Ich will hier nur noch etwas aus einem anderen Blickwinkel (nämlich einem historischen) zu den nichteuklidischen Geometrien sagen:
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Die geometrischen Argumente beziehen sich keineswegs nur auf 2 Dimensionen. Ebenso, wie euklidische Geometrien auch in 3 Dimensionen behandelt werden können (wie z.B. der anschauliche physikalische Raum) und darüber hinaus in beliebig höheren n-dimensionalen Räumen, so können auch die beiden Klassen nichteuklidischer Geometrien in n-dimensionalen Räumen gerechnet werden. Die Mathematik ist dabei in keiner Weise an die Anschauligkeit bzw. das Vorstellungsvermögen gebunden.
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Unter " einer Geometrie" versteht man (seit Euklid) eine Gruppe (oder ein System)von Axiomen und die daraus ableitbaren Einzelaussagen. Ein Axiom ist dabei eine Aussage, die ihrerseits nicht bewiesen werden kann und muss.
http://www.wer-weiss-was.de/article/483128
Die Axiome dieser Gruppe unterliegen der Bedingung, dass sie voneinander unabhängig sein müssen. Dieses Axiomensystem wird nun genau dann als widerspruchsfrei bezeichnet, wenn keine daraus ableitbare Einzelaussage einem der Axiome widerspricht. Die Objekte oder Elemente, über die diese Ausagen gemacht werden, haben, sofern es um geometrische Axiomensysteme geht, die Bezeichnung „Punkt“, „Gerade“, „Ebene“ - auch, wenn diese Objekte mit denen, die der Anschauung entsprechen, gar nichts gemein haben.
- Zu den ursprünglichen euklidischen Axiomen der Geometrie gehörte nun ein Satz, der eng mit dem sog. „Parallelenaxiom“ zusamenhängt bzw. mit ihm gleichbedeutend ist: „Die Winkelsumme eines Dreiecks ist gleich der Summe zweier rechter Winkel“. Unter einem „rechten Winkel“ verstand man dabei folgendes: Wenn man eine Gerade von einer anderen Geraden so schneiden lässt, dass die Winkel, die sie zueinander bilden auf beiden Seiten gleich sind, dann nennt man diesen Winkel einen „rechten“ (auf griechisch hieß das ortho-gonal).
Nun hat man aber schon in der Antike gewußt, dass das euklidisce Axiomensystem auch dann bereits widerspruchsfrei ist, wenn man auf diesen „Parallenensatz“ bzw. „Winkelsummensatz“ verzichtet! Was man nicht wußte (und man ist dieser Frage viele Jahrhunderte lang erst gar nicht nachgegangen), ob auch eine Axiomensystem widerspruchsfrei sein kann, wenn man den Winkelsummensatz negiert: „Die Dreiecks-Winkelsumme ist größer oder kleiner als zwei rechte Winkel“.
In der ersten Hälfte des 19. Jhdt. konnte nun von Gauß und Riemann bewiesen werden, dass auch eine widerspruchsfreie Geometrie vorliegt, wenn der Satz „Winkelsumme > 180°“ zugefügt wird. Und der russische Mathematiker Lobatschewski und der Ungar Bolyai konnten beweisen, dass ebenso eine widerspruchsfreie Geometrie konstruierbar ist, wenn der Satz "Winkelsumme 0 (es gibt also unendlich viele davon) und bei der Lobatschewski-Bolyai-Geometrie ist k Modell machen: Für k > 0 nimmt man die Geometrie auf einer Kugeloberfläche. Dabei entspricht 1/k dem Radius der Kugel, der zugleich ein Maß für die „Krümmung“ (engl. curvature) der Oberfläche ist. Deshalb spricht man hier, wenn die Geometrien in höheren Dimensionen betrachtet werden, von „gekrümmten“ Räumen. Dieser Ausdruck „Krümmung“ kann aber zu Mißverständnissen führen:
http://www.wer-weiss-was.de/article/525917
Für k euklidisch k = 0
Begründer: Euklid
2-dimensional :
parallele „Geraden“: 1
Dreieckswinkelsumme: 180°
Kreisumfang wächst mit R: gleich
Kreisfläche wächst mit R2: gleich
3-dimensional :
parallele „Ebenen“: 1
Kugeloberfläche wächst mit R2: gleich
Kugelvolumen wächst mit R3: gleich
**hyperbolisch k
Begründer: Lobatschewski & Bolyai
2-dimensional:
parallele „Geraden“: ∞
Dreieckswinkelsumme: 2: schneller
3-dimensional:
parallele „Ebenen“: ∞
Kugeloberfläche wächst mit R2: schneller
Kugelvolumen wächst mit R3: schneller
sphärisch (oder elliptisch) k > 0
Begründer: Gauß & Riemann
2-dimensional:
parallele „Geraden“: 0
Dreieckswinkelsumme: >180°
Kreisumfang wächst mit R: langsamer
Kreisfläche wächst mit R2: langsamer
3-dimensional:
parallele „Ebenen“: 0
Kugeloberfläche wächst mit R2: langsamer
Kugelvolumen wächst mit R3: langsamer**