Hey Rätselfreunde
das Spiel mit den 3 Toren (davon 2 Nieten) kennt wohl jeder.
Der Kandidat wählt ein Tor aus, daraufhin öffnet der Moderator ein Tor, welches der Kandidat nicht gewählt hat und das sicher eine Niete ist(der Moderator weiß das).
Nun bietet er dem Kandidaten an, sich das Ganze noch einmal zu überlegen.
Frage:
Ist es sinnvoller sich umzuentscheiden, die alte Auswahl beizubehalten oder ist es egal???
Uli
P.S.: Wenn es nicht egal ist, wie sind die Wahrscheinlichkeiten…
Es ist sinnvoller zu wechseln.
Vorher war die Chance 33% für jedes Tor, nach dem Öffnen einer Niete ist die Chance für das verbleibende Tor 66%, für das vorher gewählte 33%.
Anschaulicher wird es bei 100 Toren, wobei die Chance erst 1% war, nach dem bewußten Öffnen der 98 Nieten ist der Gewinn zu 99% hinter dem verbliebenen, nicht gewälten Tor. Da ist das Wechseln zu empfehlen.
Carlo
Vorher war die Chance 33% für jedes Tor, nach dem Öffnen einer
Niete ist die Chance für das verbleibende Tor 66%, für das
vorher gewählte 33%.
Anschaulicher wird es bei 100 Toren, wobei die Chance erst 1%
war, nach dem bewußten Öffnen der 98 Nieten ist der Gewinn zu
99% hinter dem verbliebenen, nicht gewälten Tor. Da ist das
Wechseln zu empfehlen.
Wieso??
Wenn 1 Tor mit einer Niete wegfällt, dann bleiben doch 1 Tor mit Niete und 1 Tor mit Gewinn übrig, das ist doch eine 50:50 Chance. Also ist es meiner Meinung nach egal, welches Tor von den beiden verbleibenden man wählt.
Auch bei 100 Toren ändert sich daran nichts. Wenn 98 Nieten geöffnet worden sind, dann bleiben 2 Tore übrig und das ist wieder die 50:50 Chance.
Oder?
Servus
Roland
Erklärt es nochmal
Angenommen es bestehen die Tore A B und C. Der Kandidat entscheidet sich für Tor A. Jetzt gibt es 3 Möglichkeiten:
Der Gewinn ist hinter Tor A. In diesem Fall würde der Kandidat beim Wechseln verlieren.
Der Gewinn ist hinter Tor B. Der Moderator wird Tor C öffnen (er kann Tor A nicht öffnen lassen, da es bereits gewählt wurde)
Wenn der Kandidat jetzt wechselt gewinnt er.
Der Gewinn ist hinter Tor C. Der Moderatot wird Tor B öffnen, woraufhin ein Wechsel des Tores den Gewinn sichert.
Fazit: In den drei Fällen gewinnt der Wechsel des Tores in 2/3 der Fälle. Die Erfolgschance erhöht sich also beim Wechsel des Tores von 1/3 auf 2/3.
Max (Quizshow-Semiexperte)
Buchtip
Hier gibt es noch viel mehr solcher Beispiele.
Das Ziegenproblem. Denken in Wahrscheinlichkeiten. ( science).
Gero von Randow
Taschenbuch - 176 Seiten (1992) Rowohlt TB-V., Rnb.; http://www.amazon.de/exec/obidos/ASIN/349919337X/car…
Hallo Roland
Wieso??
Wenn 1 Tor mit einer Niete wegfällt, dann bleiben doch 1 Tor
mit Niete und 1 Tor mit Gewinn übrig, das ist doch eine 50:50
Chance. Also ist es meiner Meinung nach egal, welches Tor von
den beiden verbleibenden man wählt.
Auch bei 100 Toren ändert sich daran nichts. Wenn 98 Nieten
geöffnet worden sind, dann bleiben 2 Tore übrig und das ist
wieder die 50:50 Chance.
Wenn der Kandidat sich entschließt, noch einmal eine Wahl
zwischen den 2 Toren zu treffen
(so als würde er die Vorgeschichte des Spiels gar nicht mehr kennen)
dann stehen die Chancen tatsächlich 50:50.
Bei der Wechselstrategie tut er das aber nicht, sondern wechselt auch jeden Fall auf das anderes noch geschlossene Tor und
erhöht somit seine Chance auf 2/3
Max hat dazu eine gute anschauliche Erklärung.
Gruß, weiser mann
Denkfehler!
Hallo!
Die Frage lautet doch, was besser ist, wenn schon ein (falsches) Tor geöffnet ist und nicht vorher. Somit fällt (nach Deinem Beispiel) entweder Möglichkeit 2 oder 3 weg (weil ja hinter dem geöffneten Tor nun keinesfalls der Gewinn war), 2 Möglichkeiten bleiben, macht eine 50:50-Chance.
Gruß
Jürgen
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
oh, nicht schon wieder 
Hallo Jürgen
Das Rätsel (ob’s überhaupt ein ist, ist eine andere Frage 
taucht hier schon des öfteren auf, gab’s zuletzt vor 2 Monaten,
und löst zumal heftige Diskussionen aus
Hier ein Link zu diesem Tread
http://www.wer-weiss-was.de/cgi-bin/forum/showarchiv…
Lies ihn mal durch, solltest du dann immer noch Fragen haben,
melde dich noch mal. Ich versuch mir dann noch ein paar anschauliche Erklärungen auszudenken.
Ciao, weiser mann
Die Frage lautet doch, was besser ist, wenn schon ein
(falsches) Tor geöffnet ist und nicht vorher. Somit fällt
(nach Deinem Beispiel) entweder Möglichkeit 2 oder 3 weg (weil
ja hinter dem geöffneten Tor nun keinesfalls der Gewinn war),
2 Möglichkeiten bleiben, macht eine 50:50-Chance.
Wenn die Chancen wirklich 50% betragen würden, dann müßte der Spieler, wenn er bei seiner Wahl bleibt, in der Hälfte aller Fälle den Gewinn kassieren. Da der Spieler ohnehin bei seiner Wahl bleibt ist es auch egal, ob der Showmaster noch ein weiteres Tor öffnet oder nicht. Das würde bedeuten, daß der Spieler unter drei Toren mit 50%iger Wahrscheinlichkeit immer das richtige erwischt. Das ist aber sicher nicht der Fall.
Tatsächlich beträgt diese Wahrscheinlichkeit nur 1/3 und der Gewinn verbirgt sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 hinter einem der beiden anderen Tore. Wenn der Showmaster freundlicherweise verrät, hinter welchem dieser beiden Tore sich der Gewinn nicht befindet, entfällt die 2/3-Wahrscheinlichkeit allein auf das verbleibende Tor.
oh, nicht schon wieder -> OH DOCH!
Lies ihn mal durch, solltest du dann immer noch Fragen haben,
melde dich noch mal. Ich versuch mir dann noch ein paar
anschauliche Erklärungen auszudenken.
Klingt ja alles lieb und nett, aber Du brauchst mich nicht zu überzeugen, weil ich weiß, daß ich recht habe *g*
Daß das alles vor 2 Monaten diskutiert wurde, ist für mich aus 2 Gründen uninteressant:
(1) Ich habe damals nicht mitgemacht.
(2) Viele sind bei Ihrer falschen Meinung geblieben.*g*
Versuche das mal auch mit einem anschaulichen Beispiel: Herr X und Herr Y spielen beide dasselbe Spiel, d.h. der Gewinn ist für beide hinterm selben Tor. X wählt 1, Y wählt 2. 3 wird geöffnet, weils ne Niete ist. Frage: Für wen ist die Chance 2/3 beim Wechsel? Für beide?
Außerdem: wenn die Chancen 1/3 beim Beibehalten sind und 2/3 beim Wechsel, heißt das ja, daß die 1/3-Chance vom falschen, geöffneten Tor voll und ganz auf das nicht gewählte noch geschlossene Tor übergeht oder übersetzt: Ich habe Tor 1 gewählt, Tor 3 ist falsch, also schlußfolgere ich: Wenn der Gewinn nicht in Tor 3 war, ist er wohl in Tor 2 und nicht in dem von mir gewählten Tor 1 !? -> Quatsch mit Soße.
Meine Zusammenfassung:
Theorie der Pessimisten/Optimisten (je nach Betrachtungsweise): die 1/3:2/3-Theorie
Theorie der Realisten: 50:50-Theorie
Gruß
Jürgen
P.S. Wenn Du bei Deiner Meinung bleibst hätte ich gern eine Antwort auf die XY-Frage und biete Dir ebenfalls an, Dir anhand anderer anschaulicher Beispiele das nochmal zu erklären *bg*
(1) Ich habe damals nicht mitgemacht.
Hättest Du aber tun sollen,
(2) Viele sind bei Ihrer falschen Meinung geblieben.*g*
Zum Beispiel Du.
Versuche das mal auch mit einem anschaulichen Beispiel: Herr X
und Herr Y spielen beide dasselbe Spiel, d.h. der Gewinn ist
für beide hinterm selben Tor. X wählt 1, Y wählt 2. 3 wird
geöffnet, weils ne Niete ist.
Woher weißt Du, daß 3 eine Niete ist?
und biete Dir ebenfalls an, Dir
anhand anderer anschaulicher Beispiele das nochmal zu erklären
Ich bitte darum :o)
(1) Ich habe damals nicht mitgemacht.
Hättest Du aber tun sollen,
*zustimm*
(2) Viele sind bei Ihrer falschen Meinung geblieben.*g*
Zum Beispiel Du.
*nichtzustimmunddabeisichersei*
Versuche das mal auch mit einem anschaulichen Beispiel: Herr X
und Herr Y spielen beide dasselbe Spiel, d.h. der Gewinn ist
für beide hinterm selben Tor. X wählt 1, Y wählt 2. 3 wird
geöffnet, weils ne Niete ist.Woher weißt Du, daß 3 eine Niete ist?
Weils der Moderator geöffnet hat!? Ist halt ein Beispiel. Die Frage bleibt offen.
und biete Dir ebenfalls an, Dir
anhand anderer anschaulicher Beispiele das nochmal zu erklärenIch bitte darum :o)
Wenn mir noch was einfällt!
Kein Kommentar zu meiner anderen Erklärung? (Chance geht auf anderes Tor über)
Woher weißt Du, daß 3 eine Niete ist?
Weils der Moderator geöffnet hat!?
Das vom Moderator geöffnete Tor wird nicht erst in dem Augenblick zur Niete, wenn es geöffnet wird. Es war schon vor Beginn des Spiels eine Niete. Analog gilt das auch für die beiden anderen Tore. Der Moderator darf Tor 3 also nur in 2/3 aller Fälle öffnen, weil in 1/3 aller Fälle der Gewinn dahinter ist. Da ein solcher Fall nach der Aufgabenstellung nicht eintreten kann ist Dein Beispiel für unsere Betrachtung untauglich.
Kein Kommentar zu meiner anderen Erklärung? (Chance geht auf
anderes Tor über)
Natürlich tut sie das. Wo soll sie sonst bleiben? Die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter dem Tor liegt, das der Kandidat ursprünglich gewählt hat, beträgt von Anfang an 1/3. Wäre die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter dem verbleibenden Tor liegt genauso groß, würde sie insgesamt 2/3 betragen. Das geht aber nicht, weil der Gewinn ja ganz sicher hinter einem der Tore liegt.
Wir können die Spielregeln auch etwas ändern:
Der Kanditat darf sich entweder für ein Tor entscheiden und erhält sofort dessen Inhalt (das wäre dann so, als ob er nicht wechselt). Oder er darf ein Tor rausschmeißen und der Moderator entfernt von diesen beiden ein Tor mit einer Niete (das wäre dann so, als ob der Kandidat wechselt). Wie groß wären die Wahrscheinlichkeiten jetzt?
Kein Kommentar zu meiner anderen Erklärung? (Chance geht auf
anderes Tor über)Natürlich tut sie das. Wo soll sie sonst bleiben? Die
Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter dem Tor liegt, das
der Kandidat ursprünglich gewählt hat, beträgt von Anfang an
1/3. Wäre die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter dem
verbleibenden Tor liegt genauso groß, würde sie insgesamt 2/3
betragen. Das geht aber nicht, weil der Gewinn ja ganz sicher
hinter einem der Tore liegt.
OK, anderer Erklärungsversuch: Die Chance für das gewählte Tor ist 1/3 (wenn man die Gesamtsituation berücksichtigt). Die für das nicht gewählte, aber noch geschlossene Tor aber auch. Die 1/3-Chance vom geöffneten Tor kann vernachlässigt werden. Bleibt 1/3 zu 1/3, was im Endeffekt dasselbe wie 50:50 ist. Es ist doch Mumpitz anzunehmen, daß die Aufdeckung der Niete es wahrscheinlicher werden läßt, daß der Gewinn hinter dem nicht gewählten Tor ist, wenn man behauptet, die Wahrscheinlichkeit, daß er hinter „meinem“ Tor liegt bleibt gleich (niedrig).
Der Denkfehler liegt darin, daß Ihr die Wahrscheinlichkeit des gewählten Tores von Beginn an unverändert laßt und die Differenz zu 1 immer auf das andere Tor packt.
Zu meinem anderen Beispiel: Natürlich taugt’s was. Mal ein bißchen anders ausgedrückt: Ich wähle Tor 1, Tor 3 (=Niete) wird aufgedeckt. Nach Eurer Theorie ist die Wahrscheinlichkeit nun 1/3, daß es Tor 1 ist, 2/3 unter Tor 2. Also sollte ich Tor 2 nehmen. Ich denke ein wenig nach: Wenn ich mich zu Beginn für Tor 2 entschieden hätte, hätte der Moderator genauso gut Tor 3 öffnen können und ich müßte mich jetzt auf Tor 1 umentscheiden.
Die Wahrscheinlichkeit hängt also nur davon ab, wofür ich mich zu Beginn entschieden habe, auch wenn alles andere gleich bleibt, d.h. meine Entscheidung verschiebt Wahrscheinlichkeiten? Wohl nicht!
Wir können die Spielregeln auch etwas ändern:
Der Kanditat darf sich entweder für ein Tor entscheiden und
erhält sofort dessen Inhalt (das wäre dann so, als ob er nicht
wechselt). Oder er darf ein Tor rausschmeißen und der
Moderator entfernt von diesen beiden ein Tor mit einer Niete
(das wäre dann so, als ob der Kandidat wechselt). Wie groß
wären die Wahrscheinlichkeiten jetzt?
Nicht verstanden.
Jürgen
P.S. Zu welchem Schluß kam der Autor des zitierten Buches? Und was sagt Weiser Mann zu den neuen Argumenten?
für alle die immer noch nicht glauben können das sich die Chancen bei einem Wechsel erhöhen sollen doch mal bitte das
Archiv lesen.
Da hat jemand das ganze mit Computer und 2 Mio Versuchen gerechnet und das Ergebnis war 2/3 zu 1/3.
Gruß
Gabriel
(derjetztzumPredigergewordenist)
OK, anderer Erklärungsversuch: Die Chance für das gewählte Tor
ist 1/3 (wenn man die Gesamtsituation berücksichtigt). Die für
das nicht gewählte, aber noch geschlossene Tor aber auch. Die
1/3-Chance vom geöffneten Tor kann vernachlässigt werden.
Bleibt 1/3 zu 1/3, was im Endeffekt dasselbe wie 50:50 ist.
Eben nicht: 1/3 + 1/3 = 2/3
Versteh ich nicht
Hey Rätselfreunde
das Spiel mit den 3 Toren (davon 2 Nieten) kennt wohl jeder.
Der Kandidat wählt ein Tor aus, daraufhin öffnet der Moderator
ein Tor, welches der Kandidat nicht gewählt hat und das sicher
eine Niete ist(der Moderator weiß das).
Nun bietet er dem Kandidaten an, sich das Ganze noch einmal zu
überlegen.
Frage:
Ist es sinnvoller sich umzuentscheiden, die alte Auswahl
beizubehalten oder ist es egal???
Versteh ich nicht. Wenn der Moderator schon eine Niete geöffnet hat, warum sollte sich der Kandidat umentscheiden? Aus einer 1 zu 2 Situation hat er (der Moderator) eine 1 zu 1 gemacht. Oder werden anschließend wieder alle Tore verschlossen und die Preise dahinter zufällig vertauscht?
Unsinnig!
Hallo,
der Kandidat kann doch nur verlieren (wenn er sich immer umentscheidet), wenn er am Anfang den Treffer wählt. Dies trifft zu 1/3 zu. Folglich ist die W. am Anfang eine Niete zu treffen genau 2/3. Aber genau dann gewinne ich, wenn ich mich umentscheide…
Uli
Milchmädchenrechnung
Zuerst alle Situationen, in denen der Spieler zuerst auf den
Gewinn tippt:112, 113, 221, 223, 331, 332
Nun alle Situationen, in denen der Spieler zuerst auf eine
Niete tippt:123, 132, 213, 231, 312, 321
Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Situationen:
…
6*1/3*1/3*1/2 = 1/3
Die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür , daß sich der Gwewinn
hinter dem anderen Tor befindet beträgt dagegen6*1/3*1/3*1 = 2/3
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten beträgt
1/3 + 2/3 = 1
was nach den Spielregeln auch zu erwarten ist.
Bleibt der Spieler also bei seiner Wahl, dann beträgt seine
Gweinnwahrscheinlichkeit 1/3. Wechselt er, nachdem der
Moderator eine Niete entfernt hat, dann verdoppelt er seine
Chancen.
Die Rechnung, die eigentlich keine sein müßte, ist schon ziemlich zu Beginn fertig. Erst listet Du alle Möglichkeiten auf. Das ist schon die Lösung -> gleiche Anzahl an Möglichkeiten = gleiche Wahrscheinlichkeit. Aber Du wertest diese einzig möglichen Varianten noch mit haarsträubenden Faktoren ab. Anders: Du halbierst die Wahrscheinlichkeit in Deiner ersten Reihe, weil der Moderator 2 Möglichkeiten hat. D.h. mit Deiner Berechnung reduzierst Du die 6 Varianten auf 3, was natürlich Quatsch ist.
Mein Fazit: Du hast selbst die verständlichste Lösung für die 50:50-Theorie geliefert. Warum die dann noch manipuliert wurde, ist mir unerklärlich.
Zum anderen Einwurf (ins Archiv zu schauen): Schon getan, hat mich alles nicht überzeugt. (Vielleicht, wenn ich das Programm sehen würde.) Wenn wir hier diskutieren wollen -> laß uns!
Dennoch: Würde vorschlagen, diese Diskussion zu beenden, da sich anscheinend doch keiner umstimmen läßt. Wenn jemand weitermachen will, bin ich auch dazu bereit.
Wenn weitermachen: Bitte erklären, warum sich die 1/3-Chance vom geöffneten Tor nur auf das nicht gewählte Tor überträgt! (Soll nicht bedeuten, daß ich erste Zweifel habe, sondern halte das für einen zentralen Denkfehler)
Jürgen
P.S. Weiß nun jemand, zu welchem Schluß der Autor des Buches „Das Ziegenproblem“ letztendlich gekommen ist?
Hallo Jürgen
habe mir das Buch (14.90 DM bei BOL) bestellt und gerade die
Versandanzeige per e-mail bekommen. Ich gehe davon aus das ich das Buch morgen bekomme und dann werde seine Lösung hier aufzeigen.
P.S. Du kannst dir dieses Programm per e-mail kommen lassen.
Gruß
Gabriel