Hallo Olaf,
gibt es dafür einen anschaulichen oder einfachen Beweis?
Zunächst mal ist es egal, wieviele Dimensionen der Raum hat, in dem die beiden Vektoren liegen, deren Winkelhalbierende gesucht wird. Zur Veranschaulichung kannst Du ein Blatt Papier in diesem n-Dimensionalen Raum so anordnen, dass gerade beide Vektoren in der Blattebene zu liegen kommen. Das erstmal, dass es anschaulich wird.
Wenn Du zwei Vektoren addierst, geschieht das anschaulicherweise mit so etwas wie einem Kräfteparallelogramm. Du zeichnest jeden Vektor zweimal hin, jeden Vektor jeweils einmal als die zwei gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms. Die Summe der Vektoren ist dann die Diagonale in diesem Parallelogramm.
Wenn Du zwei Vektoren hast, die gleich lang sind, aber in unterschiedliche Richtungen weisen, dann sind alle vier seiten des (Kräfte-)Parallelogramms gleich lang: eine Raute. Die Diagonalen der Raute sind die Winkelhalbierenden ihrer Eckenwinkel.
Jetzt bleibt also nur noch die Frage, wie kommt man zu zwei gleichlangen Vektoren, wenn man vorher zwei Vektoren hatte, die unterschiedlich lang sind. Das Stichwort hier ist. Einheitsvektor. Von den beiden Vektoren hast Du ja nicht nur deren Länge, sondern auch deren Richtung. Also nimmst Du einen Vektor mit ebendieser Richtung und der Länge eins. Das wird üblicherweise so gemacht, dass der Vektor skalar mit dem Kehrwert seiner Länge multipliziert wird. Dadurch erhält man einen Vektor der Länge eins und die Richtung ändert sich dabei nicht.
Und jetzt die Hausaufgabe: Wie sieht die Formel für die Winkelhalbierende zweier Vektoren im 8-dimensionalen Raum aus. Einfach oder?
Viele Grüße
Stefan
