiß, was in dieser „Blackbox“ passiert und wie sie
funktioniert…

Es geht nicht darum, dass man damit nicht alle Werte berechnen kann, sondern dass diese Formel für ganz wenige Zahlen wirklich genau berechenbar ist. Für alle anderen Werte stellt diese Reihe zwar die (theoretische) Lösung dar, aber Du kriegst keine Dezimaldarstellung oder sonst eine Darstellung, mit der man wirklich was anfangen kann. In diesen Fällen kriegst Du bestenfalls ein gut Approximation.

Wat habt ihr nur alle mit Taschenrechnern?

Weil sich die Programmierer von Taschenrechner genau mit dem Problem herumgeschlagen haben, wie Du auch und eine oder mehrere Lösungen gefunden haben, die hinreichend gut sind.

Gruss Urs

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#14

offtopic

Rechnern, „sin^-1“ (was völliger Unsinn ist, aber naja…).
Wenn du da deine 0,8 reinwirfst, kommt 53,130 raus.

das ist kein völliger unsinn denn sin^(-1) mient nicht 1/sin sondern wie immer bei f^(-1) die Umkehrfunktion - und die ist der arcussinus
ciao
martin

#15

Weil Deine Frage war, wie Du die Gleichung alpha = sin (0.8)
lösen kannst. Und die Lösung ist alpha = arcsin(0.8)

ich dachte es ging um die gleichung sin(alpha)=0.8
??was ist alpha??
alpha =arcsin(sin(alpha))=arcsin(0.8)

ciao martin

#16

Hallo

Weil Deine Frage war, wie Du die Gleichung alpha = sin (0.8)
lösen kannst. Und die Lösung ist alpha = arcsin(0.8)

ich dachte es ging um die gleichung sin(alpha)=0.8
??was ist alpha??
alpha =arcsin(sin(alpha))=arcsin(0.8)

Du hast natürlich recht und das wollte ich auch schreiben. Da haben die Finger nicht das getippt, was mein Hirn gedacht hat.

Gruss Urs

#17

das ist kein völliger unsinn denn sin^(-1) mient nicht 1/sin
sondern wie immer bei f^(-1) die Umkehrfunktion - und die ist
der arcussinus

Also ich weiß, dass ich oft neben mir stehe und ne Menge Unsinn schreibe, aber das habe ich ebenfalls von meinem Mathelehrer… und irgendwie erschien es mir einleuchtend damals, denn Umkehrufnktionen hatten wir da noch nicht, Potenzen aber schon :smiley:

#18

Hallo Sibylle,

ein paar von den benötigten Formeln findest Du hier:

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Arc…

Such Dir eine Formel aus, oder schmökere weiter bei wolfram.com.
Da gibt es einiges zu entdecken. Einmal hab ich sogar einen Fehler entdeckt. Ist aber schon behoben.

Viele Grüße
Stefan

#19

Hai, Stefan,

mehr Hirnfutter - Danke

Gruß
Sibylle

#20

Kurze Anmerkung
Hai, Urs,

Weil Deine Frage war, wie Du die Gleichung alpha = sin (0.8)
lösen kannst.

da haben wir’s erwischt, das Mißverständnis: ich will sie nicht lösen (da könnte ich in die Tabelle sehen, oder eben nach dem arcsin in einer anderen Tabelle, oder einfach den Taschenrechner benutzen), sondern wissen, wie man sowas rechnet - da hab ich aber nun Quellen für…

mit der man wirklich was anfangen kann. In diesen Fällen
kriegst Du bestenfalls ein gut Approximation.

Oooch - das reicht mir ja, um das Prinzip zu verstehen…

Weil sich die Programmierer von Taschenrechner genau mit dem
Problem herumgeschlagen haben, wie Du auch und eine oder
mehrere Lösungen gefunden haben, die hinreichend gut sind.

Und warum hast Du mir nicht deren Lösungen gepostet, oder gemailt? Hm? HMM? Dipl.math. und dann nicht mal 'ne gaaanz einfache, völlig verständlich und klar formulierte Anfrage verstehen - diese jungen Leute heutzutage bedenkliches-Gesicht-zieh**mit-dem-Kopf-wackel

Gruß
Sibylle

PS: Ich hoffe, Du ‚siehst‘ mein breites Grinsen beim Lesen des letzten Absatzes…

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